高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题 第十七章 不等式选讲 课时撬分练17-2 Word版含答案

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时间：60分钟 基础组
1.不等式|x |＋x ≤2的解集为________． 答案 (－∞，1]
解析 当x ≥0时，原不等式即2x ≤2，得x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，原不等式即0≤2，总成立．综上知原不等式的解集为(－∞，1]．
2．函数y ＝|2x －1|－2|x ＋1|的最大值为________． 答案 3
解析 因为y ＝|2x －1|－2|x ＋1|＝|2x －1|－|2x ＋2|≤|2x －1－(2x ＋2)|＝3(当x ≤－1时取等号)，所以函数的最大值为3.
3．不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．
答案 ⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫
x >14
解析 解法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2
＋4x ＋1>4(x 2
－2x ＋
1)，解得x >1
4，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫x >14.
解法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x <－
12－x ＋＋x －
或
⎩⎪⎨⎪⎧
－12≤x ≤1
x ＋＋
x －
或
⎩
⎪⎨⎪⎧
x >1x ＋－x －
.解得x >1
4
，
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫
x >14.
4．不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________． 答案 {x |x ≥1}
解析 原不等式等价于⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤－3
－x －3＋x －2≥3
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3<x <2x ＋3＋x －2≥3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥2
x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2, 故原不等式的解集
为{x |x ≥1}．
5．若a >b >1，则a ＋1a 与b ＋1
b
的大小关系是________．
答案 a ＋1a >b ＋1
b
解析 a ＋1a －⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a
ab
＝
a －b
ab －
ab
.
由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以
a －b
ab －
ab >0.
即a ＋1a
>b ＋1b
.
6．若1a <1b <0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a
2
b
<2a －b ，其中
正确的是________．
答案 ②③④
解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0，∴|b |>|a |，①错；∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，②对；b
a
＋
a b >2b a ·a b
＝2，③对；由b <0，④变形为a 2＋b 2
>2ab 恒成立，④对． 7．已知关于x 的不等式2x ＋
2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．
答案 32
解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥ 2
x －a
2x －a ＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥3
2
. 8．以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a
－b |；③若|x |<2，|y |>3，则|x y |<2
3
，其中正确命题的序号是________．
答案 ①②③
解析 ①|a |－|b |≤|a －b |<1，所以|a |<|b |＋1； ②|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |，
所以|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ③|x |<2，|y |>3，所以1|y |<1
3
，
所以⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x y ＝|x |·1|y |<23.故三个命题都正确． 9．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析 若|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，
即不等式恒成立，则|x －1|＋|x ＋m |≥|(x ＋m )－(x －1)|＝|m ＋1|>3， 解得m >2或m <－4.
10．对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，则实数x 的取值范围是________．
答案 －1≤x ≤3
解析 不等式恒成立，只需不等式的左边的最小值≥|a ||x －1|，由绝对值三角不等式得|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝|2a |＝2|a |，故只需求解2|a |≥|a ||x －1|即可，解得－1≤x ≤3.
11．已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，原不等式为|x －2|＋|x －1|≥2.
∴原不等式的解集为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤1
3－2x ≥2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
1<x <2
1≥2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥2
2x －3≥2，
即x ≥52或x ≤1
2，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≥52或x ≤
12. (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0，又a >0，∴实数a 的取值范围为a ≥4.
12．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 三边边长的倒数成等差数列，求证：∠B <90°.
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证明 假设∠B <90°不成立， 即∠B ≥90°，
从而∠B 是△ABC 的最大角， ∴b 是△ABC 的最大边， 即b >a ，b >c . ∴1a >1b ，1c >1b
，
相加得1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b .
这与已知1a ＋1c ＝2
b
矛盾， 故∠B ≥90°不成立， 从而∠B <90°.
能力组
13.若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z
1＋z (x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________．
答案 P <3
解析 ∵1＋x >0,1＋y >0,1＋z >0， ∴
x
1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z <1＋x 1＋x ＋1＋y 1＋y ＋1＋z 1＋z
＝3. 即P <3.
14．设函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|，则f (x )的最小值是________，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________．
答案 3
解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
5－2x ，x <1，3， 1≤x ≤4，
2x －5，x >4，
x <1时，5－2x >3，x >4时，2x －5>3，
得f (x )min ＝3. 解不等式组⎩⎪⎨
⎪
⎧
x <1，5－2x ≤5
或⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤x ≤4，3≤5
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x >4，2x －5≤5，
求并集得x 的取值范围是． 15. 已知函数f (x )＝|x －1|.
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(1)解不等式：1≤f (x )＋f (x －1)≤2； (2)若a >0，求证：f (ax )－af (x )≤f (a )．
解 (1)由题f (x )＋f (x －1)＝|x －1|＋|x －2|≥|x －1＋2－x |＝1. 因此只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.
当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即1
2≤x ≤1；
当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1<x ≤2； 当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤5
2
.
综上，原不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
12≤x ≤
5
2. (2)证明：由题f (ax )－af (x )＝|ax －1|－a |x －1|. 当a >0时，f (ax )－af (x )＝|ax －1|－|ax －a | ＝|ax －1|－|a －ax |≤|ax －1＋a －ax | ＝|a －1|＝f (a )．
16. 已知x ＋y >0，且xy ≠0.
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(1)求证：x 3
＋y 3
≥x 2
y ＋y 2
x ；
(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋1y 恒成立，试求实数m 的取值范围．
解 (1)证明：∵x 3
＋y 3
－(x 2
y ＋y 2
x )＝x 2
(x －y )－y 2
(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2
，且x ＋y >0，(x －y )2
≥0，
∴x 3
＋y 3
－(x 2
y ＋y 2
x )≥0， ∴x 3
＋y 3
≥x 2
y ＋y 2
x .
(2)①若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≥x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2xy
，
又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝x ＋y 2－3xy xy <－3xy xy ＝－3，即x 3＋y 3
xy x ＋y <－3，∴m >－6；
②若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≤x 3＋y 3xy x ＋y ＝x 2－xy ＋y 2
xy ，
又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3
xy x ＋y
≥1，
∴m ≤2.
综上所述，实数m 的取值范围是(－6,2]．。