人教a版·数学·高一必修1第二章_章末检测卷

当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为增函数，
因为－3>－3.1，所以a－3>a－3.1.
即f >f(－2.1)；
当0<a<1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上为减函数，因为－3>－3.1，所以a－3<a－3.1，
即f <f(－2.1)．
19．(12分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)其中(0<a<1)．
由1<x1<x2得x1－x2<0，x1x2>0，所以x1x2－a>0在(1，＋∞)上恒成立．
又x1x2>1，所以a≤1.即a≤1时，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
21．(12分)已知f(x)＝ .
(1)证明：函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝ ，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．
(3)解：函数g(x)为偶函数．
证明：由题意知g(x)＝ ＝ ·x.
易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)·
＝(－x)·
＝x·
＝g(x)．
所以函数g(x)为偶函数．
22．(12分)已知函数f(x)＝ln2x－2aln(ex)＋3，x∈[e－1，e2]．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的值域；
【解析】利用指数函数、对数函数的性质求解．
当x≥1时，log x≤log 1＝0，∴当x≥1时，f(x)≤0.当x<1时，0<2x<21，即0<f(x)<2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．
【答案】(－∞，2)
16．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f ＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是________．
【答案】D
7．函数y＝ 的单调递增区间是()
A．(－∞，1) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1，＋∞)
【解析】函数t＝－x2＋2x的单调递增区间为(1，＋∞)，又y＝ t为减函数，所以y＝ 的单调递增区间为(1，＋∞)．故选D.
【答案】D
8．已知函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是()
(2) ÷100 ＋7 .
【解析】(1)原式＝ －1－ ＋ －2＋[( )－4] ＝ －1－ －2＋ －2＋( )3＝ ＋2＝ .
(2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷100 ＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.
18．(12分)已知函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)，
(1)若函数y＝f(x)的图象经过点P(3,4)，求a的值；
C．9 D.
【解析】∵f(log 4)＝f ＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a＝± ，又a>0，∴a＝ .
【答案】A
11．已知函数f(x)＝ 在R上为减函数，则实数a的取值范围是()
A．(0,1) B.
C. D.
【解析】由于函数f(x)为R上的减函数，所以满足 解得0<a< .
A．增函数B．减函数
C．常数函数D．不单调的函数
【解析】∵x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，f(x)<0∴a>1.∴f(x)在定义域(－1，＋∞)上是增函数．
【答案】A
10．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(log 4)＝－3，则a的值为()
A. B．3
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．只在第一象限
【解析】设f(x)＝xn，则 n＝9，n＝－2.
∴f(x)＝x－2，因为f(x)的图象在第一、二象限．
【答案】A
5．已知a＝5 ，b＝5 ，c＝( ) ，则()
A．a>b>cB．b>a>c
C．a>c>bD．c>a>b
【解析】c＝5 只需比较log23.4，log43.6，log3 的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3 >1，所以a>c>b.
【解析】(1)由f(1)＝2得a＝1，所以f(x)＝x＋x－1，由f(m)＝5得m＋m－1＝5，所以(m＋m－1)2＝25，即m2＋m－2＋2＝25，所以m2＋m－2＝23.
(2)设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ －x2－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)· ，
因为f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以(x1－x2)· <0，
【解析】(1)证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x1<x2，
则x2－x1>0.
又2 ＋1>0,2 ＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以函数f(x)是R上的增函数．
(2)解：f(x)＝ ＝1－ ，
因为2x＋1>1,0< <2，
即－2<－ <0，
所以－1<1－ <1.
所以函数f(x)的值域是(－1,1)．
所以0<－(x＋1)2＋4≤4.
因为0<a<1，
所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4；
由loga4＝－4，得a－4＝4，
所以a＝4 ＝ .
20．(12分)已知f(x)＝x＋ax－1(a>0)，
(1)若f(1)＝2且f(m)＝5，求m2＋m－2的值．
(2)求实数a的范围使函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
(2)当a变化时，比较f 与f(－2.1)的大小，并写出比较过程．
【解析】(1)函数y＝f(x)的图象经过点P(3,4)，所以a3－1＝4，
即a2＝4，又a>0，所以a＝2.
(2)当a>1时，f >f(－2.1)；
当0<a<1时，f <f(－2.1)，
比较过程如下：
因为f ＝f(－2)＝a－3，
f(－2.1)＝a－3.1，
(2)若f(x)≤－alnx＋4恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，y＝f(x)＝ln2x
－2lnx＋1，令t＝lnx∈[－1,2]，
所以y＝t2－2t＋1＝(t－1)2，
当t＝1时，取得最小值0；
t＝－1时，取得最大值4.
所以f(x)的值域为[0,4]．
(2)因为f(x)≤－alnx＋4，
【答案】C
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝ x，x>1}，则A∩B等于()
A. B．{y|0<y<1}
C. D．∅
【解析】∵x>1，∴y＝log2x>log21＝0，
∴A＝(0，＋∞)，
又∵x>1，∴y＝ x< ，∴B＝ .
∴A∩B＝ .
【答案】A
4．已知幂函数f(x)满足f ＝9，则f(x)的图象所分布的象限是()
A．[1,2]B．(0,1]
C．(0,2]D．[1，＋∞)
【解析】作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.
【答案】A
9．已知f(x)＝loga(x＋1)(a>1，且a≠1)，若x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是()
【答案】C
6．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是()
【解析】方法一 当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.
方法二 幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
【解析】由题意可知，f(log4x)<0⇔－ <log4x< ⇔log44 <log4x<log44 ⇔ <x<2.
【答案】 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：(1) －(－0.96)0－ ＋1.5－2＋[(－ )－4] ；
所以ln2x－alnx－2a－1≤0恒成立，
令t＝lnx∈[－1,2]，
所以t2－at－2a－1≤0恒成立，
设y＝t2－at－2a－1，
所以当 ≤ 即a≤1时，ymax＝－4a＋3≤0，所以 ≤a≤1，
当 > 即a>1时，ymax＝－a≤0，
所以a>1，综上所述，a≥ .
即a的取值范围为 .
【答案】B
12．当0<x≤ 时，4x<logax，则a的取值范围是()
A. B.
C)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在 上的图象，可知，f <g ，即2<loga ，则a> ，所以a的取值范围为 .
【答案】－1
14．已知f(x)＝log (x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝ ，由已知，应有 ≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即 解得－4<a≤4.
【答案】(－4,4]
15．函数f(x)＝ 的值域为________．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
【解析】(1)要使函数有意义，
则有 解之得－3<x<1，
所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为
f(x)＝loga(1－x)(x＋3)
＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3<x<1，
法二：∵0<x≤ ，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1，
∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝ ，x＝ ，
则有4 ＝2，log ＝1，显然4x<logax不成立，排除选项A.
【答案】B
二、填空题(4×5分＝20分)
13．lg ＋2lg 2－ －1＝________.
【解析】lg ＋2 lg 2－ －1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.
第二章
一、选择题(12×5分＝60分)
1. 等于()
A．lg 9－1B．1－lg 9
C．8D．2
【解析】因为lg 9<lg 10＝1，所以 ＝1－lg 9.
【答案】B
2．函数y＝ 的定义域是()
A．(－∞，2)B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】由 得x>2且x≠3，故选C.