拉格朗日插值和逐次线性插值

待定系数
l0 ( x1 ) l0 ( x2 ) 0 l0 ( x0 ) 1,
知l0(x)中含有两个因子(x-x1 )( x-x2)，且是二次的
则可令l0 ( x) A ( x x1 ) ( x x2), 再由l0(x)满足的条件
1 可得A ( x0 x1) ( x0 x2 )
曲线 ( x) 近似 f ( x)
(x)
f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
从代数上看，看 (x)满足以下代数条件
(xi) = yi
i = 0, 1, 2, ⋯, n
这就是所谓的插值．
然后计算 (x)在[a,b] 上其它点x 处的函数值作为 原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。
代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
(2) 在节点满足
x0 l0(x) l1(x) l2(x) 1 0 0 x1 0 1 0 x2 0 0 1
先求 l0(x):
由l0(x)满足的两个条件
------ 线性Lagrange插值多项式形式
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
节点上的线性 插值基函数： 满足
y
1 0
x x 1 l0 ( x) , x0 x1
x0 l0(x) l1(x) 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
例2.2 由化学实验得到某种物质浓度yi与时间ti 的关系如表2-2.
ti yi
0. 0 0.5
0. 0 0.19
1.0
0.26
1.5
0.29
2.0
0.31
求其它时间的物质浓度。 解法： 建立时间与物质浓度的简单数学模型， 或用插值法 。
问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息， 如何构造这些函数的近似表达式? 求y = f (x) 在[ a , b ]上的近似曲线？
l0(x)
x0 y x1 x
1
l1(x)
0
x0
x1 x
例2.3 已知 100 10 , 121 11 , 利用线性插值求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线 性插值
x 121 x 100 L1 ( x) 10 11 100 121 121 100
1, k i, i, k = 0, 1 ,⋯, n (2.4) l k ( xi ) ki 0 , k i, 则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插 值基函数。
先求 插值基函数
令 l k ( x) A( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ),
或
L1 ( x ) y0
x x0 x x1 y1 x0 x1 x1 x0
l0 ( x) x x1 , x0 x1
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l1( x) x x0 x1 x0
(2.3)
称为节点x0,x1上线性插值基函数
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
n.
， k = 0, 1 ,⋯, n .
（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
(2.5)
L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x) + y2 l2(x)
（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合） 再构造插值多项式
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
(2.1)
( x ) 为 f (x) 的插值函数。
(2.1)式称为插值条件， f ( x ) 称为被插值函数， [a , b] 称为插值区间， x0 , x1 , , xn 称为插值节点 ， 求 ( x ) 的方法就是插值法。 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插.
(x)
f(x) 研究问题：
类似地,可得
y
1
0
即得
l0 ( x) =
(x - x0 )( x - x2 ) (x0 - x1)( x0 - x2 ) (x - x0 )( x - x1) (x2 - x0 )( x2 - x1)
l1 ( x) =
y
1
( x - x0 ) ( x - x2 ) ( x1 - x0 ) ( x1 - x2 )
第二章
2.1 引言与问题特例
插值法
2. 2 Lagrange插值多项式
2. 3 逐次线性插值法 2. 4 Newton插值多项式
2. 5 Hermite插值多项式
2. 6 分段低次插值
2. 7 三次样条插值
例2.1
2.1 引言与问题特例
例2.2
问题１ 插值---定义2.1
2. 2 Lagrange插值多项式
（1）满足插值条件的 ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的 ( x) 存在，如何构造( x)？ （3）如何估计用 ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
曲线 ( x) 近似 f ( x)
x0
x1
x2
x3
x4
2.2 Lagrange插值多项式
问题１－插值多项式的存在唯一性
n+1个节点互异
2.2.2Lagrange插值 当n=1时，要构造通过两点 (x0 , y0 )和 (x1, y1 )的不超过1次的多项式 1(x)(后面记 作L1(x) )，使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
y y = L1(x) 0 x0 x1 x
y L1 ( x)的几何意义就是通过两点（x0 , y0 )与（x1 , y1 )的直线， 如图所示，L （ ）的表达式可由几何意义直接给出： 1 x
1 由 l k ( xk ) 1, 得 A ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
k = 0, 1 ,⋯,
l k ( x) ( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
2.2 Lagrange插值多项式 2.2.1 多项式插值问题
用代数多项式作为插值函数的插值法称为多项式插值法。
可设
( x ) = a0 + a1 x + a2x 2+ ⋯ + ai x i + ⋯,
问题：插值多项式 ( x )是几次多项式？系数ai=？ 插值多项式 ( x )唯一吗？
方法１：待定系数法
10 11 ( x 121) ( x 100) 21 21
y 115 L1 (115) 10.714
下面讨论n 2的情形。 假定插值节点为x0 , x1 , x2 , 要求二次插值多项式L2 ( x), 它满足 L （ 2 xi ) yi (i 0,1, 2), 几何上y L2 ( x )就是通过三点 （x0 , y0 ).( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )的抛物线。 为了求出L2 ( x)的表达式，可采用基函数方法.
定义2.1 设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1<
x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单 近似计算 f (x) 的值、零点、极 函数 (x), 使得
(xi) = yi
成立,则称
值点、导数、积分，
i = 0, 1, 2, ⋯, n
2.2.1 多项式插值问题
定理2.1 例2.3 定理2.2
线性（一次）插值
2.2.2 Lagrange插值
n=2
例2.2*
n次Lagrange 插值多项式
Lagrange插值多项式的另一种形式 定理2.3
2.2.3
Lagrange插值余项
n=1 n=2
练习1-3
例2.4
Lagrange插值算法实现 算例1-2 2.3 逐次线性插值法
n次Lagrange 插值多项式
先求插值基函数 然后构造插值多项式
求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)： 设Ln(x)= y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) 满足插值条件：L n ( xj ) = y j , j = 0, 1, ⋯, n 定义2.2 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,⋯,n ) 在各节点 x0 x1 xn 上满足条件
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0 （两点式）
（点斜式）
y y = L1(x) x0 x1 x
x x0 0 x1 x L1 ( x) y0 y1 x1 x0 x1 x0
－－－称为线性（一次）插值
L1 ( x) y0
y1 y0 ( ) x1 x0 x x0
( x 121)( x 144) ( x 100)( x 144) L2 (115) 10 11 (100 121)(100 144) (121 100)(121 144) ( x 100)( x 121) 12 10.72275 (144 100)(144 121) x 115
1 1 1
由(2.1)可得
x x (x

x0
2 x0
n x j )x1

n x0
2 x n (xx ≠0 ≠ i n xj)

n xn
插值多项式的唯一性
方程组(2.2)有唯一解
范德蒙行列式
a0, a1, a2, ⋯ , a n 存在唯一
定理2.1
满足条件 (2.1)的插值多项式存在且唯一。
问题１－插值多项式的存在唯一性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i = 0, 1, 2, ⋯, n
(xi) = yi
Hn表示次数不超过n 的所有多项 设 n( x )是 f (x) 的插值多项式， 且 n( x ) ∈Hn .称插值多项式存在且唯一，就是指在 式的集合。 Hn 中有且仅有一个 n( x ) 满足插值条件(2.1)式。
n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 (2.2) n a a x a x n n yn 0 1 n
V n ( x 0 , x1 , , x n )
2 1 1i 0 j i n
① 确定多项式 ( x )的次数
结论：n+1个插值节点产生的插值多项式的次数不 超过n次．
② 可设
( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an x n
要求插值多项式 (x)，可以通过求n+1个方程的解:
a0 a1 an
得到。但这样做不但计算复杂，
而且难于得到 n(x)的简单表达式。
2.1 引言与问题特例
例2.1 在统计中会遇到概率积分 2 x t 2 f ( x) e dt 0 的计算。为便于应用，有概率积分表2-1
0.521 0.522 x 0.520 f (x) 0.537 90 0.538 76 0.539 62 0.524 ……
0.540 48 ……
求 f (0.52136)或f (0.52218). ( 数据表中没有）。 解法：用插值法求。
k 0 n
定理2.2（Lagrange）插值多项式
设 y f ( x )函数表( xi , f ( x i ) ) ( i 0, 1, ..., n) ( xi xj , 当 i j ) ,
则满足插值条件 Ln ( x i ) f ( xi )， (i 0,1...n)的插值多项式为
y
1
l2 ( x) =
x0 x1
x2
x
0
x0
x1
x2
x
0
x0
x1 x2
x
所以有 L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1 (x) + y2 l2(x)
例2.2* 已知 100 10
, 121 11 , 144 12
利用抛物线插值求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, x2=144， y2=12，利用抛物线插值公式