2019届江苏省镇江市高三考前模拟(三模)数学试题(解析版)(2021年整理)

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2019届江苏省镇江市高三考前模拟（三模)数学试题
一、填空题
1．已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B ⋂=____. 【答案】{}|12x x <<
【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】
集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，
A B {x |1x 2}∴⋂=<<．
故答案为:{x |1x 2}<<． 【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______。

【答案】34i --
【解析】根据复数运算整理出34z i =-+，根据共轭复数定义得到结果. 【详解】
14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --
本题正确结果：34i -- 【点睛】
本题考查复数的运算,共轭复数的求解，属于基础题.
3．执行如图所示的伪代码,若输出y 的值为1，则输入x 的值为_______。

【答案】-1
【解析】 执行此程序框图可知,当0x ≥时，121x +=-,此时方程无解； 当0x <时，221x -=-,解得1x =-，所以输入x 的值为1-。

4．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．
【答案】
【解析】数据4.8,4。

9，5。

2,5.5，5。

6的平均数为
×（4.8+4。

9+5.2+5。

5+5.6)=5。

2，
∴该组数据的方差为:
s 2=×［（4。

8–5。

2)2+（4。

9–5。

2)2+（5.2–5。

2）2+（5.5–5.2）2+（5。

6–5.2）2
］
=0。

1．故答案为：0.1．
5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______。

【答案】25
【解析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果. 【详解】
设4个白球编号为:1,2,3,4；1个黑球为：A
从中任取两个球的所有可能结果为：12、13、14、1A 、23、24、2A 、34、3A 、4A ,共10种 所取的两个球不同色的有：1A 、2A 、3A 、4A ，共4种
∴所求概率为：42105
P =
=
本题正确结果:2
5
【点睛】
本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.
6．用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______。

【答案】
83
π 【解析】由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果. 【详解】
半圆的弧长为：1
2442
ππ⨯⨯= 42R ππ∴=
即圆锥的底面半径为：2R = 圆锥的高为:224223h =-=∴圆锥的体积为：21832333
V π=⨯⨯⨯=
本题正确结果83 【点睛】
本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.
7．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22
2C :1(0)16x y a a -=>的右顶点到双曲线的一条渐近线的距
离为12
5，则双曲线C 的方程为_______.
【答案】22
1916
x y -=
【解析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于a 的
方程，解方程求得a ，从而得到双曲线方程。

【详解】
双曲线的右顶点为：(),0a ；渐近线为：4y x a
=± 2
12
5
16a =
+,解得:3a = ∴双曲线C 的方程为:22
1916x y -=
本题正确结果：22
1916
x y -=
【点睛】
本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程。

8．在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35
119
a a a a +=+_______。

【答案】1
4
【解析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q 满足32q =，将所求式子化为1a 和q 的形式，化简可得结果。

【详解】
14a ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=
即：63
11144a a q a q +=，解得：32q =
243511108611911114
a a a q a q a a a q a q q ++∴===++
本题正确结果：1
4
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.
9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ (01ω<<，02
π
ϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，
则(1)f -=_______。

【答案】1
【解析】根据图象过(可求得ϕ；利用图象关于()2,0-对称代入23
k π
ωπ-+=，k Z ∈，结
合01ω<<求得ω；从而可得()f x ，代入1x =-求得结果。

【详解】
函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点( 2sin ϕ∴=即：sin ϕ=
02
π
ϕ<<
3
π
ϕ∴=
又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛
⎫
∴-+= ⎪⎝
⎭，即:23
k π
ωπ-+=,k Z ∈ 126
k π
ωπ∴=-+，k Z ∈
01ω<< 6
π
ω∴=
()2sin 6
3f x x π
π⎛⎫∴=+
⎪⎝⎭，
()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫
∴-=-+== ⎪⎝⎭
本题正确结果：1 【点睛】
本题考查根据三角函数的性质求解函数的解析式,利用解析式求值的问题，属于常规题型。

10．已知圆C :22(1)()16x y a -+-=,若直线20ax y +-=与圆C 相交于A ，B 两点,且CA CB ⊥,则实数a 的值为_______。

【答案】1-
【解析】利用CA CB ⊥求得42AB =
;根据直线被圆截得的弦长等于222R d -可利用a 表示出弦长AB ，从而得到方程，解方程求得结果. 【详解】
圆心C 的坐标为：()1,C a ，半径4R = CA CB ⊥ ∴弦长224442AB =+=
圆心C 到直线20ax y +-=的距离为：2
221
a d a -=
+
∴弦长()2
2222421|22|2421611a a a AB a a -+⎛⎫-=-=- ⎪++⎝⎭
()22421216421
a a a -+∴-
=+化简得：2
210a a ++=
解得:1a =- 本题正确结果:1- 【点睛】
本题考查利用直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，关键是能够明确直线被圆截得的弦长等于222R d -
11．已知函数ln ,
0()21,0
x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点,则实数a 的取值
范围为_______。

【答案】()2,+∞
【解析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过
平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围。

【详解】
由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+
∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交
点
画出函数()ln ,
021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩
的图象如下图：
y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点,
平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点, 在A 点下方时，两图象有2个交点 2a ∴>,即()2,a ∈+∞
本题正确结果：()2,+∞ 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式,结合直线的平移得到结果. 12．在等腰中,
，
，则
面积的最大值为__________．
【答案】4
【解析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可． 【详解】 以
为轴，以
的垂直平分线为轴，设
，
，
，
,
，
， ， ，
，当且仅当
时，即
,
,
面积的最大值为4，
故答案为：4． 【点睛】
本题考查了用解析的方法解决平面几何问题,考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
13．若x ,y 均为正实数，则221
(2)x y x y
+++的最小值为_______。

【答案】
25
【解析】将所求式子变为()22211
2x ty t y xy y ++-++,利用基本不等式可求得
()2212212x y txy t y x y +++-≥+，则可知当
21
2
21t t =-时,可求得最小值。

【详解】
()
()222
2211122122x ty t y x y txy t y
x y xy y ++-++++-=≥++()01t <<
21
2
21t t =-,即15t =时
()2212x y x y +++4
2125555
xy y
+=
本题正确结果
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式,易错点是忽略等号成立的条件。

14
．设()f x t =，若存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域都是()()f x g x +,则实数t 的取值范围为_______. 【答案】9
,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦
【解析】根据()f x 单调性可得()()
f m n f n m ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
p =
q =，由m n <可整理出
1p q p p =+>+,从而求得102p ≤<，将方程组变为2233p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩
,整理可得2
1924t p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据p 的范围求得t 的取值范围. 【详解】
(
)f x t =在[3,)-+∞是减函数 ()()f m n
f n m ⎧=⎪∴⎨
=⎪⎩
即：t n
t m
⎧=⎪⎨=⎪⎩……①
p =
q =
23m p =-，23n q =-，1p q +=
由m n <,得p q < 1p q p p ∴=+>+ 102
p ∴≤<
则①变为：22
33
p t q q t p ⎧-+=-⎨-+=-⎩ ()22
26p q t p q ∴-++=+-， 即：2212(1)6t p p -+=+--
2
222
(1)5192224p p t p p p +--⎛⎫∴==--=-- ⎪⎝
⎭
924t ∴-<≤- 本题正确结果：9
,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查函数定义域和值域的应用问题,关键是能够根据单调性确定最值取得的点从而构造出方程组，通过换元的方式可将问题转化为二次函数值域的求解问题；易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误。

二、解答题
15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形,AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ,E 为PB 上一点，G 为PO 中点.
(1）若PD ∥平面ACE ,求证：E 为PB 的中点； （2）若2AB PC =,求证：CG ⊥平面PBD . 【答案】（1）详见解析;(2）详见解析。

【解析】（1）连接OE ，根据线面平行的性质定理可知//PD OE ，又O 为BD 中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知PC BD ⊥，正方形可得AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，根据线面垂直性质可知BD CG ⊥，根据等腰三角形三线合一可知CG PO ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论。

【详解】
（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点
//PD 平面ACE ,PD ⊂面PBD ,面PBD 面ACE OE = //PD OE ∴
O 为BD 中点 E ∴为PB 的中点
（2)在四棱锥P ABCD -中，AB =
四边形ABCD 是正方形 2
OC AB ∴= PC OC ∴= G 为PO 中点 CG PO ∴⊥
又PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD PC BD ∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥
,AC CG ⊂平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC
又CG ⊂平面PAC BD CG ∴⊥ ,PO BD ⊂平面PBD ,PO BD O =
CG ∴⊥平面PBD
【点睛】
本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型。

16．已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =,(cos ,2)n C c a =-，且m n ⊥. （1）求角B ； （2）若113
||m =
，且24ac =,求边,a c 。

【答案】（1）3B π
=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或4
6a c =⎧⎨=⎩。

【解析】（1）利用向量垂直可知数量积等于零，从而得到()cos 2cos 0b C c a B +-=,利用正弦定理可整理为()sin 2sin cos 0B C A B +-=，从而可求得1
cos 2
B =
,根据()0,B π∈求得B ;（2）利用
113
m =
构造方程求得b ,利用余弦定理可构造关于,a c 的方程，解方程求得结果. 【详解】
（1）m n ⊥ 0m n ∴⋅=，又向量(),cos m b B =，()cos ,2n C c a =-, 故()cos 2cos 0b C c a B +-=
由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=
又()()sin sin sin B C A A π+=-= sin 2sin cos 0A A B ∴-= sin 0A ≠ 1cos 2
B ∴=
又()0,B π∈ 3
B π
∴=
(2)由（1)知3B π
= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 2
2m b ∴=+=
∴2
111344
b ∴+
=，即：228b =,解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 又3
B π
=
,故2228a c ac =+-，即：()2
283a c ac =+-
又24ac =，解得:64a c =⎧⎨=⎩或4
6
a c =⎧⎨
=⎩ 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量模长的求解和垂直关系的应用、正弦定理化简边角关系式、三角形内角和的应用、余弦定理解三角形，属于中档题.
17．江心洲有一块如图所示的江边，OA ，OB 为岸边，岸边形成120︒角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场,有两个方案：方案l ：在岸边OB 上取两点,P Q ，用长度为1km 的围网依托岸边线PQ 围成三角形MPQ （MP ,MQ 两边为围网）;方案2：在岸边OA ，
OB 上分别取点,E F ，用长度为1km 的围网EF 依托岸边围成三角形EOF 。

请分别计算MPQ △，EOF △面积的最大值，并比较哪个方案好。

【答案】MQP ∆,EOF ∆面积的最大值分别为218km ,2
312
.其中方案2好.
【解析】分别在三角形面积公式中应用基本不等式、余弦定理中利用基本不等式计算出方案1和方案2中MPQ ∆和EOF ∆面积的最大值，通过最大值的比较可知方案2好。

【详解】
方案1:设MP xkm =，MQ ykm =
由已知“用长度为1km 的围网，MP ,MQ 两边为围网”得(),0,1x y ∈且1x y += 2
2
11111
sin sin 12222228
MPQ
x y S xy PMQ π+⎛⎫⎛⎫∴=∠≤⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 当且仅当12
x y ==
且2PMQ π
∠=时，等号成立
MPQ ∴∆面积的最大值为21
8
km
方案2：设OE akm =，OF bkm =
在EOF ∆中,由余弦定理得：2222cos EF OE OF OE OF EOF =+-⋅⋅∠
即222
212cos
3
a b a b π=+-⋅⋅ 22123a b a b ab ab ab ∴=++⋅≥+=（当且仅当3
a b ==
时等号成立） 121133sin 2323EOF S ab π∆∴=
≤⨯=
（当且仅当3
a b ==) EOF ∴∆23 31
128
> ∴方案2好 【点睛】
本题考查解三角形的实际应用问题，主要是求解三角形面积的最大值,涉及到基本不等式的应用,属于常规题型。

18．在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(4)1x y -+=,且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>。

（1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；
（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点。

(i)2OA AB =，求直线l 的方程;（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ,2k ,3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

【答案】（1）:l y x =；（2）(i ）直线l 的方程为y x =；(ii ）存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立.
【解析】（1)利用圆心到直线的距离等于半径构造关于k 的方程，解方程求得结果；（2）（i)设
()11,A x y ，由2OA AB =可得1133,22B x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入圆的方程可求解出A 点坐标,从而得到斜率，求
得直线方程；（ii)将直线AM 方程代入圆的方程可求得A 点坐标；同理将直线BN 方程代入圆的方程可求得B 点坐标；利用OA OB k k =可求得12,k k 的关系，利用12,k k 表示出P 点坐标，整理可得311
5
k k =，进而可得到123,,k k k 满足1232k k k +=，得到常数a 。

【详解】
(1)由题意,0k > ∴圆心C 到直线l 的距离
d =
直线l 与圆C 相切
1d ∴=
=，解得：k =
∴直线l 方程为：y x =
（2）（i ）设()11,A x y ,由2OA AB =得:1133,22B x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
由()22112211413341
22x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,
解得：11258x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
25k ∴= ∴直线l 的方程为
:y x =
（ii ）由题意知：()3,0M ,()5,0N
则()1:3AM l y k x =-，与圆()22:41C x y -+=联立得：()()()22
1131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦
3M x = 212135
1A k x k +∴=+ 2112211352,11k k A k k ⎛⎫+∴ ⎪++⎝⎭
同理可得：2
222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭
OA
OB k k = 12
22
12
221222
12
22113553
11k k k k k k k k -++∴=++++，整理可得:()()12121350k k k k ++=
121k k ≠- 213
5
k k ∴=-
设()00,P x y ()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩ 120
1212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪∴⎨-⎪=
⎪-⎩
12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫--∴ ⎪--⎝⎭
，即1315,44k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1
31
3141554
k k k ∴== 12132
25
k k k k ∴+==
∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立
【点睛】
本题考查根据直线与圆的位置关系求解直线方程、直线与圆中的存在性、定值类问题，关键是能够灵活运用直线与圆联立，将所涉及的变量用同一变量来表示，从而可整理得到所求参数的值.
19．已知函数()()x
f x mx n e -=+（,m n R ∈,e 是自然对数的底数）.
(1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；
（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值;②当1m n ==时，设函数()()()()x
g x xf x tf x e t R -'=++∈,是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得
()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增;(2）①2
1
2
e +
；②存在(),323,2e t e ⎛⎫
∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭
，使得命题成立
【解析】（1）利用切线方程可知()21f e =
，()1
1f e
'=-，从而构造出方程组求得,m n ，得到()f x 解析式，根据导函数的符号确定()f x 的单调区间;（2）①将问题转化为1x
m e x
≥+对任意
1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
恒成立；设()1x x e x ϕ=+，利用导数求解()max x ϕ,可得()max m x ϕ≥；②设存在
[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，将问题转化为()()()()min max 2g x g x <，利用导数分别在1t ≥，0t ≤和01t <<研究()g x 的最大值和最小值,从而根据最值的关系可求得t 的取值范围。

【详解】
（1）由题意()()()
()
2
x x
x
x me mx n e mx m n f x e e -+-+-'=
=
()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为:30x ey +-=
()21f e ∴=，()11f e '=-，即：2
1m n e e
n e
e +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得:1m =,1n =
()1x x f x e +∴=
，()x
x
f x e
'=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '> ()f x ∴在()0,∞+上单调递减,在(),0-∞上单调递增
（2）①由1n =-,m R ∈，
1x
mx x e -≥，即:1x
m e x
≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1x
m e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立
记()1x x e x ϕ=+，()21
x x e x
ϕ'=-
设()21x
h x e x =-
()320x
h x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-
在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增
而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,()2
1204h e =->
()21x x e x ϕ'∴=-
在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'>
()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，在()02x ,上单调递增
()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫
⎪⎝⎭
和()2ϕ中的较大的一个
∴()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩
，即2
212m m e ⎧≥⎪⎨≥+
⎪⎩ 2
12m e ∴≥+， m ∴的最小值为21
2
e +
②假设存在[],,0,1a b c ∈,使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()min max 2g x g x <
()()211
x
x t x g x e
+-+= ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减 ()()210g g ∴<，即321t e -⋅
<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫
∴∈-+∞ ⎪⎝⎭
②当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增 ()()201g g ∴<,即32t
e
-<
，得:320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- ③当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>， ()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增
∴()()(){}2max 0,1g t g g ∴<,即132max 1,t t t e e +-⎧⎫
⨯<⎨⎬⎩⎭
……（） 由(1)知()1t t f t e
+=
在[]0,1t ∈上单调递减，故14
2t t e e +⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（）无解
综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭
,使得命题成立 【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数的几何意义的应用、研究函数的单调性、恒成立问题的求解.本题的解题关键是能够将问题转化为函数最值之间的关系,从而将恒成立问题进行等价转化，转变为函数最值的求解问题， 20．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-，1,2,3,
k =，则称{}
n b 是{}n a 的“收缩数列”。

其中{}12max ,,,k a a a ,{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,
,k a a a 中的最大
数和最小数。

已知{}n a 为无穷数列,其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”。

（1）若21n a n =+,求{}n b 的前n 项和; (2)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ; （3）若121(1)(1)
(1,2,3,)22
n n n n n n S S S a b n +-+++=
+=且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a 。

【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1
n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥。

【解析】(1）根据21n a n =+可得{}n a 为递增数列,从而可得22n b n =-，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得
{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}1212max ,,,min ,,,n n a a a a a a ≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，即1n n b b +≥，则可知{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=,可证得结论；（3)令1,2,3n =猜想可得12
,1
,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足
12,1,1
n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件，从而可得结论.
【详解】
(1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列
{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=-
由通项公式可知{}n b 为等差数列 {}n b ∴的前n 项和为：
()22
12
n n n n -⨯=- (2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ {}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅
()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅,又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b
（3）由()()
()121111,2,3,22
n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得: 当1n =时，11a a =；
当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；
当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =,与32a a <矛盾; 若312a a a <≤,则323b a a =-，所以由(）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-,由（）可得32a a =。

猜想:满足()()
()121111,2,3,22
n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=
+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是: 12
,1
,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥
经验证，左式()()
12121211212
n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()
11211
21111122222
n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=
+=+-=+ 下面证明其它数列都不满足（3)的题设条件
由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，12,1
,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的
假设k a 是首次不符合12
,1
,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项,则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠
由题设条件可得
()()2211112
222
k k k k k k k a a a b ----+=+（) 若12k a a a ≤<，则由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由(）可得()
()2112
k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾;
所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =。

这与假设2k a a ≠矛盾。

所以不存在数列不满足12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件
综上所述：12
,1
,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥
【点睛】
本题考查新定义运算的问题求解,关键是能够明确新定义的具体意义，从而将问题转化为最大项与最小项的问题，涉及到递增数列、猜想与证明、反证法等知识，对于学生理解与应用能力、转化与化归能力要求较高，属于难题. 21．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直
线的方程． 【答案】
.
【解析】分析：先求出AB ＝，再设点P 0(x 0，y 0）是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换
作用下得到P （x ，y ),再求直线的方程． 详解：因为A ＝
，B ＝
，所以AB ＝
．
设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P （x ，y ）． 因为P 0(x 0，y 0)在直线l ： x －y ＋2＝0上,所以x 0－y 0＋2＝0． ① 由AB ,即,
得
, 即
,②
将②代入①得x －4y ＋4＝0， 所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0．
点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.
22．极坐标中，过点2,4
P π⎫⎪⎭
作曲线2cos ρθ=的切线l ，求直线l 的极坐标方程。

【答案】sin 1ρθ=
【解析】将极坐标方程化为普通方程，可验证出点P 在圆上，从而可得过P 点切线的直角坐标方程，将直角坐标方程再化回极坐标方程即可. 【详解】
曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：()2
211x y -+=
点2,4P π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1 ∴点P 在圆上，又因为圆心()1,0
故过点P 的切线为1y =
∴所求的切线的极坐标方程为:sin 1ρθ=
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化，涉及到过圆上一点的圆的切线的求解，属于常规题型.
23．已知,0x y >，且1x y +=，求证
≤ 【答案】详见解析
【解析】根据柯西不等式可证得结果. 【详解】
(
()()2
22111
11x x
y ++++++≤ 又1x y +=
2
6∴
≤
≤
【点睛】
本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.
24．某商场进行抽奖活动。

已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅
有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次,拿到红色球的个数记为X 。

（1）若取球过程是无放回的，求事件“2X ="的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）
15
28
;(2）详见解析。

【解析】（1)利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望. 【详解】
（1）根据超几何分布可知：()21
5338
15
228C C P X C ===;
(2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3;且53,8X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()33
5388k
k k
P X k C -⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,3k =
∴分布列如下:
()515
388
E X =⨯=
【点睛】
本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.
25．设{}n a 为下述正整数N 的个数:N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值;
（2)对*n N ∀∈,试探究222n n a a +⋅与2
21n a +的大小关系,并加以证明。

【答案】（1）11a =，21a =,32a =，44a =；（2）2
22221n n n a a a ++=,证明详见解析。

【解析】（1）根据已知条件，依次取1,2,3,4n =，列出符合的正整数N ,从而得到个数，得到所
求结果;(2）由（1）猜想可知：2
22221n n n a a a ++=，首先证得当4n >时，134n n n n a a a a ---=++,再用
数学归纳法证得21221n n n a a a +-=+，接着用数学归纳法证明猜想的结论成立. 【详解】
（1)1n =，则1N = 11a ∴=；
2n =,则11N = 21a ∴=；
3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；
4n =,则1111N =,13N =，31N =，4N = 44a ∴=；
综上:11a =，21a =，32a =,44a =
（2）由（1）猜想:2
22221n n n a a a ++=；
记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=
假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23k x x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n - 故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++
先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+ ①1n =时，由(1）得:312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时,21221k k k a a a +-=+
当1n k =+时,2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+
∴当1n k =+时,结论成立；
综合①②,21221n n n a a a +-=+，*n N ∈
再用数学归纳法证明下式成立:2
22221n n n a a a ++=
①当1n =时,由（1）得：2
243a a a =，结论成立; ②假设当n k =时,2
22221k k k a a a ++=
当1n k =+时，()2
222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++=
()()2
22232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=
∴当1n k =+时，结论成立;
综合①②，2
22221n n n a a a ++=，*n N ∈
【点睛】
本题考查利用数学归纳法证明数列中的递推关系的问题，关键是能够明确n a 的定义，通过赋值的方式求解数列中的项;进而采用猜想的方法得到结论，再利用数学归纳法进行证明.。