广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三数学上学期第7周周六考试试题 文

凤翔中学2014－2015学年度第7周周六考试
高三级文科数学试卷
注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷． 参考公式： 锥体的体积公式1
V 3
Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1、已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则A
B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1 2、在复平面内，复数
1i
i
-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、若关于x 的方程2
1
04
x mx ++
=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()2,2-
4、一个几何体的正视图、侧视图和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是（ ）
A ．球
B ．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱 5、已知向量()1,2a =，(),1b x =，且a b ⊥，则x =（ ） A ．2- B ．
12 C ．2 D ．12
- 6、等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（ ）
A ．8
B ．12
C ．8或8-
D ．12或12-
7、若实数x ，y 满足条件01001x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤≤⎩
，则目标函数3z x y =-的最大值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 8、下列命题正确的是（ ）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
9、已知双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率为2，一个焦点与抛物线2
16y x =的
焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．3y x =± B ．32y x =±
C ．33y x =±
D ．32
y x =± 10、对任意实数m ，n ，定义运算m n am bn cmn *=++，其中a ，b ，c 为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知124*=，236*=，且有一个非零实数t ，使得对任意实数x ，都有x t x *=，则t =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11～13题）
11、若()()()4f x x a x =-+为偶函数，则实数a = ． 12、阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值是 ．
13、在长为6cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段C A ，C B 的长，则该矩形面积大于82
cm 的概率是 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为()
2cos 21sin x t
y t =⎧⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参
数，且
02t π≤<）
，则曲线C 的极坐标方程是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，在C ∆AB 中，C 90∠BA =，
D C A ⊥B ，D
E ⊥AE ，D 、E 为垂足，若4AE =，1BE =，
则C A = ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16、（本小题满分12分）已知函数()2sin 6f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
（R x ∈，0ω>）的最小正周期为6π．
()1求32
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； ()2设α，,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，103213f πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，()6325f βπ+=，求()cos αβ+的值．
17、（本小题满分12分）从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间[)900,950，[)950,1000，[)1000,1050，[)1050,1100进行分组，得到频率分布直方图，如图．
()1根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值；
()2用分层抽样的方法从重量在[)950,1000和[)1050,1100的柚子中共抽取5个，其中重量在[)1050,1100的有几个？
()3在()2中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在[)1050,1100的柚子最多有1个的概率．
18、（本小题满分14分）如图，在三棱锥C P -AB 中，底面C AB 为等腰直角三角形，
C 90∠A B =，棱PA 垂直底面C AB ，4PA =AB =，3
D 4B =BP ，3
C C 4
E =P ，
F 是AB
的中点．
()1证明：D //E 平面C AB ；
()2证明：C B ⊥平面C PA ； ()3求四棱锥C FD -A P 的体积．
19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项
12a =，n S 为其前n 项和，若15S ，3S ，23S 成等差数列．
()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设2log n n b a =，1
1n n n c b b +=
，记数列{}n c 的前n 项和n T ．若对n *
∀∈N ，()4n k n T <+恒成立，求实数k 的取值范围．
20、（本小题满分14分）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>过点
(
)
3,0，离心率63
e =
． ()1求椭圆的方程；
()2若直线y kx m =+与该椭圆有两个交点M ，N ，当线段MN 的中点在直线1x =上时，
求k 的取值范围．
21、（本小题满分14分）已知函数()1
ln f x a x x
=-
，R a ∈． ()1设()()h x f x x =+，讨论函数()h x 的单调性； ()2若函数()f x 有唯一的零点，求a 的取值范围．
凤翔中学2014－2015学年度第一学期第7周周六考试
（一）必做题
11、4 12、2 13、13
（二）选做题
14、4sin ρθ= 15、10 三、解答题： 16、解：
函数()f x 的最小正周期为6π
∴26π
πω
T =
=…………………1分
解得：1
3
ω=
…………………2分 ∴()1
2sin 3
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………3分
()
13132sin 2sin 23263f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
…………………5分 ()
211032sin 32sin 232613f πππααα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=+-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
∴5
sin 13
α=-
…………………6分 ()()16322sin 322sin 2cos 3625f ππβπβπββ⎡⎤⎛
⎫+=+-=+== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
∴3
cos 5
β=…………………7分
α，,02πβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
∴12
cos 13α===…………………9分
4sin 5β===-…………………10分
∴()1235416
cos cos cos sin sin 13513565
αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (12)
分
17、解：()1众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于1025（克） …………………2分
()2从图中可知，重量在[)950,1000的柚子数()110009500.00410020n =-⨯⨯=（个）
…………………3分
重量在[)1050,1100的柚子数()2110010500.00610030n =-⨯⨯=（个）…………4分 从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在[)1000,1050的个数为
21255
30350
n n n n =
⨯=⨯=+ （个）…………………6分
()3由()2知，重量在[)1050,1100的柚子个数为3个，设为a ，b ，c ，重量在[)
950,1000的柚子个数为2个，设为d ，e ．…………………7分
在()2中抽出的5个柚子中，任取2个，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，
(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e …………………9分
重量在[)1050,1100的柚子最多有1个，有7种，分别是(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，
(),c e ，(),d e …………………11分
设事件A =“重量在[)1050,1100的柚子最多有1个”，则()7
10
P A = 答：重量在[)1050,1100的柚子最多有1个的概率是
7
10
…………………12分
18、()1证明：∵3D 4B =BP ，3
C C 4
E =P ∴
PD PE
PB PC
=
…………………1分 ∴//DE BC …………………2分 又∵DE ⊂/平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴//DE 平面ABC …………………3分
()2证明：∵PA
平面ABC ，BC 平面ABC ，
∴BC
PA …………………4分
∵90o
ACB ∠= ∴即BC
AC …………………5分
又∵PA AC A =
∴BC ⊥平面PAC …………………7分
()3∵ABC 为等腰直角三角形，F 是AB 的中点
∴1
,22
FC AB FC AB ⊥=
= ∴BCF ∆的面积1
22
BCF S CF BF ∆=⋅=…………………8分
过D 作DG AB ⊥于F ，则//DG PA ，
∴DG ⊥平面ABC ，且DG 三棱锥D BCF -的高…………………9分
又3
D 4B =
BP ∴3
34
DG PA ==…………………10分
∴三棱锥D BCF -的体积11
23233
D BCF BCF V S DG -∆=⋅=⨯⨯=
…………………11分 又三棱锥P ABC -的体积
1111116
.424332323
P ABC ABC V S PA AB CF PA -∆==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=…………………13分
∴四棱锥C AFDP -的体积1610
233
P ABC D BCF V V V --=-=-=…………………14分 19、解：()
1
15S ，3S ，23S 成等差数列
∴312253S S S =+………………1分
即2
1111112()53()a a q a q a a a q ++=++
化简得：2
260q q --=………………2分 解得：2q =或3
2
q =-
………………3分 数列{}n a 的各项均为正数
∴32
q =-不合题意………………4分
∴{}n a 的通项公式为：2n n a =………………5分
()2由2log n n b a =得：2log 2n n b =n =………………6分
∴11n n n c b b +=
111
(1)1n n n n ==-+-………………7分 1111112231n T n n =-+-++-+111n =-+1
n
n =
+………………8分 对n *
∀∈N ，()4n k n T <+恒成立
∴()41
n k n n +≥+ ∴(1)(4)n k n n ≥
++254n n n =+
+1
45
n n
=
++………………11分∴4559n n ++≥=
当且仅当4
n n =，即2n =时等号成立………………12分
∴114
95n n
≤++………………13分
∴k 的取值范围是1,9⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
………………14分
20、解：()1依题意：13
2=a
∴3=
a …………………………………………1分
由3
6==
a c e ，得2=c ……………………………………………………2分 ∴12
2
2
=-=c a b …………………………………………………………………3分
∴所求椭圆方程为13
22
=+y x ……………………………………………………4分 ()2设N M ,坐标分别为),(11y x ，),(22y x
将m kx y +=代入椭圆方程，整理得：0)1(36)13(2
22=-+++m kmx x k …………………6分
∴0)1)(13(12362
2
2
2
>-+-=∆m k m k （*） ……………………………………8分
1
36221+-
=+k km
x x
要令),1(n P 为N M ,中点，则221=+x x
∴21362
=+-
k km
0≠k
∴k
k m 31
32+-= ………………………………………………………………9分
代入（*）得：0]19)13()[13(129)13(362
2
22
2
22
2>-++-+⋅
k k k k k k ……………10分 099)13(3)13(2
2
222
>-+⋅-+k
k k k 031
39)13(2
242
>+--+k k k k
031
393392
24224>+--+k
k k k k k 0162>-k …………12分
∴66>
k 或6
6
-<k …………13分 ∴k 的取值范围是),6
6
()66,(∞+-
-∞ ……………………………………14分 21、解：()1()1
ln h x a x x x
=-
+，定义域为()0,+∞………………1分 ()222
11
1a x ax h x x x x ++'=++=………………2分
令()2
1g x x ax =++，判别式24a ∆=-
当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥，()0h x '≥，此时()h x 在()0,+∞上单调递增 ………………4分
（注：如果是分开0∆<，0∆=，其讨论各占1分）
当0∆>，即2a <-或2a >时，由()0g x =得：12a x -=，22
a x -+=
………………5分
若2a >，则10x <，又1210x x =>，所以20x <，故()0h x '>在()0,+∞上恒成立 所以()h x 在()0,+∞上单调递增………………6分 若2a <-，则20x >，又1210x x =>，所以10x >
此时，当()10,x x ∈时，()0h x '>，当()12,x x x ∈时，()0h x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0h x '> 故()h x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减………………7分 综上，当2a ≥-时，()h x 在()0,+∞上单调递增；当2a <-时，()h x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减………………8分
（注：先不写定义域，但后续单调性中体现了定义域特征不扣分；没有“综上”这一整合过程扣1分）
()2问题等价于1
ln a x x
=
有唯一实根 显然0a ≠，则关于x 的方程1
ln x x a
=有唯一实根………………10分
构造函数()ln x x x ϕ=，则()1ln x x ϕ'=+
由()1ln 0x x ϕ'=+=，得1
x e -=
当1
0x e -<<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减
当1
x e ->时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增
所以()x ϕ的极小值为()
11e e ϕ--=-………………12分 如图，为函数()x ϕ的图象，则要使1
ln x x a
=有唯一实根，只需直线y a =与()y x ϕ=有唯一交点，则
11e a -=-或1
0a
> 解得：a e =-或0a >
故a 的取值范围是a e =-或0a >………………14分
（注：有分离思想，给2分，构造函数（有用）并求导正确给1分）。