医用物理(第二版)第1章 生物力学详解
药学《医用物理学》教学大纲
《医用物理学》课程教学大纲（Medical Physics）一、课程基本信息课程编号：14072602,14072603课程类别：学科基础课适用专业：医学/药学/医检等专业学分：3总学时：48先修课程：高等数学后续课程：医学专业课课程简介：医用物理学是物理学的重要分支学科，是物理学与医学的交叉学科，也是医学类专业学生必修的基础课程。
开设这门课程的主要目的是，一方面是通过较系统的教学，使学生进一步深入理解物理概念和物理规律，为医学院学生后续学习现代医学打下必要、坚实的物理基础；另一方面使学生在物理思想、研究问题的科学方法与创新能力方面得到提高。
主要教学方法与手段：本课程以讲课为主，讲课形式兼顾PPT和板书，同时教学视频录像作为辅助手段，网络教学作为资源库和教学辅导手段。
选用教材：陈仲本，况明星.医用物理学[M].北京：高等教育出版社，2010必读书目：[1] 倪忠强，刘海兰，武荷岚.医用物理学[M].北京：清华大学出版社，2014选读书目：[1] 王振华.医用物理学[M].北京：北京邮电大学出版社，2009[2] 李旭光.医用物理学[M].北京：北京邮电大学出版社，2009[3] 程守洙，江之永，胡盘新. 普通物理学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2004[4] 马文蔚.物理学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006[5] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Fundamentals of Physics (Extended) [M]. John Wiley & Sons, Inc, 2001二、课程总目标：本课程目的在于通过对经典物理学和近代物理学的系统学习，尤其是和医学紧密相关的知识的介绍，了解物理学发展及其在医学中的应用，了解物理学发展过程中的基本方法，基本实验，基本思路。
掌握经典物理学中力学，热学和电磁学的基本知识和基本技能，理解近代物理学发展的基本内容和基本概念，并且能利用这些知识和技能为后续的医学专业课服务。
医学生物力学课件详解
步态分析设备
现代的步态分析设备使用传感器和计算机技术，准 确记录和分析步态数据。
运动损伤及其修复
1
运动损伤类型
运动损伤可以包括肌肉拉伤、韧带撕裂和骨折等。
2
修复方法
不同类型的运动损伤需要采用不同的修复方法，如手术治疗、物理治疗和康复训 练。
3
预防措施
通过合理的训练和保护措施，可以减少运动损伤的发生。
人体的运动与协调
1
运动产生
神经系统和肌肉通过协同工作，使人体产生各种运动。
2
运动控制
大脑负责控制和协调肌肉的运动，以实现预定的动作。
3
动作反馈
感觉系统将外部和内部刺激转化为动作反馈，帮助人体调整姿势和力量。
步态分析
步态参数
通过分析步态参数，如步态周期、步长和步态对称 性，可以评估人体运动功能和恢复过程。
运动生理学基础
运动生理学研究人体在运动中的生理变化，如心血管系统的调节、肌肉的代谢和呼吸功能的改变。
运动训练的原理
1 适应性原理
2 多样性原则
通过根据训练目标和水平逐渐增加运 动负荷，促进身体适应和提高运动能 力。
3 个性化原则
通过交替不同训练方式和运动项目， 增加训练的趣味性和效果。
根据个体的特点和目标，制定适合其的训练计划，提高训练效果。
运动康复的原理
运动康复通过结合生物力学知识和康复原则，帮助受伤者恢复功能，提高生 活质量。
生物力学在医学中的未来发展趋势
虚拟现实技术
虚拟现实技术可以提供逼真的 模拟环境，帮助医生、研究人 员和学生更好地理解和应用生 物力学知识。
智能材料和器械
智能材料和器械的发展将进一 步推动医学生物力学的研究和 应用，为医学领域带来更多创 新。
医用物理学期末复习题库讲课讲稿
第一章 生物力学基础重点：刚体转动定律和角动量守恒定律及其应用。
1、基本概念刚体，转动惯量及刚体的定轴转动，力矩与刚体转动定律，角动量守恒定律及其应用。
2、习题1-3 如图1-3图所示，质量为m ，长为l 的均匀细棒绕过O 点的转轴自水平位置以零角速度自由下摆. 求（1） 细棒运动到与水平夹角为θ 时的角加速度和角速度； （2） 此时细棒末端A 的速度和加速度. 解：（1） lg ml l Mg2cos 331cos 22θββθ=→= lg d l g d d lg d d d d dt d d d dt d θωθθωωθθθβωωθωωθθωωβθωsin 32cos 32cos 300=======⎰⎰（2） θωsin gl l 3==v ，2/cos 3θg a t =，θsin 3g a n =θ222sin 3123+=+=ga a a n t 1-4 如图1-4所示 长为l ，质量为m 的均质细长杆，求：(1) 杆件对于过质心C 且与杆的轴线相垂直的Z 轴的转动惯量；(2) 杆件对于过杆端A 且与Z 轴平行的Z 1轴的转动惯量． 解：设杆的线密度(单位长度的质量)为ρl ，则ρl =m /l 。
现取杆上一微段d x ，建立坐标如图1-4a 所示，其质量为d m =ρ1d x ，则杆件对于Z 轴的转动惯量为2222222121ml dx l m x dm x I l l l l Z ===⎰⎰-- 同样，建立坐标如图1-4b 所示，则杆件对于Z 1轴的转动惯量为20202311ml dx l m x dm x I ll Z ===⎰⎰补充： 有圆盘A 和B ，盘B 静止，盘A 的转动惯量为盘B 的一半。
它们的轴由离合器控制，（a ）（b ）图1-4图1-3开始时，盘A 、B 是分开的，盘A 的角速度为ω0，两者衔接到一起后，产生了2500 J 的热，求原来盘A 的动能为多少？解：已知I B =2I A ，由角动量守恒定律，可得两者衔接到一起后的共同角速度为ωI A ω0＝（I A ＋I B ）ω ω＝13ω0 又由能量守恒，得 12I A ω02＝12（I A ＋I B ）ω2＋2500所以E A ＝12I A ω02＝3750 J第三章 振动、波动和声重点：简谐振动及其应用。
第一章医用物理
(2)A＜0时，外力对物体作负功，物体的动能减少。
三、势能
• 重力势能：从高处落下的重物能够作功，说明处 在高处的重物具有能量，称为重力势能。 • 弹性势能：被拉伸或受压缩的弹簧，在恢复原状 的过程中，也能作功。说明处于弹性形变状态的 物体也具有能量，称为弹性势能。 • 势能：凡是由物体之间的相互作用和相对位置决 定的能量统称为势能。 由于势能既和物体之间的相互作用力有关， 又和物体之间的相对位置有关，所以势能属于相 互作用着的物体所组成的系统，而不是属于某一 个物体。重力势能属于重物和地球组成的重力系 统，弹性势能则属于弹性体组成的弹性系统。
J mi ri 2
i 1
1 1 n 2 2 E k mi i ( mi ri ) 2 2 i 1 i 1 2
n
n
其中： 则
1 E k J 2 2
2. 刚体的转动惯量 当物体是由无数个质点紧密相连而形成的连续体时 J r 2 dm r 2 dV 其中dm称为质量元，表示一个密度为的小体积元dV 的质量。r为该体积元到转轴的距离。在国际单位制中 转动惯量的单位是 kg· 2。 m 求解转动惯量的常用方法 平行轴定理 垂直轴定理
三、动量
1、动量：把物体的质量和速度的乘积，称为该物体的 动量 d( mv) dp p=mv F dt dt 2、动量定理：在运动过程中，物体所受合外力的冲量， 等于其动量的增量。
t2
t1
Fdt dp p2 p1
p1
p2
I Fdt p2 p1 mv2 mv1
速度是各分速度之矢量和
v vx i v y j vz k
dx dy dz v i j k dt dt dt
医用物理学习题解答汇总(1)(1)(1)(1)
第一章 生物力学基础1-1 两物体的转动动能之比为1:8，转动惯量之比为2:1，求两物体的角速度之比。
解：由211112k E I ω=，222212k E I ω=，且121/8k k E E =，12/2I I =，可得1214ωω=1-2 细棒长度为1m ，质量为6kg ，转轴与棒垂直，距离一端为0.2m ，求转动惯量。
解：0.80.82230.20.211.0083I r dm x dx x λλ--====⎰⎰ kg/m 21-3 圆盘质量为m ，半径为R ，质量分布均匀，轴过盘中心且与盘面垂直，求转动惯。
解：4232212242Rm R J r dm r dr mR R πσππ===⋅⋅=⎰⎰1-4 一个飞轮的转动惯量为2335kg m ⋅，转速为每分钟72转，因受摩擦力矩作用而均匀减速，经40s 停止，求摩擦力矩。
解： 由每分钟72转可得角速度为2π×72/60=2.4π rad/s ， 由0t ωωβ=+ 可得 0 2.440πβ=+⨯，0.06βπ=- rad/s ， 由M I β=，可得 335(0.06)63.15 N m M π=⨯-=-1-5 在自由旋转的水平圆盘边上，站着一质量为m 的人，圆盘半径为R ，转动惯量为J ，角速度为ω，如果这人由盘边走到盘心，求角速度变化。
解：由角动量守恒()2J mR J ωω+=220(1)J mR mR J Jωωω+==+ 角速度变化20mR Jωωω-= 1-6 一个人坐在转台上，将双手握住的哑铃置于胸前，转台以一定角速度0ω转动（摩擦不计），人和转台的转动惯量为0J ，如果此人将两手平伸，使人和转台的转动惯量增加为原来的2倍，求：（1）人和转台的角速度；（2）转动动能。
解：（1）由角动量守恒0002J J ωω=，所以0/2ωω=（2）222001122224k J E I J ωωω⎛⎫=== ⎪⎝⎭1-7 解释以下各物理量的定义、单位以及它们之间的关系：（1）压应变、压应力、杨氏模量；（2）切应变、切应力、切变模量；（3）体应变、体应力、体变模量。
医用物理第1章题解
第一章 人体力学的基础知识l-l 一半径为R = 0.5m 的飞轮以角速度πω8=rad/s 绕中心轴转动，转动惯量I ＝2kg·m 2，现在飞轮边缘施加一沿圆周切线方向的制动力F = 8N ，使飞轮均匀减速直到停止。
求：（1）飞轮角加速度的大小；（2）从制动到飞轮停止转动所经过的时间及飞轮转过的圈数。
解 （1）由转动定律 αI M =，有飞轮的角加速度225.08=⨯===I FR I M α rad/s 2（2）从制动到飞轮停止转动所经过的时间为ππαω4280===t sαθω2 20=飞轮转过的角度为22201622)8(2 ππαωθ=⨯==由此得飞轮转过的圈数为ππππθ821622===n （圈）1-2 质量为m 和3m 的两个小球，固定在一根质量为2m ，长度为l 的均匀细杆两端，系统绕距质量为3m 的小球l /3的垂直于细杆的轴在水平面上转动。
求：（1）该系统对该轴的转动惯量；（2）当质量为3m 的小球速度为υ时，系统的角动量。
解 （1）根据题意，作图1-1，系统绕过O 点的轴转动。
系统对轴的转动惯量为22222)61(22121)31(3)32(ml l m ml l m l m I =+⨯++=其中后两项是应用平行轴定理得到的细杆的转动惯量。
（2）由r ωυ=，有系统的角速度为l l r υυυω33/===由此得系统的角动量为l m l ml I L υυω332=⋅==1-3 一根质量为M 长为2l 的均匀细棒，可以在垂直平面内绕通过质心O 的水平轴转动。
开始时，细棒静止在水平位置上。
有一质量为m 的小球，以速度u 垂直落在棒的端点。
设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的速度υ及棒的角速度。
解 依题意作图1-2。
由角动量守恒定律 l m I mul υω+=由能量守恒定律 222212121υωm I mu += 联立以上方程，解得u mM M m 33+-=υ, l m M mu )3(6+=ω 若3m > M ，则碰撞后小球的速度方向与原速度方向相同，若3m < M ，则碰撞后小球反弹，速度方向与原速度方向相反。
医用物理学(第一章)PDF
r r r C = A × B = AB sin θ
结果是矢量，方向由右旋螺旋法则确定
7
8
力学(Mechanics) : 研究机械运动的规律及其应 用的学科。 生物力学(Biomechanics) : 研究活体系统，即 有生命物体的机械运动的科学。
9
1-1 刚体的定轴转动
10
一、角量和线量关系
i
i = 1
i
∑
n
=
I ⋅ β
i = 1
刚体的角加速度与作用的力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比，方向与合外力矩的方向相同；
20
四、刚体的角动量
1. 角动量（angular momentum）或动量矩（moment of momentum） 单位： (kg ·m2·s-2)
L = ∑ mi vi ri = (∑ mi ri 2 ) ⋅ ω =Iω
若物体两端受到压力作用而 长度缩短，此时的应变为压 应变(compressive strain).
27
一、应变（strain)
（2）剪应变 (切应变）(shearing strain)
∆x γ= = tgϕ d
（3）体应变（volume strain）
∆V θ= V0
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二、应力(stress)
1. 骨骼的应力与应变的关系
36
一、骨的力学性质
2. 骨骼具有各向异性的力学性质 3. 人体骨骼受力的形式 ① 拉伸
② 压缩 ③ 弯曲 ④ 剪切 ⑤ 扭转
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弯曲形变
中间层以下的各层被拉 伸．出现张应变，越下层 张应变越大； 中间层以上的各层被压 缩，出现压应变。越上层 压应变越大。 中间层附近各层的应力 和应变都比较小，它们对 弯曲所起的作用不大。
医用物理学复习提纲
根据电势叠加原理，重心 O 处的电势为：
U U1 U 2 U 3 3 3Q 4 0 a
2.一半径为 R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为 ，求球心 O 处的电 场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为
d l Rd ，所带电荷： dq 2 r d l 。
2
n 2
02
4Mg 2 3R
4.在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距
1 R 转轴为 2 处，人的质量是圆盘质量的 1/10。开始时盘载人相对地以角速度 0
匀速转动。如果此人垂直圆盘半径相对于盘以速率 v 沿与盘转动相反方向作圆 周运动，如图所示。求： （1）圆盘对地的角速度。
3 2
∴
，
E
化简计算得：
E 4 0
2 0
2
0
1 sin 2 d 2 4 0 ，
i
∴
。
3、在点电荷 q 的电场中，取一半径为 R 的圆形平面(如图所示)，平面到 q 的距 离为 d ，试计算通过该平面的电通量。
解：通过该圆平面的电通量与通过以 q 为球心,以该圆的圆形边界为周界的球冠 面的电通量相同。
1 2 1 2 2 1
20 (10 3 ) 10 2 10 3 10 cos( )
2 2 2 2 1
cos( ) 0, 2 1 2k , k 0,1,2,... 2 1 2
4.如图所示，一个平面简谐波沿 Ox 轴的正方向以 u 的速度传播，若已知 A 处质 点质点的振动方程为 y A A cos t ，求： （1）该简谐波的波动方程 （2） O 点的振动方程。 （3） B 点的振动方程． （4）所有与 B 振动状态相同的点的坐标。
《医用物理学》教学课件：01第一章-力学基本定律
r x2 y 2 z 2
A)反映物体在空间位置的变 化，与路径无关，只决定于 质点的始末位置。
B)反映了运动的矢量性和叠 加性。
y
s
A r
B
r (t1)
r (t2 )
O
z
x
A(x1, y1, z1)
B(x2 , y2 , z2 )
二. 位移（displacement）
讨论
2. 位移是矢量，路程是标量。
标量（scalar）：只有大小没有方向的物理量 矢量（vector）：既有大小又有方向且只有一个方
向的物理量 张量（tensor）：既有大小又有方向，且不止一个
方向的物理量，方向的个数称为张量的阶
二. 矢量及其运算
平行四边形法则
A
D A (B)
B
C AB
B
三角形法则
B
A
C AB
本章习题：P30 1-2、1-10、1-13、1-14、1-16
Mechanics
力是不可回避的生存因素
• 万有引力定律决定了我们的存在与延续； • 牛顿定律控制着我们的一举一动； • 胡克定律支配着弹性材料的力学行为； • 纳维斯托克斯定律控制着流体的运动与行为； • 热力学定律控制着我们的能量转化过程； • 化学动力学规定了我们的物质转换规律； • 电动力学告诉我们电磁过程的规律。
第三节 运动描述
y
P r
j
O
x
ki
z
y
P r (t)
j O ki
z
质点运动过程中,其位置随时 间的改变可以表示为：
x
二. 位移（displacement）
y
A r B
rA
医学物理学知识点汇总知识讲解
Thank you !
2024/7/19
结束语
谢谢大家聆听！！！
16
第九章 静电场
p 电场强度、电势的含义、关系及计算。 p 电通量与电场强度的关系。 p 高斯定理的物理意义及其应用。 p 保守力场的特点。 p 均匀带电球面的电场和电势。 p 均匀带电圆环的电场和电势。
第十章 直流电
传导电流产生的条件。 电流密度的含义。 欧姆定律的微分形式。 基尔霍夫定律解题及符号规则。 理解动作电位及其产生过程。
第十一章 稳恒磁场
磁场的性质及各量的方向判断。 磁通量与磁场的关系。 电流的磁场及解题。 磁场的生物效应。
第十三章 波动光学
杨氏双缝干涉 夫琅禾费衍射 光栅衍射的基本原理和公式 偏振的有关概念及马斯定律。 光程、光程差、半波损失 物质的旋光性
第十四章 几何光学
单球面折射计算与符号规则。 焦度的含义及单位。 逐次成像法。 非正视眼的形成原因及矫正。
第一章 力学基本定律
• 位移、速度、加速度的关系。 • 切向加速度与法向加速度。 • 惯性系与非惯性系。 • 国际单位制和量纲。 • 转动惯量、理解刚体转动规律。 • 角动量守恒定律的应用（定性）。
第四章 振 动
• 简谐振动的特点及判断。 • 简谐振动方程及特征量的名称与含义。 • 同方向、同频率简谐振动的合成。
况下动能的表达式。 • 自由度 • 输运过程包括几种，各为什么的输运。 • 表面张力系数的含义。 • 曲面下附加压强的理解、气体栓塞的解释。
第八章 热力学基础
• 热力学系统的分类。 • 作功与传热的异同；内能的含义。 热力学第一定律的
含义与计算。 • 热力学第一定律在热力学过程中的应用(定性) • 热机效率（国际单位） • 热力学第二定律的表述及统计意义、熵增加原理。
医用物理习题答案第1章生物力学详细答案
习题一解答1-1 决定刚体的转动惯量的因素有哪些？答：刚体的转动惯量与以下因素有关：①质量的大小；②质量的散布情形，即刚体的形状、大小和各部份的密度；③转轴的位置．1-2 花腔滑冰运动员在运动中如何改变自身的旋转速度？答：花腔滑冰运动员，当绕通过重心的铅直轴高速旋转时，由于外力（重力，支撑力）对轴的矩为零，角动量守恒，通过改变自身的转动惯量，来改变角速度．例如，当他在旋转进程中突然把手臂收起来的时候，他的旋转速度就会加速．1-3试应用角动量和转动惯量的概念来讲明荡秋千的原理．答：当系统不受外力作历时,总角动量维持不变．固然荡秋千时还受到地心吸引力，但可忽略这一作使劲．物体的角动量是物体的转动速度乘以它的转动惯量．物体质量中心越靠近旋转轴, 转动惯量就越小，由于角动量为常数，因此物体的转动速度就会增加．反之，物体的转动速度就会减少．1-4形变是如何概念的?它有哪些形式?答：物体在外力作用下发生的形状和大小的改变称为形变．形变包括弹性形变和范(塑)性形变两种形式，弹性形变指在必然形变限度内，去掉外力后物体能够完全恢恢复状的形变，而范(塑)性形变去掉外力后物体再也不能完全恢恢复状的形变．1-5杨氏模量的物理含义是什么?答：在长度形变的情形下，在正比极限范围内，拉伸应力与拉伸应变之比或压应力与压应变之比，称为杨氏模量．杨氏模量反映物体发生长度形变的难易程度，杨氏模量越大，物体越不容易发生长度变形．1-6动物骨骼有些是空心的，从力学角度分析它有什么意义?答：骨骼受到使其轴线发生弯曲的载荷作历时，将发生弯曲效应．所产生的应力大小与至中心轴的距离成正比，距轴越远，应力越大．中心层周围各层的应变和应力都比小，它们对抗弯所起的作用不大．一样，骨骼受到使其沿轴线产生扭曲的荷载作历时，产生的切应力的数值也与该点到中心轴的距离成正比．因此，空心的骨头既能够减轻骨骼的重量，又可不能严峻阻碍骨骼的抗弯曲强度和抗扭转性能．习题1-1 当滑冰者转动的角速度原为0ω，转动惯量为0I ，当他收拢双臂后，转动惯量减少1/4，这时他转动的角速度为是多少？他假设不收拢双臂，而被另一滑冰者作用，角速度变成02ωω=，那么另一滑冰者对他施加力矩所作的功W 是多少？解：由角动量守恒定律得：ωωI I =00，即 4/3000ωωI I = 得 3/40ωω= 加力矩所作的功 200200200221)2(212121ωωωωI I I I W -=-=20021ωI W =1-2 一个每分钟78转的电唱机转盘在电动机关掉后慢慢慢下来，并与30s 内停止转动。
医用生物力学
医用生物力学生物力学是研究生物体在受力作用下的运动和变形规律的一门学科。
在医学领域，生物力学特指人体组织和器官的力学特性研究，即医用生物力学。
医用生物力学通过力学原理分析人体运动和生理功能，为医学诊断和治疗提供重要依据。
1. 医用生物力学的基础概念医用生物力学是交叉学科，结合了力学、生物学和医学知识。
医用生物力学研究的对象包括骨骼、肌肉、关节等人体组织与器官，着重于分析其结构、功能和运动特性。
通过观察生物体受力时的行为，可以了解疾病的发生和发展机制，为疾病的治疗和康复提供理论和技术支持。
2. 医用生物力学在医学中的应用2.1 骨折修复医用生物力学在骨折修复领域有重要应用。
通过研究骨折部位受力情况和骨折愈合过程，医师可以设计合适的支具和康复方案，促进骨折愈合，恢复患者的功能。
2.2 关节疾病治疗关节疾病如骨关节炎是医学中常见病症。
医用生物力学研究了关节受力时的应力分布和关节运动规律，为关节疾病的治疗提供了重要依据。
例如，通过改善关节受力方式和设计合适的假体，可以有效治疗关节疾病，缓解患者疼痛。
2.3 运动损伤预防医用生物力学还可用于运动损伤的预防。
研究人体在运动中的受力情况，分析不同运动方式对身体的影响，有助于制定科学的运动计划，减少运动损伤的发生率，提高运动效果。
3. 医用生物力学的未来发展随着医学和技术的不断进步，医用生物力学将在医学中发挥更大的作用。
未来，医用生物力学或将应用于个性化医学、生物医学工程等领域，为医学诊断和治疗提供更精准的信息和方案，实现个体化医疗的目标。
结语医用生物力学是医学领域中一个重要的交叉学科，通过力学原理研究人体结构和功能，为医学诊断和治疗提供科学依据。
随着科学技术的不断发展，医用生物力学的应用范围将不断扩大，为人类健康带来更多福祉。
医用物理学01章力学基本定律
例：证明重力和弹性力均是保守力.
y a mg θ mg
r dr
b L0 O 重力场的功 x O xb xa x
弹性力场的功
为了描述保守力做功只与物体的位置有关,与路 径 的 选 取 无 关 这 种 性 质 , 引 入 势 能 (potential energy)的概念.
EpG = mgh 1 2 弹性力势能： EpE = 2 kx
其中 vx,vy,vz 分别表示速度矢量在三个坐标轴 上的分量.在直角坐标系中,速度的大小为
v=
2 vx
2 + vy
2 + vz
四.加速度
设质点在 t 和 t+∆t 时刻的速度分别 r r 为 v(t), v(t + ∆t), 速度改变量为 r r r ∆v = v(t + ∆t) − v(t) 则定义质点的 平均加速度为 r r ∆v a= ∆t z
r F
O
α
r r
r
a
b
做功必须具备两个条件： 必须对物体施加力； 必须使物体在力的作用方向 上发生移动.
a
r r
O
r r′
三. 功率(power)
力在单位时间内对物体所做的功,即 dA r r P= = F ⋅v dt 描述做功的快慢,国际单位制中单位为瓦特(W), 量纲为ML2T−3.
kb pb ka kb ka pb
pa pa
)
八. 动量、冲量、动量定理和 动量守恒定律
动量(momentum)：物体的质量与其运动速 度的乘积,即 r r p = mv 冲量(impulse )：力在确定时间内的积累,即
r t2 r I = ∫ Fdt
t1
动量定理：运动物体所受合外力的冲量等于 物体动量的改变量,即
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思考题与习题一解答
1-1 决定刚体的转动惯量的因素有哪些？
答：刚体的转动惯量与下列因素有关：①质量的大小；②质量的分布情况，即刚体的形状、大小和各部分的密度；③转轴的位置．
1-2 花样滑冰运动员在运动中如何改变自身的旋转速度？
答：花样滑冰运动员，当绕通过重心的铅直轴高速旋转时，冰的摩擦力矩很小可忽略不计，由于外力（重力，支撑力）对轴的矩为零，所以人对转轴的角动量守恒，通过改变自身的转动惯量，来改变角速度．例如，当他在旋转过程中突然把手臂收起来的时候，他的旋转速度就会加快．
1-3 试应用角动量和转动惯量的概念来解释荡秋千的原理．
答：当系统不受外力作用时,总角动量保持不变．当然荡秋千时还受到地心吸引力，但可忽略这一作用力．物体的角动量是物体的转动速度乘以它的转动惯量．物体质量中心越靠近旋转轴, 转动惯量就越小，由于角动量为常数，所以物体的转动速度就会增加．反之，物体的转动速度就会减少．
1-4 形变是怎样定义的?它有哪些形式?
答：物体在外力作用下发生的形状和大小的改变称为形变．形变包括弹性形变和范(塑)性形变两种形式，弹性形变指在一定形变限度内，去掉外力后物体能够完全恢复原状的形变，而范(塑)性形变去掉外力后物体不再能完全恢复原状的形变．
1-5 杨氏模量的物理含义是什么?
答：在长度形变的情况下，在正比极限范围内，拉伸应力与拉伸应变之比或压应力与压应变之比，称为杨氏模量．杨氏模量反映物体发生长度形变的难易程度，杨氏模量越大，物体越不容易发生长度变形．
1-6 动物骨骼有些是空心的，从力学角度分析它有什么意义?
答：骨骼受到使其轴线发生弯曲的载荷作用时，将发生弯曲效应．所产生的应力大小与至中心轴的距离成正比，距轴越远，应力越大．中心层附近各层的应变和应力都比小，它们对抗弯所起的作用不大．同样，骨骼受到使其沿轴线产生扭曲的荷载作用时，产生的切应力的数值也与该点到中心轴的距离成正比．因此，空心的骨头既可以减轻骨骼的重量，又不会严重影响骨骼的抗弯曲强度和抗扭转性能．
习 题
1-1 当滑冰者转动的角速度原为0ω，转动惯量为0I ，当他收拢双臂后，转动惯量减少
1/4，这时他转动的角速度为是多少？他若不收拢双臂，而被另一滑冰者作用，角速度变为02ωω=，则另一滑冰者对他施加力矩所作的功W 是多少？
解：由角动量守恒定律得：ωωI I =00，即 4/3000ωωI I = 得 3/40ωω= 施加力矩所作的功 20020020022
1)2(212121ωωωωI I I I W -=-= 2002
1ωI W =
1-2 一个每分钟78转的电唱机转盘在电动机关掉后逐渐慢下来，并于30s 内停止转动。
求：⑴转盘的角加速度；⑵在这段时间内转过的转数.
解： (1) )s (rad 27.0150π13306078π202π221-⋅≈=⨯=-=-=
t
n t ωαω ⑵ 9π3(30)150
13π212122=⨯⨯==t αθ(rad) 19.52π39π2π===θN (rev) 答：转盘的角加速度为2s rad 27.0-⋅，在这段时间内转过的转数是19.5rev.
1-3 如题1-3图所示，长为l ，质量为m 的均质细长杆，求：(1) 杆件对于过质心C 且与杆的轴线相垂直的Z 轴的转动惯量；(2) 杆件对于过杆端A 且与Z 轴平行的Z 1轴的转动惯量．
解：设杆的线密度(单位长度的质量)为ρl ，则ρl =m /l 。
现取杆上一微段d x ，如题1-3图
（1）所示，其质量为d m =ρ1d x ，则杆件对于Z 轴的转动惯量为
222222212
1ml dx l m x dm x I l l l l
Z ===⎰⎰-- 同样，如题1-3图（2）所示，则杆件对于Z 1轴的转动惯量为
202023
11ml dx l m x dm x I l l Z ===⎰⎰
题1-3图
1-4如题1-4图所示，求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量．轴与圆环平面垂直并通过圆心O ．
解：如题1-4图，在环上任取一小线元dl , 其质量为
2
202022mR dl R
m R dm
R I R
m
===⎰⎰ππ
1-5 如题1-5图所示，一飞轮由一直径为30cm ，厚度为2.0cm 的圆盘和两个直径为10cm ，长为8.0cm 的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为
7.8×103kg·m -3，求飞轮对轴的转动惯量．
解：根据转动惯量的叠加性，由匀质圆盘、
圆柱体对惯量公式可得
2
2221121)2
(21)2(212d m d m I I I +⨯=+= 136.0)2
1(1614241=+=
ad Ld πρkg·m 2 1-6如题1-6图所示，水平刚性轻细杆上对称地串着两个质量均为m 的小球．现让细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到ω0时两球开始向杆的两端滑动，此时便撤去外力任杆自行转动（不考虑转轴和空气的摩擦）．
（1） 此后过程中球、杆系统 （ ）守恒
（A ）动能和动量 （B ）动能和角动量
（C ）只有动量 （D ）只有角动量．
（2) 当两球都滑至杆端时系统的角速度为（ ）
（A ）ω0 （B ）2ω0 （C ）0.16ω0 （D ）0.5ω0
题1-5图
题1-6图
dl R
m dm π2
=
解：（1）系统（杆、球）受摩擦力、轴力等作用，动量、能量不守恒．系统所受合外力矩为零，角动量守恒．小球向杆的两端滑动，摩擦力矩做功，动能不守恒．
因此，选（D ）．
（2）设两球都滑至杆端时系统的角速度为ω,由系统角动量守恒：
杆杆）（）（L L m L m L md md ++=++ωω]2
2[)(22022 得 016.0ωω=
因此，选（C ）．
1-7 如果某人的一条腿骨长0.6m ，平均横截面积为3㎝2．站立时，两腿支持整个人体重为800N ，问此人每条腿骨要缩短多少?（骨的杨氏模量为1010N·m -2）．
解：根据杨氏模量的定义
L
S F L Y ∆=0 得 5104010810103)2800(
6.0--⨯=⨯⨯⨯==∆SY F L L m 即此人每条腿骨要缩短5
108-⨯m ．
1-8 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹性蛋白，其杨氏模量接近于橡皮．今有一截面积为30cm 2的弹跳蛋白，加270N 的力后长度为原长的1.5倍，求其杨氏模量．
解：根据杨氏模量的定义 L
S F L Y ∆=0 因为加力后长度为原长的1.5倍，则
21
5.11000=-=-=∆L L L L L 得 540108.110302702⨯=⨯⨯=∆=
-L S F L Y N·m -2
1-9 若使水的体积缩小0.1%，需加多大的压强？此压强是大气压（1.01×105N·m -2）的多少倍(水的压缩率为50×10-6atm -1)?
解：由压缩率与体变模量的关系 K 1=
κ 得 4610210
501⨯=⨯=-κatm
9102⨯=N·m -2
又 θ=0.1%=10-3，则需加的压强为 63910210102⨯=⨯⨯=-=-θK p N·m -2 它为大气压的20倍．
1-10 在边长为0.02m 的正方体的两个相对面上，各施加大小相等、方向相反的切向力
9.8×102N ，施加力后两面的相对位移为0.00lm ，求该物体的切变模量．
解：由 x
S Fd S F G ∆===ϕγτ/ 得 72109.4001
.002.002.002.0108.9⨯=⨯⨯⨯⨯=G N·m -2。