2021-2022学年陕西省安康市高三(上)期中数学试卷(文科)

2021-2022学年陕西省安康市高三（上）期中数学试卷（文
科）
1.已知集合A={x|e x>1}，B={x|x2<4}，则A⋂B=( )
A. (−2,0)
B. (0,2)
C. (1,2)
D. (−2,+∞)
2.函数f(x)=sinx
在区间[−π,π]上的图象大致为( )
2x+2−x
A. B.
C. D.
3.等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S3=3，则S5=( )
A. 1
B. 5
C. 1或31
D. 5或11
)，则下列结论错误的是( )
4.设函数f(x)=cos(3x+π
6
A. f(x)的最小正周期为2π
3
B. y=f(x)的图像关于直线x=π
对称
9
C. y=f(x)的图像关于点(−2π
,0)对称
9
D. f(x)在(0,π
)单调递减
6
5.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式
呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为( )
A. 8
B. 11
C. 14
D. 16
)给出，其中I为声强(单位：W/m2).某班6.声强级(单位：dB)由公式L1=10lg(I
10−12
级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB.现已知3位同学课
间交流时，每人的声强分别为5×10−7W/m2，10−8W/m2，2×10−9W/m2，则这3人中达到班级要求的人数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√7，a⃗⋅b⃗ =−2，则向量a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为( )
A. π
6B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
8.若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)
sinθ−cosθ
=( )
A. 2
5B. −2
5
C. 6
5
D. −6
5
9.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n
a n+1
，则下列结论正确的是( )
A. 数列{1
a n }是公差为1
2
的等差数列
B. 数列{1
a n
}是公差为2的等差数列
C. 数列{1
a n −1}是公比为1
2
的等比数列
D. 数列{1
a n
−1}是公比为2的等比数列
10.已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2等于a n a n+1的个位数，若数列{a n}的前k
项和为2021，则正整数k的值为( )
A. 505
B. 506
C. 507
D. 508
11.函数f(x)=(1−cosx)sinx在[−π,π]的极大值点为( )
A. −2π
3B. −π
3
C. π
3
D. 2π
3
12.已知数列{a n}中，a1=2，n(a n+1−a n)=a n+1，若对于任意的n∈N∗，不等式
a n+1
n+1
<t恒成立，则t的最小值是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
13.已知向量a⃗=(λ+1,1)，b⃗ =(λ,2)，(a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+b⃗ )，则实数λ=______.
14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=3csinC，cosA=−1
3
，
则b
c
=______.
15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2021<0，S2022>0，则当S n最小时，n的
值为______.
16.若函数f(x)=e−x−ln(x+a)在(0,+∞)上存在零点，则实数a的取值范围是
______.
17. 已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 3+a 5=10，a 4=3.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
18. 已知函数f(x)=sinx +√3cosx.
(1)求不等式f(x)≤1的解集；
(2)将f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的1
2(纵坐标不变)，再将所得图像向右
平移π3
个单位长度，得到函数g(x)的图像．求g(x)在区间[−π3,π
3
]上的值域．
19. △ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，acosC +(2b +c)cosA =0.
(1)求A ；
(2)若AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且AD =72
，AC =3，求△ABC 的面积．
20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1.
(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{2n+1a n
}的前n 项和T n .
21. 已知函数f(x)=lnx −ax +1.
(1)若对任意x ∈(0,+∞)，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围； (2)求证：(1+1
3)(1+1
32)+⋯+(1+1
3n )<√e(n ∈N ∗).
22. 已知函数f(x)=e x−1+xlnx −ax 2.
(1)若a =1，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|e x>1}={x|x>0}，
B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，
∴A⋂B=(0,2).
故选：B.
求出集合A，B，利用交集定义能求出A⋂B.
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除C，D，
【解析】解：f(−x)=−sinx
2−x+2x
当0<x<π时，sinx>0，则f(x)>0，排除B，
故选：A.
先判断函数的奇偶性和对称性，然后判断当0<x<π时，f(x)>0，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，
a1=1，S3=3，则有1+q+q2=3，解可得：q=1或q=−2，
若q=1，S5=5a1=5，
=11，
若q=−2，S5=a1(1−q5)
1−q
故选：D.
根据题意，求出等比数列{a n}的公比，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，涉及等比数列的性质，属于基础题．4.【答案】B
【解析】解：由于函数f(x)=cos(3x+π
6)的最小正周期为T=2π
3
，故A正确；
又当x=π
9时，f(x)=cosπ
2
=0≠±1，故y=f(x)的图像不关于直线x=π
9
对称，故B
错误；
当x=−2π
9时，f(x)=cos(−2π
3
+π
6
)=0，故y=f(x)的图像关于点(−2π
9
,0)对称，故C
正确；
当x∈(0,π
6)时，3x+π
6
∈(π
6
,2π
3
)⊆(0,π)，故f(x)在(0,π
6
)单调递减，故D正确；
综上所述，错误的选项为B，
故选：B.
利用余弦函数的周期性、单调性、对称性对ABCD四个选项逐一判断即可得答案．
本题考查余弦函数的周期性、单调性、对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则数列{a n}为等差数列，又由S9=207，即S9=9a5=207，解得a5=23，
又−d=a1−a2=3，所以d=−3，
所以a9=a5+4d=23−12=11.
故选：B.
记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则数列{a n}为等差数列，根据题意求出a5、d和a9的值．
本题考查了数列的实际应用问题，涉及等差数列的性质以及前n项和公式，是基础题．6.【答案】C
【解析】解：依题意可得，L1=10lg(I
10−12
)≤40，
故I≤10−8，
故声强为10−8W/m 2，2×10−9W/m 2的两人达到要求． 故选：C.
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用哦，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√7，a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，
∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =12+(−2)=−1，
|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2
+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2
=12+2×(−2)+(√7)2=4， ∴|a ⃗ +b ⃗ |=2，
设向量a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=
a ⃗ ⋅(a ⃗ +b
⃗ )|a ⃗ |⋅|a ⃗ +b
⃗ |=−11×2=−1
2，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=
2π
3
. 故选：C.
运用向量的平方即为模的平方，求出a ⃗ +b ⃗ 的模长，再由向量的夹角公式，计算即可得到．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：
sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ
=
sinθ(sinθ−cosθ)2
sinθ−cosθ
=sinθ(sinθ−cosθ)=
sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ
=
tan 2θ−tanθtan 2θ+1
=
4−24+1
=2
5
.
故选：A.
根据二倍角公式，同角三角函数的基本关系化简所求式子，再代入求解即可． 本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：∵a n+1=2a n
a n+1
，
∴1
a n+1=a n+1
2a n
=1
2
⋅1
a n
+1
2
，
∴1
a n+1−1=1
2
(1
a n
−1)，
∴数列{1
a n −1}是公比为1
2
的等比数列．
故选：C.
对已知递推公式进行变形得，1
a n+1=a n+1
2a n
=1
2
⋅1
a n
+1
2
，结合等比数列的定义即可判断．
本题主要考查了利用等比数列的递推公式构造等比数列，还考查了等比数列的定义，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2等于a n a n+1的个位数，
所以a3=a1a2=2，a4=4，a5=8，a6=2，a7=6，a8=2，a9=2，a10=4，.......，故数列除第一项外，其余为周期为6的周期数列；
一个周期的和为2+2+4+8+2+6=24，
由于2021=24×84+5，即数列有84个周期加第一项以及2，2两项，一共有1+
84×6+2=507；
故选：C.
直接利用数列的递推式和数列的周期求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的周期，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：f′(x)=sinx⋅sinx+(1−cosx)cosx=−2cos2x+cosx+1=(−cosx+ 1)(2cosx+1)，
∴当x∈(−π,−2π
3
)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(−2π
3,2π
3
)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(2π
3
,π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴函数f(x)=(1−cosx)sinx在[−π,π]的极大值点为2π
3
.
故选：D.
利用函数的导数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解最大值点即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是中档题．12.【答案】B
【解析】解：∵n(a n+1−a n)=a n+1，∴na n+1−(n+1)a n=1，
∴a n+1
n+1−a n
n
=1
n(n+1)
=1
n
−1
n+1
，
∴a n+1
n+1=a n+1
n+1
−a n
n
+a n
n
−a n−1
n−1
+⋯+a2
2
−a1
1
+a1，
∴a n+1
n+1=(1
n
−1
n+1
)+(1
n−1
−1
n
)+(1
n−2
−1
n−1
)+⋯+(1−1
2
)+2，
∴a n+1
n+1=(1−1
n+1
)+2=3−1
n+1
，
∵a n+1
n+1<t，∴3−1
n+1
<t，∴t≥3，
故选：B.
由题意可得a n+1
n+1−a n
n
=1
n(n+1)
=1
n
−1
n+1
，运用累加法和″裂项相消法′′求和可得a n+1
n+1
，再
将不等式恒成立问题转化为3−1
n+1
<t成立，由此可得实数t的取值范围．
本题主要考查数列的递推关系，数列与不等式的综合问题等知识，属于中等题．13.【答案】1
【解析】解：∵向量a⃗=(λ+1,1)，b⃗ =(λ,2)，(a⃗−b⃗ )⊥(a⃗+b⃗ )，
∴a⃗−b⃗ =(1,−1)，∴a⃗+b⃗ =(2λ+1,3)，∴(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=2λ+1−3=0，
求得实数λ=1，
故答案为：1.
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运
算法则，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA−bsinB=3csinC，cosA=−1
3
，
∴由正弦定理可得a2−b2=3c2，①
由余弦定理可得cosA=−1
3=b2+c2−a2
2bc
，②
∴联立①②解得b=3c，
∴则b
c
=3.
故答案为：3.
利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15.【答案】1011
【解析】解：因为等差数列{a n}的中，S2021=2021(a1+a2021)
2
=2021a1011<0，S2022= 1011(a1+a2022)=1011(a1011+a1012)>0，
所以a1011<0，a1011+a1012>0，
则当S n最小时，n=1011.
故答案为：1011.
由已知结合等差数列的性质得出a1011<0，a1011+a1012>0，从而可求．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
16.【答案】(−∞,e)
【解析】解：若f(x)=e−x−ln(x+a)在(0,+∞)
上存在零点，
即e−x=ln(x+a)在(0,+∞)上有解，
即两个函数y=e−x和ℎ(x)=ln(x+a)在(0,+∞)上有交点，
作出两个函数的图象如图：
若a>0，
则只需要h，0)=lna<1，即0<a<e，
则a≤0，则ℎ(x)=ln(x+a)的图象是函数y=lnx向右平移的，此时在(0,+∞)上恒有交点，满足条件，
综上a<e，
故答案为：(−∞,e).
利用函数零点与函数图象之间的关系，转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数方程的应用，利用条件转化为两个函数交点情况，利用数形结合是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)设数列{a n}的公比为q，
则由已知得3
q
+3q=10，
解得q=3或q=1
3
(舍去)，
∴a n=a4⋅3n−4=3n−3.
(2)由(1)得，
b n=log3a n=log33n−3=n−3，
故S n=−2−1+0+1+⋯+n−3=n(n−5)
2
.
【解析】(1)设数列{a n}的公比为q，从而得3
q
+3q=10，解方程即可得到q=3，再求{a n}的通项公式即可；
(2)由对数运算性质得b n=log3a n=log33n−3=n−3，利用等差数列前n项和公式求解即可．
本题考查了等差数列、等比数列的性质及待定系数法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π
3
)，
∴f(x)≤1，即sin(x+π
3)≤1
2
，
结合y =sinμ的图像可得2kπ+5π6
≤x +π3
≤2kπ+
13π6
，即2kπ+π2
≤x ≤2kπ+
11π6
，
k ∈Z ，
∴f(x)≤1的解集为[2kπ+π2
,2kπ+
11π6]，k ∈Z.
(2)由题可知g(x)=2sin[2(x −π3
)+π3
]=2sin(2x −π3
)， 当−π
3≤x ≤π
3时，−π≤2x −π
3≤π
3，
结合y =sinμ的图像可得g(x)在区间[−π3,π
3]上的值域为[−2,√3].
【解析】(1)由题意利用两角和的正弦公式化简函数解析式可得sin(x +π
3
)≤1
2
，进而根
据正弦函数的性质即可求解．
(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可求g(x)=2sin[2(x −π
3
)+π
3
]=2sin(2x −
π3
)，根据正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了两角和的正弦公式，正弦函数的性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由acosC +(2b +c)cosA =0，
可得sinAcosC +sinCcosA =−2sinBcosA ， 即sin(A +C)=−2sinBcosA ， 即sinB =−2sinBcosA ， ∵sinB >0， ∴cosA =−1
2， ∴由A ∈(0,π)，可得A =
2π3
.
(2)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即494=14(c 2+9−2c ⋅3⋅12)， 即c 2−3c −40=0，解得c =8(−5舍去)， ∴△ABC 的面积为S =1
2bcsinA =1
2×3×8×√3
2
=6√3.
【解析】(1)利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB >0，可求cosA =−1
2，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值．
(2)将已知等式两边平方，利用平面向量数量积的运算可得c 2−3c −40=0，解得c 的值，根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，平面向量数量积的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，
与原式联立相减得S n −S n−1=a n =2a n −2a n−1， ∴a n =2a n−1，∴
a n a n−1
=2，
令n =1得S 1=a 1=2a 1−1，∴a 1=1，
∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n =2n−1. (2)由(1)得
2n+1a n
=(2n +1)⋅(1
2)n−1，
T n =3⋅(12)0+5⋅(12
)1+7⋅(12
)2+⋯+(2n +1)⋅(12
)n−1，
12T n =3⋅(12)1+5⋅(12)2+7⋅(12)3+⋯+(2n +1)⋅(1
2
)n 两式相减得12T n =3+1+(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−2−(2n +1)⋅(1
2)n =3+
1−
1
2n−11−12
−(2n +1)⋅(1
2)n ，
化简得T n =10−(2n +5)⋅(12
)n−1.
【解析】(1)利用数列的递推关系式推出数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，然后求解通项公式． (2)化简
2n+1a n
=(2n +1)⋅(1
2
)n−1，利用错位相减法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】(1)解：f′(x)=1x −a =
1−ax x
，
若a ≤0，当x >1时，lnx −ax +1>0，不符合题意， 若a >0，f′(x)>0得0<x <1
a ，f′(x)<0得x >1
a ， ∴f(x)在(0,1
a )上递增，在(1
a ,+∞)上递减，
∴f(x)max =f(1a )=ln 1a −a ⋅1a +1=ln 1
a ≤0， ∴lna ≥0，a ≥1， ∴a 的取值范围[1,+∞).
(2)证明：由(1)知，当a =1，lnx ≤x −1(x >0)， ∴ln(1+1
3n )<1
3n ， ln[(1+1
3)+ln(1+
132
)+…+ln(1+
13n
)]<
131+
132
+⋯+
13n
，
而13
1+
132
+⋯+
13n =1
3
⋅
1−(13)n
1−13
=1
2−
1
2×3n
<12
，
∴ln[(1+1
3)(1+1
32)⋯(1+1
3n )]<1
2，
∴(1+13)(1+132)+⋯+(1+1
3
n )<√e(n ∈N ∗)
【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，转化为求解函数的最值问题即可求解；
(2)由(1)知，当a =1，lnx ≤x −1(x >0)，从而ln(1+1
3n )<1
3n ，然后进行赋值后结合对数的运算性质可证．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围问题及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
22.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=e x−1+xlnx −x 2，∴f(1)=0，f′(x)=e x−1+
lnx +1−2x ，∴f′(1)=0，
∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =0. (2)∵f(x)≥0，∴f(1)≥0，∴a ≤1， 当a ≤1时，f(x)≥e x−1
+xlnx −x 2
=x(
e x−1x +lnx −x)，
令g(x)=
e x−1x
+lnx −x ，g′(x)=
e x−1(x−1)
x 2
+1
x −1=
(x−1)(e x−1−x)
x 2
，
令ℎ(x)=e x−1−x ，ℎ′(x)=e x−1−1，当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0. ∴当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)≥g(1)=0，∴f(x)≥0，满足题意．
∴实数a的取值范围是(−∞,1].
【解析】(1)当a=1时，化简f(x)=e x−1+xlnx−x2，求出函数的导数，求解切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．
+lnx−x，通过函数的导数，求解函数的单调(2)判断a≤1，通过构造函数g(x)=e x−1
x
区间，然后转化求解实数a的取值范围．
本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．。