几何证明题集-R5

因此n []122()n E K K K K =-++++，故有：2n K =。

2.50 证明有七条棱的多面体不存在。

证明：首先可证，每一面只能是三角形。若有一面是四边形或更多的多边形，则剩下至多三条棱，这剩下的至多三条棱无法与四顶点或更多的顶点相连而得到一多面体。

因此可得，假若存在有七条棱的多面体V ，设V 的面数为F ，棱数为E ，则23E F =。

∵7E =，∴14

3F =（非整数），与假设没有矛盾（由假设知F 必为正整数）。

故不存在有七条棱的多面体。

2.51 证明正四面体一双对棱中点的连线垂直于这两棱。 题设：在正四面体ABCD 中，E F 、是AB CD 、中点。 题断：EF AB ⊥，EF CD ⊥。 证明：连AF BF DE CE 、、、。

ABCD 是正四面体，

∴FA FB =。

又EA EB =，∴FE AB ⊥。 同理得：EF CD ⊥。

2.52 正四面体以一顶点所引高的中点到其他三顶点连线，证明它们是一个三直三面角的三棱。

题设：在正四面体ABCD 中，'AA ⊥平面BCD 于且'A ，O 为'AA 的中点。

题断：O BCD -是三直三面角。

证明：设正四面体ABCD 的棱长为a 。我们不难知道：'A 为正△BCD 的中心，因此'BA ''CA DA == 33

a =。 2

2226''33

a AA AB BA a a ∴=-=-

=。 '6

'26

AA OA a =

=， 2222362

''(

)()362

OB BA A O a a a ∴=+=+=。 同样得22OC a =

，2

2

OD a =。 2222

2222()()22

OB OC a a a BC ∴+=+==。

题图 2-51

题图 2-52

因而知：BOC ∠=90︒。

同理可证：COD ∠=90︒，DOB ∠=90︒。 故O BCD -是三直三面角。

2.53 证明正四面体一双对棱互相垂直。 题设：AB CD 、是正四面体ABCD 的一双对棱。 题断：AB CD ⊥。

证明：取AB 的中点E ，连CE DE 、。 ∵CE AB ⊥，DE AB ⊥， ∴AB ⊥平面DCE CD ⊃。 故AB ⊥CD 。

2.54 求作一平面使截正四面体的截面成矩形。 题设：正四面体ABCD 。

求作：一平面π截此四面体，使截面

PQRS 为矩形。

分析：由已解决的2.28题知，首先π必平行于一双对棱（这是由于矩形⊂平行四边形）。在这里，不妨假设π已作成，π是平行于一双对棱AC 、BD 的。P Q R S 、、、在AB 、BC 、CD 、DA 上，

我们不难知道PQ ∥AC ，QR ∥BD 。 由上题得：AC BD ⊥。

∴PQ ⊥QR ，因而PQRS 为矩形。

由此可见：平行于一双对棱的任一平面合条件。因而本题有无限多解。

作图：从略。

2.55 求作一平面使截正四面体的截面成正方形。 题设：正四面体ABCD 。

题作：平面α截此体，使得截面PQRS 为正方形。 分析：假定图已作成，由上题知：当PQRS 为矩形，是可作出的。若：PQRS 为正方形，则PQ QR =，即

BQ QC

AC BD BC BC

=⋅⋅

。 AC BD =，BQ QC ∴=。

因此Q 为BC 中点。从而可知P R S 、、分别是AB CD DA 、、的中点。作图极易，故从

略。

讨论：本题永有三解。

题图 2-53

题图 2-55

题图 2-54

2.56 计算正四面体和正八面体的二面角，从而证明二者互补。

题设：α、β分别为正四面体和正八面体的二面角。 题断：2d αβ+=

证明：取23A A 中点N ，连1A N 、4A N （图2-56-1）， 则1A N ⊥23A A ，4A N ⊥23A A ，14A NA α∴∠=。

因此cos α

=222

1414

142NA NA A A NA NA +-⋅。

令正四面体1234A A A A 的棱长为一个单， ∴cos α=222

2

33

(

)()112233

2()2+-=。 因面α=arc cos 1

()3

。

取'BC 中点D ，连AD 、'A D ， 则'AD BC ⊥，''A D BC ⊥。 'ADA β∴∠=。

设正八面体的棱长为一个单位，则3

','2

AD A D AA ==

=2。

222

2

2

2

33

(

)()(2)''

22cos 2'

33

2()()22

DA DA AA DA DA β+-+-=

=

⋅13=-。 因而β=arc cos 1

()3-。

故a β+=arc cos 1()3

+arc cos 1

()23d -=。

2.57 三等线段'AA 、'BB 、'CC 的中点重合且两两互垂，证明：A 、B 、C 、'A 、'B 、'C 决定一个正八面体。

证明：设O 点是'AA 、'BB 、'CC 的公共中点。

'AA 、'BB 、'CC 相等且垂直平分于O 。

,'O ABC O BCA ∴- -……是互为相等的正直棱锥。 因此得：八面体的各面△ABC 、△'BCA ……是全等的正三角形且任相邻的二面角是相等的。（例如：

'A BC A C ∠=∠⋅⋅⋅'AB C ⋅，这是A BC O ∠=⋅⋅

题图 2-56-2

题图 2-56-1

题图 2-57