湖南省娄底市高二数学上学期期中试题-人教版高二全册数学试题

某某省某某市2020-2021学年高二数学上学期期中试题
总分：150分 时量：120分钟
一、单项选择（每小题5分，共40分） 1、已知全集
，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()U C A B 为（ ）
A ．{}1,2,4
B ．{}4
C ．{}0,2,4
D ．{}0,2,3,4
2、2018︒是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
3、在新高考改革中,一名高一学生在确定选修物理的情况下,想从政治,地理,生物,化学中再选两科学习,则所选两科中一定有地理的概率是（ ）
A ．
1
6
B ．
1
4
C ．
1
3
D ．
12
4、已知椭圆2
2
1x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =( ) A 2
B ．2
C ．
1
4
D ．4 5、设向量(),1a m =，()1,2b =，且2
2
2
a b a b +=+，则m =（ ）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2-
6、设2,73,62a b c =
==,,a b c 的大小关系为（ ）
． A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
7、已知函数1()x f x a =，2()a
f x x =，3()lo
g a f x x =（其中0a >且1a ≠），在同一坐标
系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（ ）
8、在数列{ n a }中，已知12a =，1
122
n n n a a a --=
+，(2)n ≥，则n a 等于( )
A ．2
1
n + B ．
2
n
C ．
3
n
D ．
31
n +
二、多项选择题（每小题5分，共20分；少答计3分，多答或答错计0分） 9、给出下列四个关系式，其中不正确的是（ ）．
A ．1
sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=
+-- B ．1
sin cos [sin()sin()]2
αβαβαβ=++-
C ．1cos cos [cos()cos()]2
αβαβαβ=-+--
D ．
1
cos sin [sin()sin()]2
αβαβαβ=+-- 10、设,x y R +∈，S x y =+，P xy =，以下四个命题中正确的是（ ）． A ．若P 为定值m ，则S 有最大值m B ．若S P ，则P 有最大值 4
C ．若S
P ，则S 有最小值4
D ．若2S kP ≥总成立，则k 的取值X 围为4k ≤
11、已知双曲线C 的标准方程为22
14
y x -=，则（ ）
A ．双曲线C 的离心率等于半焦距
B ．双曲线2
2
14
x y -=与双曲线C 有相同的渐近线
C ．双曲线C 的一条渐近线被圆22
(1)1x y -+=截得的弦长为
45
5
D ．直线y kx b =+与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2
12、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且1
2
EF =，则下列结论中正确的是（ ）
A ．线段11
B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCD
C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等
D ．三棱锥A-BEF 的体积为定值 三、填空题（每小题5分，共20分）
13、命题:p “2340x x --=”，命题:q “4x =”，则p 是q 的________条件.
14、双曲线22
124
x y -=的渐近线方程为_______.
15、若a ，{}1,1,2b ∈-，则函数()2
2f ax x b x =++有零点的概率为__________.
16、已知数列{}n a 的前n 项和S n ＝2a n －1(n ∈N)，设b n ＝1＋log 2a n ，则数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前
n 项和T n ＝________．
四、解答题（第17题10，其余12分每题，共70分） 17、已知向量2(3sin
,1),(cos ,cos )222
x x x
m n ==.记()f x m n =⋅. (1)求()f x 的最小正周期及单调增区间；
(2)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c 若()1,27,sin 2sin f C c A B ===，
求,a b
的值.
18、在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列.已知11a =，
32214352,S S a a a b b -=+=+，__________.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T .
19、如图已知四棱锥A-BCC 1B 1底面为矩形，侧面ABC 为等边三角形，且矩形BCC 1B 1与三角形ABC 所在的平面互相垂直，BC=4，BB 1=2，D 为AC 的中点. （1）求证：1AB //平面1DBC ； （2）求点D 到平面ABC 1的距离.
20、已知曲线()()22
:11480C a x a y x ay +++-+=,a R ∈.
(1)当a 取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点. (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值.
21、已知函数()22x
ax b
f x +=+，且5(1)2
f =
，17(2)4f =．
（1）求a ，b 的值． （2）判断()f x 的奇偶性．
（3）试判断函数在(,0]-∞上的单调性，并证明． （4）求函数()f x 的最小值． 22、
点)
M
在椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上，且点M 到椭圆两焦点的距离之和
为
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知动直线()1y k x =+与椭圆C 相交于,A B 两点，若7,03
P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求证：PA PB →→
⋅为
定值
2020年下学期高二期中大联考数学参考答案
一、单项选择 1、【答案】C 2、【答案】C
3、【答案】D
4、【答案】C
5、【答案】D
6、【答案】B
7、【答案】C
8、【答案】B
6 / 14
二、多项选择题
9、【答案】AC 10、【答案】CD 11、【答案】AD 12、【答案】BD 三、填空题
13、【答案】必要不充分14、
【答案】y =
15、【答案】23 16、【答案】1
n
n + 四、解答题
17、【答案】(1)2T π=，函数()f x 的单调增区间为2[2,2],33
k k k Z ππ
ππ-+∈；(2)4,2a b ==.
试题分析：（1）利用平面向量的数量积公式求出()f x 的解析式,利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质得出周期，列出不等式解出增区间；(2)根据()1f C =计算C ,由正弦定理得出2a b =,再利用余弦定理列方程求解即可. 详解：由已知，
(
)223sin ,1cos ,cos cos cos 2
22222x x x x x x f x m n ⎛
⎫⎛⎫=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
111cos sin 2262x x x π⎛
⎫=
++=++ ⎪⎝
⎭ (1)2T π=，
由复合函数的单调性及正弦函数的单调性， 解22,2
6
2
k x k k z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈
7 / 14
得222,33
k x k k z ππ
ππ-
≤≤+∈， 所以，函数()f x 的单调增区间为22,2,33k k k z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
. (2)由()1sin 162F C C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,得1sin 62C π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭,
76
6
6
C π
π
π<+
<
, 52,6
63
C C π
ππ∴+
=
=, 因为sin 2sin A B =， 根据正弦定理，得2a b =，
由余弦定理，有2222cos c a b
ab C =+-，则
(
2
2222422cos
,23
b b b b π
=+-⨯=， 所以，4,2a b ==. 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式以及三角函数的单调性，属于中档题. 18、【答案】（1）1
,.n n n a b n -=2
=（2）()12 1.n n T n =-⋅+
试题分析：（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.
（2）2n
n n a b n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.
详解：（1）方案一：选条件①：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，
8 / 14
220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，
12n n
a .
设等差数列{}n b 的公差为d ，
435546,2a b b a b b =+=+，11268
31316
b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，
解得111
b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，1
2,n n n a b n -∴==.
方案二：选条件②：设等比数列{}n a 的公比为q ，
132211,2a S S a a =-=+，
220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，
12n n
a .
设等差数列{}n b 的公差为d ，()4353514,4a b b a a b b =++=+，11
268
235b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，
解得111
b d =⎧⎨
=⎩，n b n ∴=，1
2,.n n n a b n -∴==
方案三：选条件③，设等比数列{}n a 的公比为q ，
132211,2a S S a a =-=+，
220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，
12n n
a .
设等差数列{}n b 的公差为d ，
4352423,5a b b b S a b =+=，11268
b d b d +=⎧∴⎨-=⎩，
解得111
b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，1
2,.n n n a b n -∴==
（2）1
2,n n n a b n -==，
1122n n n T a b a b a b ∴=++⋅⋅⋅+()01211222122n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，
9 / 14
()12121222122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，
121
1222
2n n
n T n -∴-=+++⋅⋅⋅+-⨯12221212
n
n n n n n -=-⨯=--⨯-，
()12 1.n n T n ∴=-⋅+
【点睛】
本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19、【答案】（1）证明见解析；（2）
3
2
. 试题分析：（1）连接1B C ，交1BC 于O ，连接OD ，利用已知条件可得1//OD AB ，由线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直得1CC ⊥面ABC ，再利用
11D ABC C ABD V V --=求距离即可.
详解：
（1）证明：连接1B C ，交1BC 于O ，连接OD ，
由矩形11BCC B 可知O 为1BC 的中点，又D 为AC 的中点， 则1//OD AB ，OD ⊂平面1DBC ，1AB ⊄平面1DBC ，
10 / 14
所以1AB //平面1DBC ；
（2）由题意得：面11BCC B ⊥面ABC ，
又11,CC BC CC ⊥⊂面11BCC B ，面11BCC B 面ABC BC =，
所以1CC ⊥面ABC ，
则1CC AC ⊥，
又112,4BB CC AC BC ====，
所以11AC BC ==， 又4AB =， 则1ABC
4=，
所以1
1
4482
ABC S
=⨯⨯=
， 又1
42sin 602ABD
S
=⨯⨯⨯︒=
则1
1
1123
3C ABD ABD V S CC -==⨯= 设点D 到平面ABC 1的距离为h ，
则1
111
3
D ABC ABC C ABD V S h V --===
，
故h =
，
11 / 14
所以点D 到平面ABC 1
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定定理以及利用等体积法求点到面的距离.属于中档题.
20、【答案】(1)1a ≠-时，方程表示圆；(2)证明见解析；(3)14
a = 试题分析：（1）当1a =-时，可知方程表示直线；当1a ≠-，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为()2222480x y x a x y y +-+++=，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以AB 为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果.
详解：(1)当1a =-时，方程为20x y +=表示一条直线
当1a ≠-时，()
222224416111a a x y a a a +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+ ()2
241601a a +>+1a ∴≠-时方程表示圆
(2)方程可变形为：()
2222480x y x a x y y +-+++= a 取任何值，上式都成立22224080
x y x x y y ⎧+-=∴⎨++=⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩或16585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴曲线C 过定点()0,0A ，168,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
即无论a 为何值，曲线C 必过两定点
12 / 14 (3)由(2)曲线C 过定点,A B ，在这些圆中，以AB 为直径的圆的面积最小
∵以AB 为直径的圆的方程为：22
8416555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ()
2228154415
4161651a a a a a ⎧⎪=+⎪⎪⎪∴=⎨+⎪⎪+=⎪+⎪⎩，解得：14a = 【点睛】
本题考查圆的方程、圆过定点以及圆的性质的应用等知识；本题求解圆面积最小的关键是能够根据圆的性质，确定以两定点为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程. 21、【答案】（1）10
a b =-⎧⎨=⎩；（2）()f x 为偶函数；（3）()f x 在(,0]-∞上为减函数，证明见解析；（4）2.
试题分析：（1）由已知条件列方程组解得即可；
（2）由（1）知()f x 的解析式，根据函数奇偶性定义判断即可；
（3）利用函数单调性定义判断即可；
（4）根据函数()f x 的奇偶性和单调性即可得出()0f 为最小值.
详解：解：（1）由已知，得2522217424
a b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩． （2）由（1）可知()22x x
f x -=+．
13 / 14
任取x ∈R ，则()()2222()x x x x f x f x -----=+=+=，
又()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数．
（3）()f x 在(,0]-∞上为减函数，证明如下：
任取12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，则
()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+()121211222
2x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()
1212122222122x x x x x x --=．
因为12,(,0]x x ∈-∞，且12x x <，所以120221x x <<≤，
从而12220x x -<，122210x x -<，12220x x >，
故()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以函数()f x 在(,0]-∞上为减函数．
（4）因为()f x 在(,0]-∞上为减函数，且()f x 为偶函数，所以()f x 在[0,)+∞上是增函数，所以当0x ≥时，()(0)f x f ≥．又因为()f x 在(,0]-∞上为减函数，所以当0
x ≤时，()(0)f x f ≥，从而对于任意的x ∈R ，都有00()(0)222f x f ≥=+=，所以()
f x 的最小值为2.
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式、函数奇偶性判断、函数单调性证明及函数的最值，属于中档题.
22、【答案】（1）22
1553
x y +=（2）49
14 / 14 试题分析：（1）利用椭圆的定义和点在椭圆上进行求解；（2）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积定义进行求解.
试题解析：（1
）222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得22553a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即椭圆的方程为221553x y += （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2211553y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩
得()2222136350k x k x k +++-=． 2122631k x x k +=-+，21223531
k x x k -=+ 112212127777,,3333PA PB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ()
()2221212749139k x x k x x k ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭ 2222316549319
k k k k ---=+++ 49
=。