分式方程的增根与无解教学文案
分式方程有增根-无解-有解教学内容
分式方程有增根-无解-有解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除【分式方程有关内容】解方程：(1)4321222-=+--x x x (2)x x x -=+--23221 (3)114112=---+x x x注：可化为一元一次方程的分式方程可能有一个解，也可能无解。
增根：分式方程有增根满足两个条件①分式方程化为整式方程后是整式方程的解②使分式方程最简公分母为0的未知数的值例题1：关于x 的分式方程)1(163-+=-+x x mx x x 有增根，求m 的值解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程)1)(1(11-+=--x x m x x 有增根，求m 的值分式方程无解：增根不等同于无解分式方程无解：①分式方程化为整式方程后整式方程本身无解 ②整式方程的解使最简公分母为零是增根而舍去，无解 例题2：关于x 的分式方程131=---xx a x 无解，求a 的值解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程xx x m 2132=--+无解，求m 的值例题3：关于x 的分式方程xx k x x -=-+2121有解，求k 的取值范围解题步骤整理： 练习：关于x 的分式方程323-=--x mm x x 有解m 的取值范围例题4：关于x 的分式方程112=-+x m 的解为正数（非负数，负数，非正数）， 求m 的取值范围解题步骤整理： 关于x 的分式方程112=++x a 的解为非正数，求a 的取值范围能力提升：2.若关于x 的分式方程)1)(2(21221+-+=+----x x ax x x x x 的解是正数，求a 的取值范围？ 3.若关于x 的方程115=++m 无解，求m 的值？ 5.关于x 的分式方程0)1(163=-+--+x x m x x x 有解，求k 的取值范围？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
八年级数学 分式方程的增根与无解 教学设计
三、微反思
总结分式方程增根产生的原因以及分式方程无解的条件，使学生从数学本质上对二者进行区分。
1、分式方程的增根：将分式方程化为整式方程后，整式方程的解使最简公分母为0，则这个解就是原分式方程的增根，此时原分式方程无解；
2、分式方程无解的条件：①有增根；②化为整式方程后，整式方程无解；
二、微探究
探究一：增根产生的原因
1、分析解分式方程的过程，指出增根产生的原因。
增根的产生，是因为在将分式方程化为整式方程的过程中，两边都乘了一个可能为零的整式（最简公分母），未知数的取值范围扩大为了全体实数。
2、进一步明确增根的特征。
（1）增根是整式方程的解；
（2）增根使原分式方程的最简公分母为0.
分式方程的增根与无解教学设计
授课教师姓名
微课名称
分式方程的增根与无解
知识点来源
北师大版八年级数学下册第五章《概率的进一步认识》第4节.
录制工具和方法
Camtasia Studio+PPT，全屏录制（PPT中直录）
设计思路
本节微课通过几个例题，旨在从解分式方程的过程中，通过对比，帮助学生分析增根产生的原因，以及分式方程无解的条件，从而使学生能够正确进行区分，避免错误.
具体思路如下：探究一（初步应用）——探究二（变式提升）——归纳总结——自主反馈.
教学设计
内容
教学目的
1、理解分式方程增根产生的原因；
2、明确分式方程无解的条件，能区分增根与无解的区别与联系，并熟练应用，解决问题.
教学重点难点
重点：理解分式方程增根产生的原因，明确分式方程无解的条件．
难点：对分式方程转化为整式方程后无解情况的理解与应用．
分式方程的增根和无解教学设计
分式方程的增根和无解教学设计教学目标：1.理解分式方程的概念和含义；2.掌握分式方程的解法；3.了解分式方程的增根和无解的概念及判断方法；4.能够运用所学知识解决相关问题。
教学准备：教师：黑板、粉笔、教学课件、练习册；学生：教科书、练习册。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师通过提问导入分式方程的概念和含义，引起学生的兴趣。
2.教师通过实际生活中的例子，让学生了解分式方程的应用，如加法、减法运算中的分式方程。
3.教师通过让学生思考，引导学生思考什么是分式方程的解。
二、整体呈现（20分钟）1.教师使用教学课件，通过具体的例子向学生展示分式方程的解法。
2.教师向学生讲解分式方程解的概念和判断方法，并引导学生掌握其基本思路和解题步骤。
三、小组合作探究（20分钟）1.学生分为小组，交流并讨论分式方程的解法。
2.学生通过小组合作解决一些练习题，巩固所学知识。
四、归纳总结（15分钟）1.学生提出问题和疑惑，教师进行解答和总结。
2.教师通过提问，引导学生总结分式方程的解决过程及判断方法。
五、拓展延伸（15分钟）1.教师出示一些扩展题或案例，让学生在小组内进行讨论和解答，拓展学生的思维能力。
2.教师通过讨论和解答，引导学生将所学知识运用到实际问题中，增强学生的综合应用能力。
六、巩固练习（20分钟）1.学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
2.学生可以相互交流解题方法，提高解题效率。
七、反思总结（10分钟）1.学生回答教师提出的问题，回顾所学内容。
2.学生提出自己的感想和反思，教师进行总结和点评。
教学反思：通过本堂课的教学设计，学生可以了解到分式方程的概念和含义，掌握分式方程的解法，并能够判断分式方程的解的情况，即增根和无解。
通过小组合作和讨论，学生的互动性和合作性得到了提高，可以培养学生的思维能力和解题能力。
通过拓展延伸和巩固练习，可以加深学生对所学知识的理解和掌握程度。
最后，通过反思总结，学生对本堂课的内容和自己的学习进行反思和总结，可以提高学生的学习效果和学习能力。
浅谈分式方程增根与无解教案教学内容
浅谈分式方程增根与无解教案浅谈分式方程增根与无解Zhujiang 沈石林 增根，无解？是不是一回事吗？有的同学说，增根就是无解，无解就是增根。
难道增根和无解有区别吗？有联系吗？分式方程的增根，指的是解分式方程时，把分式方程化成整式方程的变形过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围，而产生的未知数的值。
分式方程无解，不论未知数为何值，都不能使分式方程两边的值相等，它包含两种情形。
（1）原分式方程去分母后得到的整式方程无解，导致原分式方程无解；（2）原分式方程化为整式方程后，有解，但是这个解使原分式方程的分母为零，即是原分式方程的增根，从而原方程无解。
例1. 解方程:2344222+=---x x x x 。
解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）； 得： 2（x+2）-4x=3（x-2）； 解得 x=2；经检验当x=2时，原方程无意义，x=2是增根；所以，原分式方程无解例2. 解方程2x2x -32x 1-x ++=+。
小结：例2这种情况就是整式方程无解，导致原方程无解，由此可见分式方程无解，不一定就是产生增根。
例3. 当a 为何值时，关于x 的方程2x 34-x ax 2-x 22+=+会产生增根？注意：如果将例3的问题“会产生增根，变成无解”例4. 当a 为何值时，关于x 的方程2x 34-x ax 2-x 22+=+会产生无解？ 解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）；得：2（x+2）+ax=3（x-2）整理得（a-1）x=-10 ①若分式方程无解，则有两种情况：（1）方程①无解导致原方程无解，a-1=0时，即a=1时，0·x=-10，此时原方程无解，则a=1.（2）出现增根导致无解，则x=2或x=-2.代入解的a=-4或6.总结：弄清楚分式方程的增根与无解的区别和联系，分式方程出现无解不一定就是出现增根，还有可能是去分母后整式方程无解，知道这一点后能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判定分式方程解的情况有一定的指导意义。
分式方程的增根与无解教师版
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2019湖北荆门）若方程32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程无解与增根
增根与无解是分式方程中的两个重要概念.两者既有区别，又有密切的联系，我们应该清楚地认识它们.解分式方程首先要化分式方程为整式方程，需要用分式方程中各分式的最简公分母去乘方程的两边.如果所得整式方程的解恰好使最简公分母为0，则这个解就是增根;如果使最简公分母不等于O，则所得整式方程与原分式方程同解，则整式方程的解就是
原分式方程的解.而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.它通常包含两种情形:一是原分式方程化去分母后的整式方程无解，则原分式方程也无解;二是原分式方程化去分母后的整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根，从而原分式方程无解。
例谈分式方程中的增根与无解
例 1 解方程^ - # = 1. X- 1 I -X
解 方 程 两 边 同 乘 以 （* - 2 ) ，得;c + * - 4 = x -2. 解 得 ;c =2. 经检验4 = 2 是原方程的增根,应舍去，所以原方 程无解. 分 析 x = 2 是分式方程去分母后化成整式方程 的根，但 代人原方程后，分 母 为 零 ，分式 无 意 义 ，此时 的根即为原方程的增根.那为什么会出现这种情况 呢？因为原分式方程中x 的 取 值 范 围 是 而 去 分
例 2 若关于^的分式方程1 - ^ = 1 无解，
X- 1
X
则 ______ •
解 去分母，得 X- a ) - 3 (;«- 1) = ;«(X- 1)•
化简整理，得 * U +2) =3.
① 当 a +2 = 0 时 ，方程无解，此 时 a =-2;
② 当 a + 2 # 0 时,则当;c 是 增 根 ，即 或 1 B寸，
2020年 4 月 1 0 日
解 去 分 母 整 理 ，得 2V - 2x + a - 3 = 0 .
题意•
该方程 为一元二次方程，要 使 原 方 程 无 实 数 根 ， 分以下两种情况述三例分别介绍了原分式方程无实数
- 8 (a - 3 ) < 0 ,解得 a > | ;
母 化 为 整 式 方 程 后 ，无 形 中 去 掉 了 原 分 式 方 程 中 分 母 不为零的限制条件，从 而 * 的取值范围扩大为全体实 数 .这 样 ，从 整 式 方 程 解 出 的 未 知 数 的 值 就 有 可 能 不 是原分式方程的根. 2 增根与无解
是 不 是 有 增 根 的 分 式 方 程 就 是 无 解 的 ，而无解的 分式方程就一定有增根呢？很多学生会以为增根即 为 无 解 ,无解即为增根.但事实并非如此.
分式方程的增根与无解
目录
• 分式方程的增根 • 分式方程的无解 • 分式方程增根与无解的关系 • 分式方程增根与无解的实例解析 • 分式来自程增根与无解的解题策略01
分式方程的增根
增根的定义
01
增根是指满足原方程但不满足分 式方程的解。
02
当分式方程的最简公分母等于0时 ，该解为增根。
增根的产生原因
分。
04
分式方程增根与无解的实 例解析
增根实例解析
01
02
03
增根的概念
增根是指满足原方程但不 满足分式方程的解。
增根的例子
考虑方程 $frac{x}{2} frac{3}{x - 2} = 1$，其增 根可能是 $x = 2$，因为 当 $x = 2$ 时，分母 $x 2$ 为零，使得方程无意 义。
当分式方程的最简公分母为0时，会 导致方程无解或解不唯一，从而产生 增根。
增根的产生与方程的化简过程有关， 如果化简过程中出现错误，也可能导 致增根的出现。
增根的判断方法
将一个解代入最简公分母，如果 最简公分母等于0，则该解为增
根。
通过解方程得到多个解，然后逐 一检验这些解，如果某个解使得 最简公分母等于0，则该解为增
增根与无解的联系
增根可能导致分式方程无解
01
如果分式方程有增根，那么该增根可能使得分式方程在某些条
件下无解。
无解不一定是增根引起的
02
分式方程无解的原因可能不仅仅是增根，还可能是原方程本身
没有解或者分式方程的解不满足某些条件。
增根和无解都是分式方程的特殊情况
03
增根和无解都是分式方程可能遇到的情况，需要特别注意和区
如果方程两边化简后不相等，则方程无解。
分式方程的无解与增根课件
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母得，2x+a=-x+2.
化简，得 3x=2-a.
故
x= 2 a
3
因为方程的解为正数，所以
222333aaa0
0
，得a<2. 且a≠-4
2
所以，当a<2且a≠-4时，方程 2x a 1 的解是正数.
x2
课堂小结
复习完本课后你有哪些收获？
课后作业：
1、已知关于 x的方程 2x m x-2
应用升华
1.如果 1 +3= 1- x
x -2 2-x
有增根,那么增根是___X_=__2____.
2.关于x的方程
x
2 2
k x2 4
3 x
2
有增根,
那么增根可能是____X_=__2__或___x_=__-__2__．
则k的值可能为__K_=_-_8_或__k_=_-_1_2__
方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。 3、把增根代入整式方程求出字母的值。
3的解为正数，
则的范围是
2、若关于 x的方程
x x
k
1
x
k
1
1的解为负数，
则k的取值范围是
1 5
m 10 2x
无解，m=__。
3、关于x的分式方程
x x
-
a
1
3
x
1无解，则a
__。
提高题：
4、若方程 2x a 1 的解是正数，求a的取值范围. x2
想一想
若方程 2x a 1的解是正数，求a的取值范围. x2
展示交流☞
若方程 2x a 1的解是正数，求a的取值范围. x2
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
八年级数学上册《分式方程的增根》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式方程增根的概念，掌握增根产生的原因及条件。
2.学会运用分式方程的基本步骤，解决实际问题时能准确找出等量关系，列出分式方程。
3.能够运用图像法、代入法、消元法等方法求解分式方程的增根，并解释各种方法的适用场景。
4.掌握验证分式方程解的方法，提高解题的准确性和效率。
3.尝试解决以下提高拓展题：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2} = \frac{3}{x-3}$，求方程的增根。
（2）讨论分式方程$\frac{2x-3}{x-2} = \frac{3}{x-a}$的增根情况，其中$a$是常数。
4.小组合作完成以下题目：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x-2}$，求方程的增根。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组分配一个具有挑战性的分式方程增根问题。小组成员需要共同探讨，找出问题的解法，并在讨论中分享各自的想法和推理过程。我会巡回指导，观察学生的讨论情况，适时给予提示和建议。
讨论结束后，每个小组选出代表进行汇报，展示他们的解题过程和最终答案。我会鼓励其他学生对展示的解法进行评价和提问，促进课堂上的交流和思维碰撞。
-引导学生从不同角度分析问题，培养学生的创新思维和解决问题的策略。
5.反思总结，提高认识
-在课程结束时，组织学生进行反思总结，回顾学习过程，提炼学习方法和经验。
-教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和指导，帮助学生明确自身的学习目标和方向。
浅谈分式方程的增根和无解
2013-12课堂内外分式方程的增根和无解是分式方程中两个重要的概念，学生在学习分式方程的过程中，常常对这两个概念混淆不清，总认为分式方程的无解和增根是同一回事，然而事实并非如此。
分式方程有增根，是指解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。
分式方程无解是指无论x为何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情况：（1）原分式方程去分母后的整式方程无解。
（2）原方程去分母后的整式方程有解，但是这个解却使得原分式方程的分母为零，它是原分式方程的增根，从而原方程无解。
一、初步认识无解和增根例1.解分式方程x-3x+2=4-xx+2+2①解：方程两边同乘x+2，得x-3=4-x+2（x+2）②整理得-7=4因为方程②无解，所以原分式方程①无解。
点评：此例说明了分式方程转化为整式方程后，整式方程无解，因此原分式方程无解。
例2.解分式方程5x+2x2+x=3x+1①解：方程两边同乘x（x+1），得5x+2=3x②解之得x=-1检验：当x=-1，x（x+1）=0，所以x=-1是原方程的增根，从而原分式方程无解。
点评：方程①中x的取值范围是x≠-1且x≠0，而在去分母化为整式方程②后，此时x的取值范围扩大为全体实数。
所以当求得x的值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，故原分式方程无解。
归纳总结：1.增根是分式方程转化为整式方程的根，但不是原分式方程的根。
2.无解要分两种情况，一种是分式方程转化为整式方程后整式方程无解，另一种是整式方程有解但所求的解都是原分式方程的增根。
二、提升对无解和增根的理解例3.关于x的方程xx-3=2+k x-3无解，求k的值。
解：方程两边同乘x-3得：x=2（x-3）+k①x=6-k因为原分式方程无解，但是①有解，所以这个解6-k一定是原方程的增根。
即x=3当x=3时，6-k=3，所以k=3。
分式方程的解法教案
分式方程的解法教案【篇一：分式方程的解法教案】分式方程的解法（第二课时）教案教学目标：1.了解增根的意义及解分式方程可能产生增根的原因，明确验根是解分式方程的一个重要且必要的步骤。
2.能化分式方程为整式方程，体验转化的数学思想方法。
一．旧知回顾例：解方程1x 2=x3解：方程两边同乘 x(x-2) ，得x=3(x-2) 解这个一元一次方程，得x=3检验：将 x=3代入原方程，得左边=右边所以，x=3是原方程的根解分式方程的基本思路是：_________________________________ 一般步骤是：_____________________________________________ 学生活动：（口答）解分式方程的基本思路是：方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
一般步骤是：去分母、解整式方程、检验、下结论。
教师活动：（1）引导学生回顾解一元一次方程时有没有必须检验？（没有，这个步骤可以在演草本上进行）（2）引入正题：其实，这里的检验也不仅是为了验证我们求得的根是否是原方程的根，而更重要的目的是为了验证它是否是原方程的增根。
二．预习检测：在方程变形的过程中，产生的___________的根叫做方程的增根，增根应当舍去。
验根就是把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个__________的值是0，那么这个根就是方程的增根。
三．课内探究（一）在解方程x-8x-7-17-x=8 时，小亮的解法如下：解：方程两边同乘（x－7）,得x－8＋1=8(x－7) 解这个一元一次方程，得x=7思考：（1）你认为x=7 是原方程的根吗？学生观察后口答：x=7 不是原方程的根，因为它使方程中分母为0，分式没有意义。
（2）产生增根的原因是什么？教师媒体动画提示：“我”是（x-7）？奇怪？为什么方程两边同乘了“我”就变质了呢？学生活动：小组交流、讨论并口头展示若有困难，教师作适当提示：等式变形的条件是两边同乘以非零数或整式，而x-7可能为零。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
本案例注重小组合作学习，让学生在小组内共同探讨问题、分享解题思路。这种合作学习方式有助于提高学生的沟通能力、团队协作能力和解决问题的能力。
4.注重反思与评价，提升学生自我认知
在教学过程中，我鼓励学生进行自我反思和同伴评价，使他们在反思中总结经验、发现不足，从而不断提升自己的认知水平和学习能力。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
一、案例背景
《分式方程的增根》是八年级数学上册的一个重要教学内容，它既是对前面所学整式方程解法的巩固，也是对分式方程解法的拓展。在学生掌握了基本的分式方程解法后，本章节通过探究“增根”现象，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。在教学过程中，我将以学生为主体，采用问题驱动法和合作学习法，让学生在自主探究和合作交流中，深刻理解增根的概念及其在分式方程中的应用，从而提高他们解决实际问题的能力。这个案例将结合教材内容，以生活实例引入分式方程的增根问题，引发学生的思考，使他们在实践中感受数学的魅力。
2.为每个小组分配不同的任务，要求他们通过合作解决问题，培养学生的团队协作精神。
3.引导学生在小组内分享解题思路和方法，提高他们的沟通能力。
4.对小组合作成果进行评价，鼓励优秀团队，激发学生的学习积极性。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将关注学生的反思与评价：
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结学习过程中的优点和不足，形成持续改进的学习习惯。
在本章节的教学过程中，我将始终关注学生的全面发展，努力实现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，为学生的成长奠定坚实的基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解分式方程的增根，我将创设以下教学情景：
人教版八年级数学上册《分式方程有增根与无解》教学设计
分式方程有增根与无解教学目标1.体会分式方程到整式方程的转化思想，掌握分式方程有增根与无解这两个概念.2.掌握增根与无解有关题型的解题方法.3.培养学生的数学转化思想，鼓励学生独立思考，积极动手，提高分析问题与解决问题能力.教学重难点掌握增根与无解有关题型的解题方法.教学课时1课时教学过程（一）复习回顾1．解分式方程有哪些步骤？2．解分式方程2344222+=---x x x x 3.如果xx x --=+-21321 有增根,那么增根是__________. 4.若关于x 的方程234222+=-+-x x k x 有增根，则增根可能为__________.（二）新知探究1.若关于x 的分式方程234222+=-+-x x ax x 有增根，求a 的值．教师引导学生完成.把它与解一般的分式方程进行对比理解.教师板书解题过程，规范学生的书写.思考：因增根产生无解，那么无解是否都是由增根造成的？无解和增根一样吗？2.解方程22321++-=+-xx x x小结：分式方程无解不一定是因为产生增根．3.若关于x 的分式方程234222+=-+-x x ax x 无解，求a 的值. 思考：方程有增根和方程无解有什么区别和联系？请学生尝试解这个含有参数的分式方程，把字母a 看作已知数. 小组合作完成，教师对每个小组进行指导.4.及时反馈 分式方程xx x -•=-+112中的一个分子被污染成了●，已知这个方程无解，那么被污染的分子●应该是 .（三）课后小结在今天的学习活动中，你学会了哪些知识？掌握了哪些数学方法？（四）巩固练习基础题：1.关于x 的分式方程11113=-+-+x m x x 有增根，则m = .2.关于x 的分式方程x mx x 21051-=-- 无解，则m = .关于x 的分式方程131=---x x ax 无解，则a = .提高题： 若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.（五）板书设计（六）教学反思1.这节课有一定的难度，学生练笔的机会少了些.2.学生积极参与学习，小组合作学习开展较好.。
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分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如例1、解方程：。
①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。
甲：原方程的解是。
乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。
哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。
甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。
这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙：很简单，两个字：检验。
可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。
甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：例2、解方程，去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。
乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。
首先把原方程去分母，化为。
③因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或若增根为，代入方程③，得，；若增根为，代入方程③，得，。
故当或时，原方程会有增根。
甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：例4、已知关于x 的方程无解，求m 的值。
先把原方程化为。
④（1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为，当，而时，方程④无解，此时。
（2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为时原方程无解，代入方程④，得，故。
综合（1）、（2），当或时，原方程无解。
妙用分式方程的增根解题在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例.例1 若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为__________________. 析解：去分母并整理，得11ax x +=-，因为原方程有增根，增根只能是1x =，将1x =代入去分母后的整式方程，得1a =-.例2 若关于x 的方程2233x m x x -=+--无解，则m 的值是_________. 析解：去分母并整理，得40x m +-=.解之，得4x m =-.因为原方程无解，所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以43m -=，1m =.例3. 已知方程214x -＋2＝2k x -有增根，则k ＝______________. 析解：把原方程化成整式方程，得212(4)(2)x k x +-=-+.因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-.将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+，得14k =-； 将2x =-代入212(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－14.练一练：1. 如果分式方程11x m x x =++无解，则m 的值为（ ）.（A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）－22. 如果方程2211x k x x x++=--有增根1x =，则k ＝________.答案：1.C ；2.1；分式方程的增根及其应用一、增根的原因解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．二、利用增根解题不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种：1．已知方程有增根，确定字母系数值例1：若方程323-=--x m x x 有增根，则m 的值为 （ ） A ． －3 B ．3 C ．0 D ．以上都不对析解：把分式方程两边同乘以公分母x －3，得整式方程x －2（x －3）=m ．若原方程有增根，必须使公分母x －3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6－ m ，解得m=3．故应选B ．点评：方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程；②令公分母为0，求出x 的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．2．已知方程无解，确定字母系数值例2：若方程132323-=-++--xmx x x 无解，则m 的值为 （ ） A ． －1 B ．3 C ．－1 或3 D ．－1 或53- 分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解．解：去分母，得(3－2x)－(2+mx)=3－x,整理,得(m+1) x=－2．若m+1=0，则m= －1，此时方程无解；若m+1≠0，则x=12+-m 是增根．因为12+-m =3，所以m=53-．所以m 的值为－1 或53-，故应选D ． 点评：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到．3．已知方程无增根，确定字母系数值例3：若解关于x 的方程1112+=---x x x k x x 不会产生增根，则k 的值为 （ ）A ．2B ．1C ．不为±2的数D ．无法确定析解：去分母，把分式方程化为整式方程，x(x+1)－k=x(x －1)，解关于k 的方程,得k=2x.由题意, 分式方程无增根，则公分母x 2－1≠0，即x ≠±1,则k ≠±2．故应选C ．点评：方程无增根，就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用这一点可以确定字母系数值或取值范围．妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值，请看下面例示：一、 分式方程有增根，求参数值例1 a 为何值时，关于x 的方程342-+-x a x x =0有增根？ 分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a 的值解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x 2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3所以a=3时，342-+-x a x x =0有增根。
点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值例2 m 为何值时，关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
分析：原分式方程有增根，应是使分母为0的x 值。
将这样的x 值代入去分母的整式方程可求出m 的值。
解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得（1+m ）x=3m+4（※）因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。
把x=1代入（※），解得m=-23；把x=2代入（※）得m=-2所以m=-23或-2时，原分式方程有增根点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实），如方程1+x k +1=)2)(1(2-+x x 有增根，可求得k=-32，但分式方程这时有一实根x=38。
二、 分式方程是无实数解，求参数值例3 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数根，求m 的值。
分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的x 值为原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m 的值解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。
又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5所以m=3点评：这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。
分式方程的非常规解法抓特点选方法有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目的特点，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予以说明．一、分组化简法例1．解方程：111102345x x x x --+=++++ 分析：本题的最小公分母为(2)(3)(4)(5)x x x x ++++，若采用一般解法，就会出现高次项数，计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到11123(2)(3)x x x x -=++++，11145(4)(5)x x x x -=++++，在此基础上再通过比较上面两式即可将本题求解． 解：原方程化为：1111()()02345x x x x ---=++++，∴上式可变为：110(2)(3)(4)(5)x x x x -=++++．即11(2)(3)(4)(5)x x x x =++++， ∴(2)(3)(4)(5)x x x x ++=++，解这个整式方程得： 3.5x =-，当 3.5x =-时，该分式方程中各分式的分母的值均不为0，所以 3.5x =-为原方程的解．二、拆项变形法例2．解方程2332+-x x －21-x =x x x x 24122-+- 分析：本题求解时应首先将题目中的第1，3，4个分式的分母因式分解，再将这几个分式分解成两个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷易解． 解：原方程变形为：3311122()()()21212x x x x x x x --=-+------ 化简后整理得：143-=x x ，∴3(1)4x x -=，解得：3x =-，当3x =-时，分式方程中的各分式的分母均不为0，故3x =-是原方程的解． 三、利用特殊分式方程aa x x 11+=+求解． 分式方程a a x x 11+=+的解为121x a x a ==，，若一个方程等号两边的项分别互为倒数时，则此时便可套用上面的方程的解法求解．例3．解方程：2123113=-+-x x x x 分析：因本题中13-x x 与x x 31-，2与21分别互为倒数，符合方程a a x x 11+=+的特点，故可将该方程转化为这种方程的形式求解．解：原方程变形为3112132x x x x -+=+-，设则x x 31-=y 1，此时原方程变形为：1122y y +=+，∴2y =或12y =．即321x x =-或3112x x =-，解得：12125x x =-=-，．经检验得：12125x x =-=-，都是原方程的解．∴原方程的解为12125x x =-=-，．与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。