2020-2021深圳北师大南山附属学校中学部九年级数学上期末试题带答案

2020-2021深圳北师大南山附属学校中学部九年级数学上期末试题带答案
一、选择题
1．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知
4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1
B ．1＜m ≤2
C ．2＜m ＜4
D ．0＜m ＜4
3．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m ，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为xm ，下面所列方程正确的是( )
A ．x(x-20)=300
B ．x(x+20)=300
C ．60(x+20)=300
D ．60(x-20)=300
4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()2
20y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1
…
1
3
5
6
…
y 2 … 0 -1 0 5 9 …
当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2
B ．4＜x ＜5
C ．x ＜-1或x ＞5
D ．x ＜-1或x ＞4
6．甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
7．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2
(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ） A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位 C ．向上平移3个单位 D ．向下平移3个单位 8．用配方法解方程x 2+2x ﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A ．（x ﹣1）2=6
B ．（x+1）2=6
C ．（x+2）2=9
D ．（x ﹣2）2=9
9．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜﹣2
B ．﹣2＜x ＜4
C ．x ＞0
D ．x ＞4
10．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）
A ．4m 或10m
B ．4m
C ．10m
D ．8m 11．方程x 2＝4x 的解是（ ）
A ．x ＝0
B ．x 1＝4，x 2＝0
C ．x ＝4
D ．x ＝2 12．设,a b 是方程2320170x x +-=的两个实数根，则22a a b +-的值为（ ）
A ．2017
B ．2018
C ．2019
D ．2020
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（2，0），将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，则点P 3的坐标是_____．
14．心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x （分）之间的关系式为
y=﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需________ 分钟． 15．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝30cm ，BC ＝40cm ，现利用该三角形裁剪一个最大的圆，则该圆半径是_____cm ．
16．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．
17．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是
23
602
s t t =-，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
18．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 19．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B 出发，沿表面爬到母线AC 的中点D 处，则最短路线长为_____．
20．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB +BC =10m ，拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S （m 2）.
（1）如图1，若BC =4m ，则S =_____m 2．
（2）如图2，现考虑在（1）中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正△CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为____m ．
三、解答题
21．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果； （2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．
22．我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了_________名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.
23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
24．如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，
∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O 相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PB，PC，且满足∠PCA ＝∠ABC
（1）求证：P A＝PC；
（2）求证：P A是⊙O的切线；
（3）若BC＝8，
3
2
AB
DF
，求DE的长．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】
如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．
【详解】
解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x=m中2＜m＜4，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可．
【详解】
设扩大后的正方形绿地边长为xm，
根据题意得x（x-20）=300，
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．4．B
解析：B
【解析】
【详解】
解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x =1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确； ∵x =﹣
2b
a
=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y =0，即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，从而得到当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围． 【详解】
∵当x=0时，y 1=y 2=0；当x=4时，y 1=y 2=5； ∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5）， 而-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，
∴当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是x ＜-1或x ＞4． 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画树状图求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可．
【详解】
画树状图如下：
分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红
的有2种，所以同时摸到红球的概率是21 63 ．
故选A．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），
所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8．B
解析：B
【解析】
x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
故选B.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．
故选B．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.
【详解】
设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，
根据题意列出方程x（28-2x）=80，
解得x1=4，x2=10
因为8≤x＜14
∴与墙垂直的边x为10m
故答案为C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
x2＝4x，
x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x﹣4＝0，x＝0，
x1＝4，x2＝0，
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先根据根与系数的关系，求出a+b=-3；然后根据a 是方程2320170x x +-=的实数根，可得2320170a a +-=，据此求出232017a a +=,利用根与系数关系得：+a b =-3，22a a b +- 变形为（2a 3a +）-（+a b ），代入即可得到答案． 【详解】
解：∵a 、b 是方程2320170x x +-=的两个实数根， ∴+a b =-3；
又∵2320170a a +-=， ∴232017a a +=， ∴22a a b +-
=（2a 3a +）-（+a b ） =2017-（-3） =2020
即22a a b +-的值为2020． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解，把22a a b +-化成（2a 3a +）-（+a b ）是解题的关键．
二、填空题
13．（﹣22）【解析】【分析】利用旋转的性质得到
OP2=2OP1=OP3=4∠xOP2=∠P2OP3=60°作P3H⊥x 轴于H 利用含30度的直角三角形求出OHP3H 从而得到P3点坐标【详解】解：如图∵点
解析：（﹣2， 【解析】 【分析】
利用旋转的性质得到OP 2=2OP 1=OP 3=4，∠xOP 2=∠P 2OP 3=60°，作P 3H ⊥x 轴于H ，利用含30度的直角三角形求出OH 、P 3H ，从而得到P 3点坐标． 【详解】
解：如图，∵点P 0的坐标为（2，0）， ∴OP 0=OP 1=2，
∵将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得点P 3，
∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，
OH=1
2
OP3=2，P333
∴P3（-2，3
故答案为（-2，3
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
14．13【解析】【分析】直接代入求值即可【详解】试题解析：把y=599代入y=﹣01x2+26x+43得599=-
01x2+26x+43解得：x1=x2=13分钟即学生对概念的接受能力达到599时需要1
解析：13
【解析】
【分析】
直接代入求值即可．
【详解】
试题解析：把y=59.9代入y=﹣0.1x2+2.6x+43得，59.9=-0.1x2+2.6x+43解得：x1=x2=13分钟．
即学生对概念的接受能力达到59.9时需要13分钟．故答案为：13．
考点：二次函数的应用．
15．【解析】【分析】根据勾股定理求出的斜边AB再由等面积法即可求得内切圆的半径【详解】由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆设AC边上的切点为D连接OAOBOCOD∵∠ACB＝90°AC
解析：【解析】
【分析】
根据勾股定理求出的斜边AB，再由等面积法，即可求得内切圆的半径.
【详解】
由题意得：该三角形裁剪的最大的圆是Rt△ABC的内切圆，设AC边上的切点为D，连接OA、OB、OC，OD，
∵∠ACB＝90°，AC＝30cm，BC＝40cm，∴AB＝22
3040
+＝50cm，
设半径OD＝rcm，
∴S△ACB＝1
2
AC BC
⋅＝
111
AC r BC r AB r
222
⋅+⋅+⋅，
∴30×40＝30r+40r+50r，
∴r＝10，
则该圆半径是 10cm．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查内切圆、勾股定理和等面积法的问题，属中档题.
16．-
4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2 =﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+
解析：-4
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．
【详解】
∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣
=﹣=﹣4．
故答案为﹣4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．
17．【解析】【分析】把解析式化为顶点式再根据二次函数的性质得出答案即可【详解】解：∴当t=20时s取得最大值此时s=600故答案为20考点：二次函数的应用；最值问题；二次函数的最值
解析：【解析】
【分析】
把解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质得出答案即可。

【详解】
解：2233
60(30)60022
s t t t =-
=--+， ∴当t=20时，s 取得最大值，此时s=600． 故答案为20．
考点：二次函数的应用；最值问题；二次函数的最值．
18．-1-1【解析】【分析】设方程的另一根为t 根据根与系数的关系得到2+t=-p2t=-2然后先求出t 再求出p 【详解】解：设方程的另一根为t 根据题意得2+t ＝﹣p2t ＝﹣2所以t ＝﹣1p ＝﹣1故答案为：
解析：-1 -1 【解析】 【分析】
设方程的另一根为t ，根据根与系数的关系得到2+t=-p ，2t=-2，然后先求出t ，再求出p ． 【详解】
解：设方程的另一根为t ， 根据题意得2+t ＝﹣p ，2t ＝﹣2， 所以t ＝﹣1，p ＝﹣1． 故答案为：﹣1，﹣1． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-
b a ，x 1•x 2=
c a
． 19．【解析】【分析】将圆锥侧面展开根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得蚂蚁的最短路线长【详解】如图将圆锥侧面展开得到扇形ABB′则线段BF 为所求的最短路线设∠BAB′＝n°∵∴n＝120即∠BAB′＝ 解析：3
【解析】 【分析】
将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长. 【详解】
如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB ′， 则线段BF 为所求的最短路线．
设∠BAB′＝n°．
∵
6
4 180
nπ
π
⋅
=，
∴n＝120，即∠BAB′＝120°．
∵E为弧BB′中点，
∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
Rt△AFB中，∠ABF＝30°，AB＝6
∴AF＝3，BF＝，
∴最短路线长为．
故答案为：
【点睛】
本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.
20．88π；【解析】【分析】(1)小狗活动的区域面积为以B为圆心10m为半径的圆以C为圆心6m为半径的圆和以A为圆心4为半径的圆的面积和据此列式求解可得；(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心10为半
解析：88π；5 2
【解析】【分析】
(1)小狗活动的区域面积为以B为圆心、10m为半径的3
4
圆，以C为圆心、6m为半径的
1
4
圆和以A为圆心、4为半径的1
4
圆的面积和，据此列式求解可得；
(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的3
4
圆，以A为圆心、x为半径的
1 4圆、以C为圆心、10-x为半径的
30
360
圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质
解答即可．
【详解】
解：(1)如图，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10m为半径的3
4
圆，以C为圆心、6m为
半径的1
4
圆和以A为圆心、4m为半径的
1
4
圆的面积和，
∴S=3
4
×π•102+
1
4
•π•62+
1
4
•π•42=88π；
（2）如图，
设BC=x，则AB=10-x，
∴S=3
4
•π•102+
1
4
•π•x2+
30
360
•π•(10-x)2
=π
3
(x2-5x+250)
=π
3
(x-
5
2
)2+
325π
4
，
当x=5
2
时，S取得最小值，
∴BC=5 2 .
故答案为：(1)88π；(2)5 2 .
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及
利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．三、解答题
21．(1)见解析;(2)1 3 .
【解析】
【分析】
（1）画树状图列举出所有情况；
（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】
解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，
∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．
【点睛】
本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.
22．（1）50；（2）见解析；（3）1
6
．
【解析】
【分析】
(1) 本次一共调查：15÷30%;(2)先求出B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7，再画图；（3）先列表，再计算概率.
【详解】
（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；
故答案为50；
（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7=12，
如图所示：
（3）列表：
A B C D
A A
B A
C AD
B BA B
C BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∴P（选中A、B）=
2
12
=
1
6
．
【点睛】
本题考核知识点：统计初步，概率.解题关键点：用列表法求概率.
23．(1) w＝－10x2＋700x－10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;
(3) A方案利润更高.
【解析】
【分析】
试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.
【详解】
解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.
（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
∴当x＝35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.
（3）A方案利润高,理由如下：
A方案中：20＜x≤30，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而增大，
∴当x=30时，w有最大值，此时，最大值为2000元.
B方案中：，解得x的取值范围为：45≤x≤49.
∵45≤x≤49时，函数w＝－10（x－35）2＋2250随x的增大而减小，
∴当x=45时，w有最大值，此时，最大值为1250元.
∵2000＞1250，
∴A方案利润更高
24．（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为4
3 3
π-
【解析】
【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，
∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=23，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.
【详解】（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=23，
易求S△AOC=1
2
×23×1=3
S扇形OAC=12044 3603
ππ
⨯
=，
∴阴影部分面积为4
3 3
π
-.
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝8．
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出P A＝PC；（2）由PC＝P A得出∠P AC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．
【详解】
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴P A＝PC，
（2）证明：由（1）知：P A＝PC，
∴∠P AC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠P AC＝90°，即AB⊥P A，
∴P A是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝1
2
BC＝
1
8
2
⨯＝4，
∵
3
2 AB
DF
=，
设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝3
2
a
﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.。