浅谈二次型的分类问题

2015届本科毕业论文(设计)
题目：淺谈二次型的分类问题
所在学院：数学科学学院
专业班级：数学与应用数学11-2班
学生姓名：阿玛尼·阿不力木
指导教师：艾合买提老师
答辩日期：2015年5月7日
新疆师范大学教务处
目录
前言 3
1认识二次型 4
1.1 二次型的来历 4
1.2 二次型的定义和矩阵表示 4
1.3 线性变换 6
2二次型的分类7
2.1 二次型的标准型7
2.2 实二次型和复二次型11
2.3 正定二次型和不定二次型13
2.4 二次曲面的分类18
3 二次型分类的意义和应用20
3.1 二次型分类的意义20
结束语 (22)
参考文献 (22)
致 ........................................................................................................
摘要：这篇文章主要研究二次型的分类问题。

首先认识二次型的来历，概念与矩阵的关系，性质；其次了解二次型的各个分类实二次型复二次型正定二次型，二次型的标准型等等然后讨论二次型分类的方法意义和数学中的应用中间加了有关的典型例题。

关键词：二次型；复二次型；实二次型；正定；半定；不半定；不正定二次型；惯性定理；，二次曲面
Abstract：This paper mainly studies the classification of the quadratic problem. Firstly know the origin of quadratic form, concept and matrix, the relationship between properties; Second to understand the real quadratic form of each classification of quadratic complex quadratic positive definite quadratic form, the standard quadratic etc. Then discuss quadratic classification among the significance and the application of mathematical method with relevant examples.
Keywords：Quadratic form; Complex quadratic form; Quadric form; Positive definite. Semidefinite; Not half; Not positive definite quadratic form; The inertia theorem; The quadric surface
1.认识二次型
1.1二次型的来历
二次型（quadratic form)是线性代数中最为重要的内容之一。

二次型的研究是从18世纪开始的，它起源于几何学中的二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程进行变换，把有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。

柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。

在化
简成标准型时，为什么会得到同样数目的正项和负项，这个最初是一个未知的。

西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n 个变数的二次型的惯性定理，但没有证明。

这个定律后来被雅克比重新发现和证明。

高斯在1801年《算术研究》中引进了二次型的正定、负定，半正定以及半负定等一些概念。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。

欧拉在以前的著作当中间接地提过特征方程这个概念，拉格朗日在著作中最先准确地提出这个概念。

而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。

二次型的应用涉及到物理学、几何学、概率论等学科甚至在这些科学中广泛的应用。

在二次型的研究从浅到深的发展过程当中与代数论，数的几何等都有密切的关系。

此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。

1.2 二次型的定义和矩阵表示
二次型本质上是一个关于n 个变量的函数。

二次型在表达式中没有一次项和常数项就有平方项和交叉项的特殊的二次齐次函数。

定义1 设F 是一个数域，F 上n 元二次齐次多项式
()n n n n n nn n x x a x x a x x a x a x a x a x x x q 1,1311321122
2
2222
11121222,,--+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅ （1）
叫作F 上一个n 元二次型。

F 上n 元多项式总可以看成F 上n 个变量的函数。

二次型（1）定义了
一个函数F F q n →:.n 元二次型也称为n 个变量的二次型。

在（1）中令),1(n j i a a ji ij ≤≤=。

因为i j j i x x x x =，所以（1）式可以写成一下形式：
.,),,(1121ji ij n
i n
j j i ij n a a x x a x x x q ==⋅⋅⋅∑∑== （2）
设n 阶对称矩阵
A =1112112
22212n n n
n
nn a a a a
a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：
f (x 1，x 2，…，x n )=( x 1，x 2，…，x n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n
n
n n a a a
a a a a a a 212221211211⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛n x x x 21=X T AX
其中 X =( x 1，x 2，…，x n )T 。

对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。

矩阵A 的秩称为二次型f (x 1，x 2，…，x n )的秩。

二次型与非零对称矩阵一一对应。

如果给定一个二次型，那么可以为其系数矩阵确定一个非零的对称矩阵作；相反，假如给定一个非零的对称矩阵，则对称矩阵为系数矩阵确定一个二次型。

二次型的秩指的就是矩阵A 的秩.
例如：2
32231322121218464),...,(x x x x x x x x x x x x f n -++-+=是二次型，把它写成
矩阵形式，把216x x 这一项改写成了122133x x x x +两项， 21x x ，12x x 项作同样处理，即
2
32313322212312121212423434),...,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f n --+-++++=
这样就可以用矩阵表示：),,(321x x x f =[]321,,x x x 434312421⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 或简单的就用对称矩阵434312421⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
1.3线性变换
设x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 为两组变量，关系式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+++=+++=+++=n
nn n n n n
n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中c i j (i ，j =1，2，…，n )为实数域R (或复数域C )中的数，称为由x 1，
x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换，简称线性变换。

线性变换的矩阵表示，设n 阶矩阵C =⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛nn n n n n c c c c c c
c c c 2
1
22221
11211
则从x 1，x 2，…，x n 到y 1，y 2，…，y n 线性变换可表示为下列矩阵形式：
X =CY
其中X =( x 1，x 2，…，x n )T 和Y =( y 1，y 2，…，y n )T ，C 称为线性变换的系数矩阵。

1) 当|C |≠0时，线性变换X =CY 称为非退化的线性变换。

2) 当C 是正交矩阵时，称X =CY 为正交线性变换，简称正交变换。

3) 线性变换的乘法。

设X=C1Y是由x1，x2，…，x n到y1，y2，…，y n的非退化的线性变换，而Y=C2Z是由y1，y2，…，y n到z1，z2，…，z n的非退化的线性变换，则由x1，x2，…，x n到z1，z2，…，z n的非退化的线性变换为：
X=(C1C2)Z
二次型f(x1，x2，…，x n)=X T AX经过非退化的线性变换X=CY化为
f(x1，x2，…，x
n
)=Y T BY(其中B=C T AC) 仍是一个二次型。

2. 二次型的分类
二次型分类的方法主要是有三种，合同时一种分类方法，正定是另一种分类方法还有一种是几何分类法。

2.1二次型的标准型
实数域R(或复数域C)上的任意给定的一个二次型，通常都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
d1y12+d2y22+…+d
n y n
2
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。

上述形式的二次型称为二次型的标准形。

标准形中只有系数不是零与系数中正的平方的个数都是唯一确定的，然而二次型的标准形并不是唯一确定的。

化标准形的方法
1) 配方法。

2) 初等变换法，其要点可简单表示为：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E A 其中A 为二次形的矩阵，D 为对角矩阵，其对角元素依次为d 1，d 2，…，d n 。

在初等变换过程中，作完一次列变换，接着作一次相应的行变换，那么矩阵A 的对称性质是不变的。

当A 化为对角矩阵D 的同时，即可得到由变量x 1，x 2，…，
x n 到y 1，y 2，…，y n 的非退化线性变换系数矩阵C 。

于是当作线性变换X =CY 时，则可使二次型f =X T AX 化为标准形
2.1.2利用正交变换化实二次型为标准形
设A 是n 阶实对称矩阵，按照以下几个步骤来进行：
① 特征值的求解：解特征方程|λE -A |=0，求出A 的全部特征值。

② 特征向量的求解：解齐次线性方程组(λE -A )X =0，求出基础解系，得到r 重特征值的r 个线性无关的特征向量。

③ 正交化：利用施密特正交化方法，使得属于r 重特征值的r 个线性无关向量组正交化，并使其单位化。

④ 单位化 ：将求得的n 个单位化正交特征向量组作为矩阵Q 的列向量，就可以得到正交矩阵Q 。

⑤ 作正交矩阵：Q -1AQ 为对角矩阵，对角元素为A 的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q 中的排列顺序是相同。

对于二次型Ax x f T =，令Qy x =，将二次型Ax x f T =化成如下形式平方和：
λ1y 12+λ2y 22+…+λn y n 2
其中λ1，λ2，…，λn 为二次型的矩阵的全部特征值。

初等变换
典型例题：把二次型
121314232434222222.f x x x x x x x x x x x x =+--++化为标准形
解 二次型的矩阵为
01111011,11011110A -⎛⎫ ⎪
-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
它的特征多项式为
1
11111.11111
1A E λλλλλ--⎛⎫ ⎪
--
⎪-= ⎪-- ⎪
--⎝⎭
计算特征多项式：把二、三、四列都加在第一列上，有
11
11111(1),11111
1A E λλλλλ-⎛⎫ ⎪
--
⎪-=-+ ⎪-- ⎪
-⎝⎭ 把二，三，四行分别减去第一行，有
1
1110122(1)02120
001A E λλλλλ-⎛⎫ ⎪--- ⎪-=-+ ⎪--- ⎪
--⎝⎭ 2
12(1)
2
1
λλλ---=-+---
223(1)(23)(3)(1).λλλλλ=-++-=+-
于是A 的特征值为12343, 1.λλλλ=-===
当13λ=-时，解方程(3)0,A E x +=由
123414311111111311131
13113111311113111
3r r r r r A E +++÷-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪+= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
11
111
111022001100220001102
240
000r r r ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--
⎪ ⎪−−→−−→−−→ ⎪ ⎪
-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
10010101,00110000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
得基础解系11111ξ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，单位化即得1111,121P ⎛⎫ ⎪
- ⎪= ⎪
- ⎪⎝⎭
当2341λλλ===时，解方程（A-E)x=0由
11111
11111110
000,1111000011110
000r A E ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪
⎪-=−−→ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
可得正交的基础解系
211,00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭300,11ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭411,11ξ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
单位化即得211,00P ⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪⎝
⎭300,11P ⎛⎫ ⎪⎪=⎪
⎪⎝⎭4111,121P ⎛⎫
⎪- ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
于是正交变换为
112233
44110221102211022110
22x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
且有
2223
12343.f y y y y =-+++
如果要把二次型化为规范型，只需令
1
12
233
44,,
,
,
y z y z y z y z ⎧
=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 即得f 的规范型
2222
1234.f z z z z =-+++
典型例题2 用配方法化二次型为标准形,
3231212
322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
解 先将含x 1的各项合并在一起, 配成完全平方, 再接着处理32 ,x x . 23
322231212132132)24(),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
)4424(322
322312121x x x x x x x x x +++++=
2
332223223223244x x x x x x x x +++---
2
3322223212)23()(x x x x x x x +--+++=
2
3
232332222321231)91312(3)2(x x x x x x x x x +++⋅+-++=
2
3
232232137)31(3)2(x x x x x x ++-++=
令
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=3332
23211 31 2x y x x y x x x y
（6-1）
得二次型的标准形为
2
32221321373),,(y y y x x x f +
-=
2.2复二次型和实二次型
1）复二次型和实二次型的定义：复数域上的二次型叫做复二次型；实数域上的二次型分别叫做实二次型。

定义（实二次型） 设);,,2,1,(j i n j i a ij ≤= 均为实常数，称关于n 个实变量
n x x x ,,,21 的二次齐次多项式函数
∑∑<==+=+++++++++=n
j
i j i j
i ij n
i i
ii n
nn n
n n
n n x x a x a x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,1
22
2232232
2221131132112211121222222),,(
为一个n 元实二次型，简称为n 元二次型。

矩阵的合同关系：如果数域P 上的两个n 阶矩阵A 和B 存在可逆矩阵C ，使
B =
C T AC ，那么叫做A 和B 是合同，记作A ~B 。

合同关系性质： 1) 反身性：A ~A ； 2) 对称性：A ~B ，则B ~A ； 3) 传递性：A ~B ，且B ~C ，则A ~C 。

定理2.3.1 复数域上的两个n 阶对称矩阵，有相同的秩是合同的充要条件。

两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩
定理2.3.2 实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同与如下形式的一个矩阵：
p r p I o o o I o o o
o -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
这里r 等于A 的秩。

定理2.3.3 实数域R 上的每一n 元二次型如下形式的一个二次型等价：
2222
11......p p r x x x x +++--，这里r 所给二次型的秩。

2）复二次型的规范形
任一复系数二次型都可以通过复数域C 非退化线性变换化得到最简形式：
y 12+y 22+…+y r 2，其中r 是唯一确定的等于该二次型的秩。

上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。

任何复数域C 上的对称矩阵都合同于一个形如：
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0011 的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。

3）实二次型的规范形
任一实系数二次型都可以通过实数域R 中的非退化线性变换得到最简形式：
y 12+y 22+…+y p 2-y p +12-y p +22-…-y r 2，其中p 和r 唯一确定，r 为二次型的秩。

像这种实
二次型叫做实二次型的规范形，p (正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数，
r -p (负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，p -(r -p )=2p -r 称为实二次型的符号差。

任何实数域R 上的对称矩阵都合同于一个形如：
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--001111
的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。

2.3 正定二次型和不定二次型
1）定义（正定、半正定、负定、半负定及不定二次型）设实二次型f (x 1，x 2，…，
x n )，如果任意给定的一组不全为零的实数有x 1，x 2，…，x n ，都有：
（1）12(,...)0n f x x x >，则称f 为正定二次型，并称实对称矩阵A 为正定矩阵； （2）12(,...)0n f x x x ≥，且0≠x ，使0)(=x f ，则称f 为半正定二次型，并称实对称矩阵A 为半正定矩阵；
（3）12(,...)0n f x x x <，则称f 为负定二次型，并称实对称矩阵A 为负定矩阵 （4）12(,...)0n f x x x ≤，则称f 为半负定二次型，并称实对称矩阵A 为半负定矩
阵；
（5）如果既不正定也不负定，则f 为不定二次型，并称实对称矩阵A 是不定的。

用矩阵形式表示上述定义：
设A 为n 阶实对称矩阵，若对任意非零向量X ，都有X T AX >0 (或<0，或≥0，或≤0，或符号不定) ，则称二次型X T AX 为正定，其矩阵A 称为正定矩阵。

2）正定二次型的标准型、规范型
1）标准型：()使得：正交变换是正定二次型，则存在QY X x x x f n = 21
2
222211n n y y y f λλλ+++=
其中的数。

均是大于，，，的特征值；且是，，，02121n n A λλλλλλ
2）规范型：()使得：可逆变换是正定二次型，则存在TY X x x x f n = 21
2
2221n
y y y f +++=
定理2.4.1 n 元二次型Ax x x f T =)(f 的正惯性指数为n 是正定的充要条件。

推论1 二次型Ax x x f T =)(经过满秩线性变换后，其正定性不变。

推论2 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的特征值全部大于零。

推论3 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于同阶单位矩阵E ，即存在满秩方阵C ，使得E AC C T =（或存在满秩方阵M ，使得M M A T =）。

推论4实对称矩阵()n n ij a A ⨯=正定的充要条件是，A 的各阶顺序主子式均大于零，即
0,
,0,022
21
12112111>=∆>=
∆>=∆A a a a a a n
其中k ∆是A 的左上角的k 阶子式（n k ,,2,1 =）。

3）判定正定二次型与正定矩阵的充要条件
↔
↔
↔
4）判定负定二次型与负定矩阵的充要条件
若n 元二次型Ax x x f T =)(为负定二次型时，－f 为正定二次型（或－A 为正定矩
阵），相应得到如下等价条件：
（1） f 是负定二次型，即对0,0<=≠∀Ax x f x T ； （2） f 的负惯性指数为n ； （3） A 的特征值全小于0；
（4） A 的奇数阶顺序主子式全小于0，偶数阶顺序主子式全大于0。

定理2.4.2 实数域上二次型()12,,...,n q x x x 是正定的充要条件是它的秩和符号差都相等于n 。

()12,,...,n q x x x 是负定的充要条件是它的秩等于n ，符号差等于n -。

定理2.4.3 实二次型1211(,,...)n
n
n ij i j i j q x x x a x x ===∑∑是正定的当且仅当它的一切主子
式都大于零。

典型例题1：判断下列实二次型是不是正定的：
（1）222
12
31213102344x x x x x x x -+++ 解：因为二阶主子式
102
022
<- ，所以它不是正定的。

（2）22
12
1213235484x x x x x x x x ++-- 解： 因为一切主子式都大于零，所以是正定的。

典型例题2 λ取什么值是，实二次型2222
1231223134()222x x x x x x x x x x λ+++--+
是正定的？
解： 该二次型的最高阶主子式为
110
110
110
1
λλλ----
为使二次型为正定，必需且只需各阶主子式大于零，于是得
2
320,10,
32(1)(2)0,λλλλλλ>⎧⎪->⎨⎪-+=-+>⎩
解得 1.λ>
典型例题3 将二次型()()()()2
1323222132
1x x x x x x x x x f -+-+-=化为标准型，
并求二次型f 的秩
解 如果做线性替换⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-=313
322211x x y x x y x x y ，那么2
3
22212y y y f ++= 表面上看上述结果是对的，实际上是错误的。

这是因为010
1
110
11
=---从而不可逆，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=101110011C 因此上述的线性替
换不是非退化的。

正确解法：（1）进行化简可得：将二次型f
133221232221222222x x x x x x x x x f ---++=()
322
3223121212222x x x x x x x x x -++--=
）
（3223222
3213223222321223212123232321212x x x x x x x x x x x x x x -++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
()2
322
3212321212x x x x x -+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
做线性替换
，
是满足其中01102
1211,,212133
323133323133323213113223211
≠--
-⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
++=+=--=c c c c c c x c x c x c y x x y x x x y 的任意的数。

为使所作的线性替换较为简单，只要作线性替换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=
--=3132232112121x y x x y x x x y 即可。

（2）正交变换的方法：上述二次型f 的矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=211121112A
其特征值的一组单位正交的，易计算对应于，30321321=====λλλλλ特征向量是：
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1212136,0222221ηη 对应于03=λ的单位特征向量
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111333η 令()，易计算作非退化的线性替换TY X T ==321ηηη
()222132132
133033y y y y y y y y ATY T Y AX X T T T +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
从而23322
21，其秩为的标准型为y y f +。

2.5二次曲面的分类
二次曲面：二次代数方程0222=+++d cz by ax
所代表的曲面。

（1）椭球面
()0122
2222>≥≥=++c b a c z b y a x
若a =b =c 时，是半径为a 的球面。

（2）抛物面：有方程2222x y z p q
+=（p 与q 同号），所表示的曲面叫做抛物面。

（3）单叶双曲面：由方程2222221(,,0)x y z a b c a b c
+-=>所确定的曲面叫做单叶双曲面。

（4）二次锥面：由方程222222(,,0)x y z a b c a b c
+=>所确定的方程叫做二次锥面。

典型例题1： 已知二次型
)0(2332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=.
（1）求参数a 及所用的正交变换矩阵；
（2）
1233232332221=+++x ax x x x 表示什么曲面？ 解 二次型f 的矩阵为
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3030002a a A A 的特征多项式为
3030
02
||------=-λλλλa a A E )96)(2(22a -+--=λλλ
由题设可知A 的特征值为
5,2,1321===λλλ
将11=λ代入0||=-A E λ, 得
2,042±==-a a
因0>a , 故取2=a , 这时,
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=320230002A . 对于11=λ, 解0||1=-X A E λ, 即
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----000220220001321x x x 解得对应的特征向量为 T )1,1,0(1-=α.
对于22=λ, 解0||2=-X A E λ, 即得对应的特征向量为T )0,0,1(2=α.
对于53=λ, 解0||3=-X A E λ, 可得对应的特征向量为T )1,1,0(3=α.
将321 , ,ααα单位化：
T )2121 ,0(1
11
1-==ααβ
T 0) ,0 ,1(122
2==ααβ T
)21 ,21
,0(1333==ααβ
故所用正交变换的矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010T ； （2）当1=f 时, 151211
222=++z y x 是椭球面.
3.二次型分类的意义和应用
二次型理论在物理学、几何学、概率论等各个学科中都已得到了广泛的运用。

在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论。

此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。

二次型表示平面或空间的某个曲线和曲面的方程。

利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面的积分。

典型例题1：求123dx dx dx Ω
⎰⎰⎰，其中
解：由上例知正交变换能够保持几何体形状不变，所以椭球
2221231231223(,,)23221f x x x x x x x x x x =++--≤
与椭球
体积相同
记
则
123123dx dx dx dy dy dy ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
结束语
我还记得清清楚楚，刚刚来到大学的时候，我对未来对大学生活充满了希望。

我经常想我人生当中最重要的这四年时光我该怎么度过才能有真正的有意义，因而为它拼搏。

我担心等到毕业的时候或者毕业之后后悔我过去的时光。

因此，我尽自己的全力给大学生活填充了色彩，在校期间除了上课认真学习之外我还参加了学生会，我在学生会工作了两年，我在哪里学会了很多，尤其是人际交往关系方面我有所收获。

为了充足我周末时间去补习班学英语还有给高中生带家教。

像我这样师范专业的学生来说带家教是一件积累经验的事情，而且我很喜欢教学生。

我还有发过传单，暑假寒假期间在幼儿园当过老师。

我觉得大学不仅仅是在学校好好学习当个好学生这么简单而是接触各种人和各种各样事情之后积累经验，慢慢成长，培养自我的地方。

时光匆匆如水，转眼就是大学毕业的季节了，我的大学生活也该划上句号了。

美丽的校园，给我们传递知识的老师和兄弟姐妹一样的同学们都要留在句号里面了。

想到这些我很难过，但是毕竟还是要毕业了。

这是一次结束学业的考验又是开始新的人生的转折点。

我很荣幸能够在这么美丽的新疆师范大学度过我的四年大学。

新疆师范大学像个母亲一样把我们每个学生抱在怀里为我们打造美好的校园，提供创造未来的道路。

这里度过日子都是美好的，之前我担心过得事情没有发生。

我在这里生活，学习很开心，因此我衷心的感谢新疆师范大学数学科学学院。

离校日期逐日渐进，毕业论文也完成了，论文写作的完成一直都离不开指导老师和同学们的热心帮助，在此我特别感谢我的指导老师艾合买提老师，也感谢我身边支持我的朋友和同学你们在我关键的时刻鼓励我帮助我。

感恩之情难以用言语量度，谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。

其次我要感谢我的父母，你们的养育之恩无以回报，你们永远身体健康快乐是我最大的心愿。

希望你们能够看到我更大的成就。

参考文献：
【1】张禾瑞主编高等代数（第五版）高等教育出版社
【2】许以超主编线性代数与矩阵论（第二版）高等教育出版社【3】李林曙施光燕主编线性代数中央广播电视大学出版社【4】陈良国二次型与二次曲线和二次曲面
【5】陈丽二次型性质的简单应用(1)
参考网站：中国知网学术网站；万方数据库。