经济类专业学位联考综合能力数学基础微积分模拟试卷9_真题(含答案与解析)-交互

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷9 (总分58, 做题时间90分钟)
计算题
1.
设x
n = 则当n→∞时，变量x
n
为( )．SSS_SINGLE_SEL
A 无穷大量
B 无穷小量
C 有界变量
D 无界变量
分值: 2
答案:D
解析：由题设可知所以x
n
不是无穷大量，不是无穷小量，也不是有界变量，是无界变量，故选D．
2.
SSS_SINGLE_SEL
A 等于2／3
B 等于3／2
C 为∞
D 不存在，也不为∞
分值: 2
答案:A
解析：当x→4时，分子与分母的极限都为零，不能直接利用极限的商的运算法则．又由于分子与分母中都含有根式，先有理化再求极限．故选A．
3.
SSS_SINGLE_SEL
A －1
B 1
C 2
D 3
分值: 2
答案:B
解析：所给极限为“∞／∞”型，不能利用极限的四则运算法则，也不能利用洛必达法则求之．通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运
算．故选B．
4.
SSS_SINGLE_SEL
A －3／2
B －2／3
C 2／3
D 3／2
分值: 2
答案:A
解析：当x→1时，x 25x+4→0，因此故选A．
5.
设f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1处都有极限，则( )．
SSS_SINGLE_SEL
A a=2，b=0
B a=2，b=sin1
C a=1，b=0
D a=1，b=sin1
分值: 2
答案:B
解析：需先求出f(x)+g(x)的表达式．显然点x=0，x=1为f(x)+g(x)的分
段点，在分段点两侧函数表达式不同，应考虑左极限与右极限．
[f(x)+g(x)]= (2e －x +b)=2+b，[f(x)+g(x)]= (a+b)=a+b．由
于f(x)+g(x)在点x=0处有极限，因此a+b=2+b，可知a=2．
[f(x)+g(x)]= (a+b)=a+b，[f(x)+g(x)]=
(a+sinx)=a+sin1．由于f(x)+g(x)在点z=1处有极限，因此a+b=a+sin1，可知b=sin1．故选B．
6.
SSS_SINGLE_SEL
A a=1，b=1／2
B a=1，b=2
C a=1／2，b=1
D a=1／2，b=2
分值: 2
答案:A
解析：由于=b，且分母的极限为零，则必定有分子的极限为零，即(a
－cosx)=a－1=0，从而得a=1，因此有故选A．
7.
函数f(x)=，则( )．
SSS_SINGLE_SEL
A x=－1为f(x)的可去间断点，x=1为无穷间断点
B x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为可去间断点
C x=－1与x=1都是f(x)的可去间断点
D x=－1与x=1都是f(x)的无穷间断点
分值: 2
答案:B
解析：当x=－1与x=1时，f(x)没有定义．这两个点是f(x)的间断点．可知x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为f(x)的可去间断点．故选B．
8.
已知函数y=f(x)在点=1处可导，且=2，则f(1)=( )．
SSS_SINGLE_SEL
A 1
B 2
C 3
D 6
分值: 2
答案:D
解析：所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得
f'(1)=6．故选D．
9.
设函数f(x)在点x=0处连续，且f(x)／x=1，则下列命题不正确的是
( )．
SSS_SINGLE_SEL
A f(x)=0
B f(0)=0
C f'(0)=0
D f'(0)=1
分值: 2
答案:C
解析：已知x=0，所以必有f(x)=0．又f(x)在点x=0处连续，故f(0)=
f(x)=0．于是故选C．
10.
若y=f(x)可导，则当△x→0时，△y－dy为△x的( )．
SSS_SINGLE_SEL
A 高阶无穷小
B 低阶无穷小
C 同阶但不等价无穷小
D 等价无穷小
分值: 2
答案:A
解析：由微分的定义可知，当△x→0时，→0，△y－dy为△x的高阶无穷小，故选A．
11.
若在[0，1]上f"(x)＞0，则f'(1)，f'(0)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是( )．
SSS_SINGLE_SEL
A f'(1)＞f'(0)＞f(1)f(0)
B f'(1)＞f(1)－f(0)＞f'(0)
C f(1)一f(0)＞f'(1)＞f'(0)
D f'(1)＞f(0)－f(1)＞f'(0)
分值: 2
答案:B
解析：本题考查导数值的关系．题设条件为二阶导数大于零，可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解．由于在[0，1]上f"(x)＞0，可知f'(x)为[0，1]上的单调增加函数，因此f'(1)＞f'(0)．又f"(x)在[0，1]上存在，可知f'(x)在[0，1]上连续．f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理，可知必定存在点ξ∈(0，1)，使得 f(1)－f(0)=f'(ξ)，由于f'(x)在[0，1]上为单调增加函数，必有 f'(1)＞f'(ξ)＞f'(0)，即 f'(1)＞f(1)－f(0)＞f'(0)．故选B．
12.
设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图1—2—1所示．则f(x)
有( )．
SSS_SINGLE_SEL
A 一个极小值点和两个极大值点
B 两个极小值点和一个极大值点
C 两个极小值点和两个极大值点
D 三个极小值点和一个极大值点
分值: 2
答案:A
解析：由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点，因此只需考虑这两类特殊点．由图1—2—1可知，导数为零的点有三个，自左至右依次记为x
1
，x
2，x
3
．在这些点的两侧，f'(x)异号：当x＜x
1
时，f'(x)＞0；当x
1＜x＜x
2
时，f'(x)＜0．可知x
1
为f(x)的极大值点．当x
1
＜x＜x
2
时，f'(x)＜0；当x
2＜x＜0时，f'(x)＞0．可知x
为f(x)的极小值
点．当0＜x＜x
3时，f'(x)＞0；当x＞x
3
时，f'(x)＜0．可知x
3
为．f(x)的极大值点．由导函数图形知，在点x=0处f(x)不可导，但在x=0
左侧f'(x)＞0，在x=0右侧f'(x)＞0．可知点x=0不为．f(x)的极值点．综上可知函数f(x)有一个极小值点和两个极大值点．故选A．
13.
设y=sinx，则y'=( )．
SSS_SINGLE_SEL
A
B
C
D
分值: 2
答案:D
解析：y= sinx，则 y'=(x 1／3 )'sinx+x 1／3．(sinx)'=1／3x －2／3 sinx+x
1／3 cosx= 故选D．
14.
已知函数f(x)连续，且f(x)／x=2，则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是( )．
SSS_SINGLE_SEL
A y=x
B y=－x
C y=2x
D y=－2x
分值: 2
答案:C
解析：由于f(x)为连续函数，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此
曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．故选C．
15.
求极限x[ln(x+2)－lnx]．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：所求极限为“0．∞”型，不能利用极限的四则运算法则．由对数性
质及连续函数的性质有：=lne 2 =2．
16.
求极限(3 －n +4 －n ) 1／n．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：(3 －n +4 －n ) 1／n令x=(3／4) n，则(3／4) n
=0，即x=0．原式= 1／3(1+x) 1／n = 1／3[(1+x) 1／x ] x／n =1／3．
17.
求极限(1+2 n +3 n ) 1／n．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：由于由极限存在准则(夹逼定理)可知=1／3 lim(1+2
n +3 n ) 1／n =1，(1+2 n +3 n ) 1／n =3．
18.
若=0，求常数a的值．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：所给表达式中，由于当x→0时sin3x／x极限存在，由极限的性质
可知当x→0时，ln( ) 1／x极限存在，且有=lne a+1 =a+1．因此
a+1=3，得a=2．
19.
设当x→0时，( －1)．ln(1+x 2 )是比x n sinx高阶的无穷小量，而x n sinx是比1－cosx高阶的无穷小量，求正整数n的值．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：当x→0时， ( －1)．ln(1+x 2 )～x 2．x 2 =x 4， x n sinx～x n+1，1－cosx～x 2／2．由题设可知，应有2＜n+1＜4，因此n=2．20.
设f(x)=在点x=0处连续，求a，b的值．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：f(x)为分段函数，点x=0为分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，考查f(x)在点x=0处左连续与右连续．由于sin1／x为有界变量，当x→0时，x为无穷小量，因此xsin1／x=0．而可得
f(x)=3，由f(0)=a，可知当a=3时，f(x)在点x=0处左连续．(1+bx) 2／x =e 2b．可知当e 2b =a，即b=1／2lna时，f(x)在点x=0处右连续．综上可知，当a=3，b=1／2ln3时，f(x)在点x=0处连续．
21.
求函数y=ln的连续区间．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：首先求y=ln的定义域，应有＞0，且1－x≠0，解得0＜x
＜1．可知y=ln的定义域为(0，1)，y=ln为初等函数，在其定义区间(0，1)内必定为连续函数，可知(0，1)为所求．
22.
设y=cos(2 x +x 2 )，求dy．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：解法1先求y'，由dy=y'dx解之． y=cos(2 x +x 2 )， y'=－
sin(2 x +x 2 )．(2 x +x 2 )'=－sin(2 x +x 2 )．(2 x．ln2+2x)．因此
dy=y'dx=－sin(2 x +x 2 )．(2 x ln2+2x)dx．解法2利用微分形式不变性解之． dy=d[cos(2 x +x 2 )]=－sin(2 x +x 2 )．d(2 x +x 2 ) =－sin(2 x +x 2 )．(2 x ln2+2x)dx．
23.
设y=+sinx，求y'．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：先将所给函数分为两项之和，第一项为连乘除形式，应利用对数求
导法，对此，令则有 ln|y
1
|=2ln|x|－ln|1－x|+ ln|2+x|－
ln|2－x|，两端关于x求导，可得
24.
设y=f(x)由方程sin(xy)+lny－x=1确定，求n[f(2／n)－e]．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：由于n→∞时，2／n→0，f(2／n)→f(0)，先将x=0代入所给方程，可得f(0)=e．只需求f'(0)．将方程两端对x求导，有
cosxy．(y+xy')+ ．y'－1=0．将x=0及y|
x=0 =e代入上式，可得y'|
x=0
=f'(0)=e(1－e)，所以n[f(2／n)－e]=2e(1－e)．25.
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：本题是“苦0／0”型极限，但若直接用洛必达法则，求导比较麻烦．考虑到分子、分母都有，故可先设t=，然后用洛必达法则．26.
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：当x→∞时，ln(1+)～1→x，可知所以本题是“∞－∞”型．应先做变换，令t=1→x，则
27.
设函数y=x 2 +ax+b在点x=2处取得极小值3，求常数a，b的值．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：由于函数y在点x=2处取得极小值3，因此有 3=2 2 +2a+b，即2a+b=－1．又 y'=2x+a，y'|
x=2
=4+a=0，可得a=－4，进而知b=7．
28.
当e＜x
1
＜x
2
时，问lnx
1
／x
1
与lnx
2
／x
2
哪个大，为什么?
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：由题目可知是考查函数y=lnx／x的单调性．当x＞e时，y有定义，由于令y'=0得y的驻点x=e．当x＞e时，y'＜0，可知函数y=lnx／
x单调减少．因此当e＜x
1＜x
2
时，有 lnx
1
／x
1
＞lnx
2
／x
2
．
29.
假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：千元)的函数Q=120－8p．商品的固定成本为25(千元)，每多生产一单位产品，成本增加5(千元)．试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润．
SSS_TEXT_QUSTI
分值: 2
答案:
正确答案：利润等于销售收益减去总成本，所以首先求出成本函数C=C(Q)．然
后求L=pQ－C的最大值．已知商品固定成本为25(千元)，可变成本呈线性增长．所以总成本函数 C=25+5Q．总销售利润 L=R－C=pQ－C=p(120－8p)－25－5(120－8p)=160p－8p 2－625， L'=160－16p．令L'=0，得驻点p=10．由L"=－16＜0及唯一性可知当p=10(千元)时，总销售利润最大．最大销售利润为L(10)=160×10－8×10 2－625=175(千元)．
1。