直线方程复习

则点 P 到直线 l 的有向距离δ 为：
（2）当δ＜0 时，点 P 在法向量
区域内．
所指 n
点到直线的距离
已知直线 l : ax by c 0 和直线外两点 A x1 , y1 ) , 和 B x2 , y2 )， ( (
（1）当δAδB ＞0 时，点 A、B 在直线 l 的同侧； （2）当δAδB ＜0 时，点 A、B 在直线 l 的异侧．
已知点 A(x , y ) 和 B 关于点 M对称 ， 求点 B 的坐标．
设 B( x ，y ) ， 由中点公式得：
x x m 2 , y y n 2
B(2m x , 2n y ) ．
对称性
1．中心对称，对称中心为 M(m，n)． 已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，曲线 C 和 曲线 C’ 关于点 M 对称，求曲线 C’ 的 方程． 利用“点关于点对称”方法结合代入法求 轨迹方程，求出曲线 C’ 的方程．
已知直线 l : ax by c 0 和直线外一点 P x , y ) , (
则点 P 到直线 l 的有向距离δ 为：
（1）当δ＞0 时，点 P 在法向量
指区域内；
所 n
点到直线的距离
已知直线 l : ax by c 0 和直线外一点 P x , y ) , (
a1 x b1 y c1 联立方程组 , a2 x b2 y c2
D
a1 a2
b1 b2
, Dx
c1 c2
b1 b2
, Dy
a1 a2
c1 c2
,
两条直线的位置关系
1．当 D≠0 时，方程组有唯一解，即两直
线相交；
2．当 D＝0 ，且 Dx≠0 或 Dy≠0 时，方程 组无解，即两直线平行；

2
时， 直线的斜率存在 ， tan ． k
直线的倾斜角和斜率
1．设直线的方向向量为 d ( u , v ) ，
则直线的斜率 k
v
u 2．设直线的法向量为 n ( a , b ) ， 则直线的斜率 k a b
u 0 ．
b 0 ．
直线的倾斜角和斜率
3．当 D＝ Dx＝ Dy＝0 时，方程组有无穷
多解，即两直线重合．
两条直线的夹角
已知直线 l1 : a1 x b1 y c1 0 , l 2 : a2 x b2 y c2 0 ,
设 l1 与 l2 的夹角为 ， [0 ， ] ， 2
设 l1 与 l 2 的法向量分别为 n1 ( a1 , b1 ) , n2 ( a2 , b2 ) ．

两条直线的夹角
已知直线 l1 : a1 x b1 y c1 0 , l 2 : a2 x b2 y c2 0 ,
设 l1 与 l2 的夹角为 ， [0 ， ) ， 2

当 b1 b2 0 时 ， l1和 l 2 的斜率存在 ， 设 分别设为 k1和 k2 ,
适用性： 过一个定点且与已知向量垂直时， 设点法向式．
注意： 在使用点法向式方程时，不要随 便约分．
直线方程的几种基本形式
3．点斜式： y y k ( x x )
直线过点(x , y ) , 斜率为 k ．
若直线的倾斜角为
当
[0 , ) ，

2
时， 斜率存在 ， tan ． k
直线在 y 轴上的截距为 b , 斜率为 k ．
可以看成一种特殊的点斜式方程（过点 (0，b) ）的直线．
即 y b k ( x 0) ．
适用性：已知直线的斜率求直线方程时， 一般设斜截式．
可以看成直线平行移动的变化．
b 的大小直接决定了直线的高低位置．
直线方程的几种基本形式
5．截距式：
3．直线过点 ( x1 , y1 ) ， x2 ，y2 ) ， (
当 x1 x2 时 , 直线的斜率 k y1 y2 x1 x2 ．
当 x1 x2 时 , 直线的斜率不存在．
两条直线的位置关系
已知直线 l1 : a1 x b1 y c1 0 , l 2 : a2 x b2 y c2 0 ,


两条直线的夹角
已知直线 l1 : a1 x b1 y c1 0 , l 2 : a2 x b2 y c2 0 ,
设 l1 与 l2 的夹角为 ， [0 ， ] ， 2 n1 n2 | a1a2 b1b2 | 则 cos ． 2 2 2 2 n1 n2 a1 b1 a2 b2
两条直线的夹角
已知直线 l1 : a1 x b1 y c1 0 , l 2 : a2 x b2 y c2 0 ,
设 l1 与 l2 的夹角为 ， [0 ， ) ， 2

则 tan
k1 k2 1 k1k2
．
点到直线的距离
已知直线 l : ax by c 0 和直线外一点 P x , y ) , (
两条平行直线之间的距离
l1 : a x b y c 1 0 , l 2 : a x b y c 2 0
则 l1，l2 之间的距离：d

| c1 c 2 | a b
2 2
注意：l1，l2 的系数必须相同，而不是成 比例．
对称性
1．中心对称，对称中心为 M(m，n)．
对称性
2．轴对称，对称轴为 l :ax＋by＋c＝0． 已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，曲线 C 和 曲线 C’ 关于直线 l 对称，求曲线 C’ 的方程． 利用“点关于直线对称”方法结合代入法 求轨迹方程，求出曲线 C’ 的方程．
直线方程的几种基本形式
2．点法向式：a( x x ) b( y y ) 0
直线过点(x , y ) , 与向量 n (a , b )垂直． 2 2 n ( a , b ) ( a b 0) 称为直线的法向量．
特征： 适用范围广（几乎什么情况下都能 使用），但要考虑两个参数，增加 运算量．
对称性
2．轴对称，对称轴为 l :ax＋by＋c＝0．
已知点 A(x , y ) 和 B 关于直线 l 对称 ， 求点 B 的坐标．
设 B( x ，y ) ， 垂直平分线段 AB 得： l
a y y ( ) 1 x x b 解出 x 和 y ． x x y y a b c0 2 2
2 2
（1）当 l1//l 时， 设 l1 : ax by c1 0 ． （2）当 l2⊥l 时， 设 l2 : bx ay c2 0 ． （互换系数，变一次号）
直线的倾斜角和斜率
直线与 x 轴正方向所成角为直线的倾斜 角．
设直线的倾斜角为
当
[0 , ) ，
直线方程复习
直线方程的几种基本形式
1．点方向式:
x x u y y v
直线过点(x , y ) , 与向量 d ( u , v )平行．
d ( u , v ) ( uv 0) 称为直线的方向向量．
适用性： 过一个定点且与已知向量平行时， 设点方向式，但已知向量坐标中 不能含有“ 0 ”． 局限性： 当 u、v 中有只要有一个为 0 时， 就不能用点方向式，即不能表示 垂直于 x、y 轴的直线．
绝对值．
直线方程的几种基本形式
6．一般式：ax by c 0
垂直于向量 n ( a , b ) 的直线．
特征：可以表示所有直线，但需要考虑三 个参数，因此计算量大，一般作为 最终结果表示．
在求与已知直线平行或垂直时只 适用性： 考虑 c’一个参数，经常使用．
已知直线 l : ax by c 0 (a b 0) ,
x a y b 1
在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 和 b
(ab≠0) 的直线．
也可以看成过点 (a，0) 和 (0，b) 的直 线．
适用性：在求直线与坐标轴所围成的三角 形面积的相关问题时，一般设截
距式． 局限性： 不能表示过原点的直线和垂直于
x、y 轴的直线． 截距是实数，可正、可负；三角形的 边长是线段，一定是正的，使用时注意加
适用性： 求过一个定点而斜率不确定的直 线时，一般设点斜式． 可以看成直线绕着定点旋转的变化． 局限性： 不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线，易漏解． 在使用点斜式方程时，不要忘记检验斜 率不存在时的直线是否满足条件．
二次项被抵消时意味着还有一解是斜 率不存在．
直线方程的几种基本形式
4．斜截式： y kx b
则点 P 到直线 l 的距离 d 为：
d | ax by c | a b
2 2
．
点到直线的距离
已知直线 l : ax by c 0 和直线外一点 P x , y ) , (
则点 P 到直线 l 的有向距离δ 为：

ax by c a b
2 2
．
点到直线的距离