18-19 课时分层作业4 全称量词与存在量词

18-19 课时分层作业4 全称量词与存在量词
[答案]∃x＞0，x2＋x≤0
5．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．
[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.
[答案]∀x∈N，x2≥4
6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.
[答案](－∞，3]
7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.
[答案](－1,3)
8．对下列命题的否定说法错误的是________．
①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；
②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；
③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；
④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.
【导学号：71392034】[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．
[答案]③
二、解答题
9．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(2)p：每一个非负数的平方都是正数；
(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；
(4)p：有的四边形没有外接圆；
(5)p：某些梯形的对角线互相平分．
[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．
(2)非p ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．
(3)非p ：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．
(4)非p ：所有的四边形都有外接圆，假命题．
(5)非p ：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．
10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a 的取值范围．
[解] 法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a ＞0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)＞0或f (2)＞0，即1＋2a ＋2－a ＞0或4＋4a ＋2－a ＞0.
整理得a ＞－3或a ＞－2，
即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，
令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，
解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.
即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升练]
1．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x ≥2”的充要条件，命题q ：∃x ∈R ，
x 2＋x －1>0.则下列结论中正确的是________．
①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且非q ”是真命题；③命题“非p 且q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．
[解析] 当a ＝1时，x >0有x ＋1x ≥2成立，取a ＝2时x >0有x ＋2x ≥22>2，
故p 是假命题；q 是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．
[答案] ③
2．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．
[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．
[答案] (1，＋∞)
3．给出下列三个结论：
①若命题p 为真命题，命题非q 为真命题，则命题“p 且q ”为真命题； ②命题“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”；
③命题“∀x ∈R,2x ＞0”的否定是“∃x ∈R,2x ≤0”．
则以上结论正确的命题为________(填序号)．
[解析] 非q 为真，则q 为假，所以p 且q 为假命题，所以①错误；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，所以②错误；③正确．
[答案] ③
4．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＞a ；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，如果命题p 真且命题q 假，求a 的取值范围. 【导学号：71392035】
[解] ∵命题p 为真命题，
∴∀x ∈R ，x 2＋x ＞a ；
∵(x 2＋x )min ＝－14，∴a ＜－14
. ∵命题q 为假命题，∴∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ≠0，
∴Δ＝4a 2－4×(2－a )＜0⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1.
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2，－14.。