平均曲率模型的Euler-Lagrange方程推导

平均曲率模型的Euler-Lagrange方程推导
杨奋林
【摘要】介绍变分原理中的几个重要定理，并通过这几个定理推导出平均曲率模型的 Euler-Lagrange方程及边界条件。

%Several important theorems in variation principle are introduced,and the derivation of Euler-La-grange equation for the mean curvature model and the boundary conditions are presented based on these theorems.
【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(037)005
【总页数】3页(P10-12)
【关键词】平均曲率模型;G 微分;格林公式;Euler-Lagrange方程
【作者】杨奋林
【作者单位】吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
基于变分偏微分方程的图像处理技术结合图像的本质特征，是目前图像恢复中能够保持图像边缘的有效方法[1-4].该方法一般是先建立一个能量泛函，然后根据变分基本原理求能量泛函的Euler-Lagrange方程.笔者主要考虑平均曲率模型[5]的Euler-Lagrange方程的推导.
将图像几何参量的平均曲率做正则化项，引入到图像恢复中，即平均曲率模型：
其中：z为已知的观察图像；u为原始图像；平均曲率κ(u)=·()，为梯度算子，·为散度算子，|.
定义1[6] 设Ω是n维实数向量空间Rn的一个子集，称映象J:Ω→Rm在Ω的
内点u处G-可微(Gateaux可微)，如果存在线性算子A，使对∀v∈Rn，u+v∈Ω有v.此时称A为J在u处的G-微分.
引理1[7] (变分预备定理) 设Ω为某一平面区域，∂Ω为Ω的边界，函数f(x，
y)∈C(Ω)，以及对任意的函数η(x，y)∈C(Ω)且，都有∫Ωf(x，y)η(x，y)dxdy=0，则在区域Ω上f(x，y)=0.
引理2[7](高斯定理) 设Ω是Rn中的有界开集，∂Ω分片光滑，函数u(x1，…，xn)在(Ω的闭集)上连续可微，则
其中n=(n1，…，nn)T为∂Ω的外法向量.
由高斯定理不难验证∫Ω(·u)dx1…dxn=∫∂Ωu·nds.
引理3[7] (分部积分公式) 设Ω是Rn中的有界开集，∂Ω分片光滑，函数
u(x1，…，xn)，v(x1，…，xn)在上连续可微，则
由分部积分公式可以验证
引理4[8](格林公式) 设函数u(x1，…，xn)，v(x1，…，xn)在Ω上二阶连续可微，则
(1)∫Ω(·u)dx1…dxn=∫∂Ωu·nds；
(2)∫Ωu·vdx1…dxn=-∫Ω(v·u)dx1…dxn+∫∂Ωvu·nds；
(3)∫Ωu(·v)dx1…dxn-∫Ωv(·u)dx1…dxn=∫∂Ω(uv·n-vu·n)ds.
平均曲率模型的求解通常转化为求解能量泛函(1)的最优性条件，即Euler-Lagrange方程，其具体推导过程如下：
任取函数v=v(x，y)，对泛函(1)求G-微分，即
I1-I2+∫Ωv(u-z)dxdy，
其中I1=∫Ωκ(u)y.
由格林公式，
y.
类似地，
u·ndxdy+
将(2)，(3)式代入I1-I2+∫Ωv(u-z)dxdy，并整理得
y.
由v的任意性及变分基本原理，得平均曲率模型(1)的Euler-Lagrange方程为
且满足边界条件
【相关文献】
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