2020年河南省信阳市楚相中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年河南省信阳市楚相中学高三数学文上学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在区间内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
设这两个数为x，y，则，表示边长为1是正方形；若这两个实数的和大于，则，表示的可行域如图，阴影部分的面积为，所以这两个实数的和大于的概率为。

2. 在数列{a n}中，“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
考点：必要条件；等比关系的确定．
专题：简易逻辑．
分析：根据等比数列的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“{a n}是公比为2的等比数列，
则当n≥2时，a n=2a n﹣1，成立．
当a n=0，n=1，2，3，4，…时满足a n=2a n﹣1，n=2，3，4，但此时{a n}不是等比数列，
∴“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选：B．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．
3. 求曲线与所围成图形的面积，其中正确的
是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
4.
设若的展开式中的系数是，则实数的值是
参考答案：
答案:D
5. 已知△ABC的重心为P，若实数满足：，则的值为
A．2 B．C．3
D．6
参考答案：
C
6. 定义在上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且恒有f(x)＜f′(x)·tan x成立，则
参考答案：
B
略
7. 已知集合A，B都是非空集合，则“x∈（A∪B）”是“x∈A且x∈B”的
A．充分不必要条
件 B．必要不充分条件
C．充要条
件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
8. 设函数则不等式的解集是（）
A． B．
C．D．
参考答案：
A
9. 求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：
,再两边同时求导得，于是得
到：=f(x)运用此方法求得函数的一个单调递增区间是 ( )
A．(e,
4) B．(3,6) C．(0,e) D．(2,3)
参考答案：
C
10. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。

从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。

（结果用最简分数表示）
参考答案：
本题考查排列组合和概率的相关基础知识.同时考查了理解能力和转化与化归的数学思想方法.当所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P=，则至少有一
瓶为过期饮料的概率.
12. 已知函数 ()的图象如下图所示，它与x轴在原点处相
切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值
为．
参考答案：
，，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0
或x＝a(a<0)．∴S阴影＝ [0－(－x3＋ax2)]dx＝(x4－ax3)|＝a4＝，∴a＝．
13. [选修4－4]坐标系与参数方程.
已知曲线C：为参数，0≤<2π)，则该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程
为．
参考答案：
略
14. 已知函数f(x)＝log3(a－3x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是
________．
参考答案：
15. 记函数的导数为，的导数为的导数为。

若可进行次求导，则均可近似表示为：
若取，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数
（用分数表示）
参考答案：
16. 已知函数满足：
.
参考答案：
略
17. 设，，，则、、从小到大的顺序是 .
参考答案：
，，即，所以。

因为
，
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在中，已知，.
（1）求的值；
（2）若为的中点，求的长.
参考答案：
解：（1）三角形中,,所以B锐角 --------3分 w
所以 --------6分 w
(2) 三角形ABC中，由正弦定理得
, ，
--------9分 w
又D为AB中点，所以BD=7
在三角形BCD中，由余弦定理得
w--------12分
略
19. 已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示:
(1)求a的值;
(2)估计汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率.
参考答案：
（1）…………………5分
（2），所以汽车通过这段公路时时速不小于60km的概率为0.6.
…………10分
20. （本小题满分14分）已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
（1）求；
（2）设，，求函数在上的最大值；
（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（1），，
函数的图像关于直线对称，则
．…………………………………2分
直线与轴的交点为，，且，
即，且，解得，．
则
．…………………………………………………………………5分
（2），
…………7分
其图像如图所示．当时，，根据图像得：
（ⅰ）当时，最大值为；
（ⅱ）当时，最大值为；
（ⅲ）当时，最大值为．……10分
（3）方法一：，，
，
当时，，
不等式恒成立等价于且恒成立，
由恒成立，得恒成立，
当时，，，， (12)
分
又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．……14分
方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），
的图像过点时，或，
要使不等式对恒成立，
必须，…………………………………12分
又当函数有意义时，，
当时，由恒成立，得，
因此，实数的取值范围是．…………………………………14分方法三：，的定义域是，
要使恒有意义，必须恒成立，
，，即或
．………………①…………………12分
由得，
即对恒成立，
令，的对称轴为，
则有或或
解得．……………
综合①、②，实数的取值范围是． (14)
分
21. (本小题满分13分)
已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.（Ⅰ）求抛物线的方程;
（Ⅱ）已知动直线过点,交抛物线于、两点.
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
参考答案：
解:（Ⅰ）由题意,可设抛物线方程为. …………1分
由,得. 抛物线的焦点为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

,错误！不能通过编辑域代码创建对象。

.
抛物线D的方程为
.
…………3分
（Ⅱ）设,.
直线的方程为：, …………4分
联立,整理得:…………5分
=.…………7分
(ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可
得: (9)
分
即=
=
==…………11分
当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.
…………12分
因此存在直线满足题
意…………13分
22. 设函数，，(其中).
（I）当时,求函数的极值;
（II）求证：存在，使得在(0,+∞)内恒成立，且方程在(0,+∞)内有唯一解.
参考答案：
（Ⅰ）当时, ,
令,得,,当变化时,的变化如下表:
由表可知,；；
（Ⅱ）设，，，若要有解，需有单减区间，则要有解
，由，，记为函数的导数则，当时单增，令，由，得，需考察与区间的关系：
①当时，，，在上，单增，
故单增，，无解；
②当，时，，，因为单增，在上，在
上
当时，
（ⅰ）若，即时，，单增，，无解；
（ⅱ）若，即，，在上，，单减；，，在区间上有唯一解，记为；在
上，单增，，当时，故在区间上有唯一解，记为，则在上，在上，在
上，当时，取得最小值，此时
若要恒成立且有唯一解，当且仅当，即，由有
联立两式解得.综上，当时，。