积化和差和差化积公式练习

1．下列等式错误的是( )
A ．sin(A ＋
B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B B ．sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B
C ．cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cos B
D ．cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2sin A cos B
2．sin15°sin75°＝( )
A.18
B.14
C.12
D ．1 3．sin105°＋sin15°等于( )
A.32
B.22
C.62
D.64
4．sin37.5°cos7.5°＝________.
1．sin70°cos20°－sin10°sin50°的值为( )
A.34
B.32
C.12
D.34
2．cos72°－cos36°的值为( )
A ．3－2 3 B.12 C ．－12
D ．3＋2 3 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2
，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形
4．函数y ＝sin ()
x －π6cos x 的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1 D.22
5．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13
，则cos 2α－sin 2β等于( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23
6．函数y ＝sin ()x ＋π3－sin x (x ∈[0，π2
])的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.[]12，1 D.⎣⎡⎦
⎤12，32 7．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值等于________．
8．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13
，则cos(α＋β)等于________． 9．函数y ＝cos ()x ＋π3cos ()
x ＋2π3的最大值是______．
10．化简下列各式：
(1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )； (2)sin A ＋2sin3A ＋sin5A sin3A ＋2sin5A ＋sin7A .
11. 在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围．
12．已知f (x )＝－12＋sin 52x 2sin x 2
，x ∈(0，π)． (1)将f (x )表示成cos x 的多项式；
(2)求f (x )的最小值．
答案
1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确．
2解析：选B.sin15°sin75°＝－12[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝－12(cos90°－cos60°)＝－12(0－12)＝14
. 3解析：选C.sin105°＋sin15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin60°cos45°＝62
. 答案：2＋14＝12⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14.＝12
(sin45°＋sin30°) 4解析：sin37.5°cos7.5°＝12
[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] 5解析：选A.sin70°cos20°－sin10°sin50°＝12(sin90°＋sin50°)＋12
(cos60°－cos40°) ＝12＋12sin50°＋14－12cos40°＝34
. 6解析：选C.原式＝－2sin 72°＋36°2sin 72°－36°2
＝－2sin54°·sin18°＝－2cos36°cos72° ＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12
，故选C. 7解析：选B.由已知等式得12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12
(1＋cos C )， 又A ＋B ＝π－C .所以cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C .
所以cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，所以A －B ＝0，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．故选B.
8解析：选B.y ＝sin ()x －π6cos x ＝12⎣⎡⎦
⎤sin (x －π6＋x )＋sin ()x －π6－x ＝12[]sin (2x －π6)－12＝12sin ()2x －π6－14. ∴y max ＝12－14＝14
. 9解析：选C.cos(α＋β)cos(α－β)＝12
(cos2α＋cos2β) ＝12
[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β，
∴cos 2α－sin 2β＝13
. 10解析：选B.y ＝sin ()x ＋π3－sin x ＝2cos ()x ＋π6sin π6
＝cos(x ＋π6
)． ∵x ∈[]0，π2，
∴π6≤x ＋π6≤2π3
， ∴y ∈⎣⎡⎦
⎤－12，32. 11解析：y ＝sin 215°＋cos 215°＋cos75°·cos15°
＝1＋12(cos90°＋cos60°)＝54. 答案：54
12解析：cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2＝2cos π3cos α＋β2＝cos α＋β2＝13
， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×19－1＝－79. 答案：－79
13解析：y ＝12⎣⎡⎦
⎤cos (2x ＋π)＋cos ()－π3 ＝12()
－cos2x ＋cos π3＝14－12
cos2x ， 因为－1≤cos2x ≤1，所以y max ＝34. 答案：34
14解：(1)原式＝cos A ＋2cos120°cos B sin B ＋2cos120°sin A ＝cos A －cos B sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sin B －A 22cos A ＋B 2sin B －A 2＝tan A ＋B 2.
(2)原式＝(sin A ＋sin5A )＋2sin3A
(sin3A ＋sin7A )＋2sin5A ＝2sin3A cos2A ＋2sin3A 2sin5A cos2A ＋2sin5A
＝2sin3A (cos2A ＋1)2sin5A (cos2A ＋1)＝sin3A sin5A . 15解：由题意得
cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )] ＝12[sin(π－B )－sin(A －C )] ＝14－12sin(A －C )．
∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴－14≤14－12sin(A －C )≤34，
∴cos A sin C 的取值范围是[]－14，34.
16解：(1)f (x )＝sin 5x 2－sin x 2
2sin x 2
＝2cos 3x 2sin x
2sin x 2
＝2cos 3x 2cos x 2
＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1.
(2)∵f (x )＝2(cos x ＋14)2－98，
且－1＜cos x ＜1.
∴当cos x ＝－14时，f (x )取最小值－98.。