等比数列的前n项和公式 课件——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

(2)1 + 3 = 10，4 + 6 =
5
，求S5；
4
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
【解析】(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根.
1 = 2
1 = 64
解得
或
.
= 64
= 2
又 =
2
2
2
2
2
1
1
(1− )
1

1

即 =
2
2
2
1
1−
2
∴ = 2 −
1
2
−
−1 −
2+1

2
=1−
=2−
2
−
+2
(

2
2+1
∈ ∗)
−

2+1
方法小结
错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数
列{anbn}的前n项和.
通项公式
an=a1+(n－1)d
an=am+(n－m)d
an=a1qn-1
an=amqn-m
性质
ap + aq = as + at= 2ak = =
(m+n=p+q=2k)
复习引入
【思考】已知数列{an}是以1 为首项，以为公差的等差数列，
如何求 = 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值？
项的和，则：
奇
①在其前2n项中，
偶
= ；
②在其前2n+1项中，
奇 − 偶 = − + − + ⋯ − + +
+ + + +
=
=
( ≠ −)
−（−）
+
例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
第四章
数列
4.3.2
等比数列前n项和公式
推导与性质
授课老师
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简
单问题.
复习引入
等差数列
等比数列
定义
an-an-1=d
+
=

公差
d 可以是0
q不可以是0
等差中项
2A=a+b
=
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式
交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.
例题解析
例3：(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝____.
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，
当q=1时， = = ⋯ = ， =
当q≠1时， =
(− )
−
=
−
−
【注意】
(1) 判断q是否等于1;
(2) 当q≠1时，若已知，，，则套用 =
(3) 若已知，，，则套用 =
−
−
(− )
1−
C.
C)
1−
，
1−
，
≠ 1且 ≠ 0
=1
练习巩固
练 习 3 ： 设 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 S10∶S5 ＝ 1∶2 ， 则
S15∶S5等于(
A.3∶4
A)
B.2∶3
C.1∶2
练习4：设等比数列{an}中，3 =
D.1∶3
3
，S3
2
=
1−1
1−
= 126，所以 = 2或 =
1
2
例题解析
例2：求数列

2
的前n项和。
1
2
2
3

【解析】设前n项和为 = + 2 + 3 + ⋯ +
2
2
2
1
1
2
−1

则有 = 2 + 3 + ⋯ + + +1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
两式相减得 − = + 2 + 3 + ⋯ +
4
1 = 8
1(1−5 )
，解得 = 1 ，∴ 5 =
=
1−
2
31
2
方法二：由(1 + 3
)3
，得3
= 4 + 6
=
又1 + 3 3 = 1(1 + 2 ) = 10，得1 = 8
1
，
8
=
1
.
2
例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，
且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.
(3)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝___.
【解析】(3)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，
且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.
(3)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝___.
【解析】(1)∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，
∴S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.
【解析】因为数列{an}是等差数列，
∴a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-3 =···，
由 = 1 + 2 + 3 +··· +−1 +
①，
∴ = + −1 + −2 +··· +2 + 1 ②，
①+②得：2 = (1 + )
作业布置
①
等式①的两边同时乘以公比q ，得
= + + +··· + − + − +
由①-②，得：(−) ∙ = −
由此得 ≠ 时， =
(− )
−
②
错
位
相
减
法
知识新授
设等比数列{an}的首项为 ,公比为( ≠ )，数列{an}的前和
又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.
例题解析
例3：(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝____.
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，
且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.
9
，则1
2
= ( 或6 )

课堂小结
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式.
(2)利用错位相减法求数列的前n项和.
(3)等比数列前n项和的性质.
2.方法归纳：
错位相减法、方程(组)思想、分类讨论.
3.常见误区：
(1)忽略q＝1的情况而致错.
(2)错位相减法中粗心出错.
(3)忽略对参数的讨论.
5
例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)1 + 3 = 10，4 + 6 =
5
，求S5；
4
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
【解析】(2)方法一：
1 + 12 = 10
3
5
1 + 1 =
5
;
−
知识新授
等比数列前n项和的性质
1.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1，且n不是偶数)，Sn为
其前n项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 仍构成等比数列.
2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm (n，m∈N*).
3.若{an}是公比为q的等比数列，则奇，偶分别是数列的奇数项和偶数
∴3 − 2 = 0，
∴ =
3
2
练习巩固
练习1：在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项
的和等于(
A.－25
D)
B.25
C.－31
D.31
练习2：等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(
A.
1−
1−
1− −1
B.
， ≠ 1 )

倒
序
相
加
法
课堂探究
【回顾】以为首项，以为公差的等差数列的前n项和为：
( + )
=

【思考】设等比数列{an}的首项为 ,公比为q
如何求数列{an}的前和
由前项和的定义知，等比数列{an}的前和 为：
= + + +··· +− +
根据等比数列的通项公式，上式可写成
= + + +··· + − + −
①
课堂探究
由前项和的定义知，等比数列{an}的前和 为：
= + + +··· +− +
根据等比数列的通项公式，上式可写成
= + + +··· + − + −
(2)1 + 3 = 10，4 + 6 =
5
，求S5；
4
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
1(1 + ) = 30
1 = 5
【解析】(1)由题意知
，解得
，或
2
=5
1(1 + + ) = 155
1 = 180
5
=−
6
1080× 1− −
(3)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝___.
【解析】(2)由题意知，奇 + 偶 = −240，奇 − 偶 = 80
∴奇 = −80，偶 = −160，
∴ =
奇
偶
=2
例题解析
例3：(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝____.