七年级上册数学同步培优：第4讲 有理数的混合运算--提高班

第4讲 有理数的混合运算
知识点1 常规计算
有理数混合运算的运算顺序： 1、 先乘方，再乘除，最后加减； 2、 同级运算，从左到右进行；
3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【典例】
1.计算：（1）（﹣1）3﹣1
4×[2﹣（﹣3）2]； （2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×1
3；
（3）−18
×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×3
4
+1|.
【方法总结】
根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 注意：绝对值符号有括号的作用.
【随堂练习】
1．（2017秋•海珠区期末）计算： （1）|﹣12|﹣（﹣6）+5﹣10 （2）﹣12×5+（﹣2）3÷4．
⎧⎧⎪⎨
⎩⎪⎪
⎧⎨⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎩⎩
常规计算计算规律型有理数的混合运算实际应用应用流程图新定义
2．（2017秋•邗江区期末）计算
（1）﹣13﹣5+8 （2）（﹣6）÷2×（﹣） （3）（
）×45
（4）（﹣1）2013﹣（1﹣）÷3×|3﹣（﹣3）2|
3．（2017秋•苍溪县期末）计算： （1）﹣12018+18÷（﹣3）×|﹣| （2）18×
+22×（﹣
）﹣4×（﹣
）
知识点2 运算律、规律计算
有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.
【典例】
1.计算：
（1）﹣14﹣（2
3﹣34+1
6）×24； （2）7
22×（﹣5）+（﹣7
22）×9﹣7
22×8； （3）|4﹣41
2
|+（−1
2
+2
3
−1
6
）÷
112
−22﹣（+5）．
【方法总结】
本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键． 2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题． 1+3=4=22; 1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;
（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；
（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.
【方法总结】
通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．
本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
【随堂练习】
1．（2017秋•前郭县期末）观察下列各式：
，，，…
（1）根据以上式子的特点完成下列各题：
①=﹣；②=﹣（n是正整数）．
（2）计算：
（3）计算：．
2．（2017秋•甘井子区期末）（1）填空：﹣×（1×2×3﹣0×1×2）=_____
﹣×（2×3×4﹣1×2×3）=___
﹣×（3×4×5﹣2×3×4）=_____
（2）请按以上规律，写出一个新的算式并求出结果
（3）请从以下两个问题中任选一个解答，选择①解答正确的4分，选择②解答正确得2分
①﹣1×2+（﹣2）×3+（﹣3）×4+…+（﹣n）×（n+1）=____（用含有n的式子表示）
②﹣×（1×2×3﹣0×1×2）+（﹣）×（2×3×4﹣1×2×3）+…+（﹣）×（7×8×9﹣6×7×8）=_____．
3．（2017秋•宜春期末）探索规律，观察下面算式，解答问题：
第1个等式：1=12；
第2个等式：1+3=22；
第3个等式：1+3+5=32；
第4个等式：1+3+5+7=42；
……
（1）按以上规律列出第5个等式_______；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）=_____；（n为正整数）；
（3）请用上述规律计算：61+63+65+…+197+199．
知识点3 求代数式的值
重要结论：
互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；
最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；
【典例】
1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．
【方法总结】
首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.
【随堂练习】
1．（2017秋•天水期中）已知：有理数m绝对值为2，a、b互为相反数，且都不为零，c、d互为倒数．
求：2a+2b+（﹣3cd）﹣m的值．
2．（2017秋•沿河县校级期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于4，求：3cd﹣|a+b|﹣4x的值．
3．（2017秋•港南区期中）已知a+b=0，且a，b均不等于零，c，d互为倒数，且|x|=0.3，求：+c•d+x2的值．
4．（2017秋•洛宁县期中）a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，
试求x3﹣（a+b+cd）x2+（a+b）2017x+（﹣cd）2017的值．
知识点4 实际应用
利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意,找出数量关系；
2. 列：根据所找的数量关系列出算式；
3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；
4. 答：给出题目要求的答案.
【典例】
1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；
（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．【方法总结】
（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都
相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．
本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2017秋•利辛县期中）10袋大米的称重记录如下表所示（单位：kg），求10袋大米的总质量．
47504651
每袋大米的质量
（kg）
袋数3214
小明的计算过程：10袋大米的总质量为47×3+50×2+46×1+51×4=…
（1）请你将小明的计算过程补充完整；
（2）若每袋大米的标准质量是50kg，请运用正负数的相关知识求这10袋大米的总质量；
（3）结合（2）中的计算说明：与10袋标准质量的大米相比，这10袋大米总计超过多少千克或不足多少千克？
2．（2017秋•洱源县校级期中）某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
﹣34﹣12﹣5
进出数量
（单位：吨）
进出次数21332（1）这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？请说明理由；
（2）根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨冷冻食品费用500元，运出每吨冷冻食品费用800元；
方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是600元；
从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
知识点5 流程图计算
初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.
箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.
【典例】
1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.
【方法总结】
此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.
注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.
【随堂练习】
1．（2017秋•婺源县期末）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣3
时，则输出的数值为____．
2．（2017秋•市南区期末）根据如图所示的程序计算，若输出的数为﹣2，则输入的数应为______．
知识点6 新定义
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.
解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
【典例】
1.阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；
（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；
（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：
两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．
特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【方法总结】
（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．
（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈（b❈c））即可．
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．
【随堂练习】
1．（2017秋•上杭县期中）若“*”是一种新的运算符号，并且规定a*b=．例
如：3*5=，求[2*（﹣2）]*（﹣3）的值．
2．（2016秋•蔚县期末）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b=a2+ab﹣5，例如：1#2=12+1×2﹣5=﹣2．
求：（1）（﹣3）#6的值；
（2）[2#（﹣）]﹣[（﹣5）#9]的值．
3．（2016秋•泰兴市期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2﹣2ab+a．如：1☆3=1×32﹣2×1×3+1=4．
（1）求（﹣2）☆5的值；
（2）若☆3=8，求a的值；
（3）若m=2☆x，n=（1﹣x）☆3（其中x为有理数），试比较大小m____n（填“＞”、“＜”或“=”）．
综合集训
1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．
2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x 的值为___________．
3.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则m ﹣cd+a+b m
值为_________.
4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣1
3）；
（2）（−56+23）÷（﹣712）×7
2；
（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷1
7×[2﹣（﹣3）2]；
（4）
(−2)3−13÷[−(−1
2
)2]
0.125×8+[1−32×(−2)]
.
5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：1
1×2=1﹣1
2，1
2×3=1
2﹣1
3，1
3×4=1
3﹣1
4，1
4×5=1
4﹣1
5，…… 那么：
（1）1
2016×2017=_________；
（2）用含有n （n 为正整数）的式子表示你发现的规律__________； （3）计算：1
1×2+1
2×3+1
3×4+ (1)
2017×2018．
6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；… （1）请写出第5条等式；
（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？ （3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．
7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居
民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由． 8.【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③
，读作“2的圈3次方”，
（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④
，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把
（a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”． 【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③
=_______，（﹣12
）⑤
=_______；
（2）关于除方，下列说法错误的是_______，
【选项A 】任何非零数的圈2次方都等于1； 【选项B 】对于任何正整数n ，1ⓝ=1； 【选项C 】3④
=4③
；
【选项D 】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
n a a a a a
÷÷÷÷L 1442443个相除
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． （﹣3）④
=_____________； 5⑥
=_________；（﹣1
2）⑩
=_________________．
（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于_____________________； （3）算一算：122÷（﹣13
）④
×（﹣2）⑤
﹣（﹣13
）⑥
÷33．。