03 平行线的性质精讲精练(原卷版)-七年级数学寒假学习精编讲义(人教版)

人教版七年级数学寒假学习精编讲义（同步讲练）
新课衔接站03 平行线的性质
1．平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角__________．符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角__________．
符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：
2．命题
（1）定义：判断一件事情的语句，叫做__________，如：对顶角相等．
（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．
3．定理与证明
（1）定理：经过推理证实的真命题叫做__________，定理也可以作为继续推理的依据．（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_________．
考点1：平行线的性质
【典例分析1】（2021秋•长春期末）如图，AB∥CD，∠FGB＝155°，FG平分∠EFD，则∠AEF 的大小为（）
A．25°B．50°C．70°D．77.5°
【思路引导】先根据平行线的性质，得到∠GFD的度数，再根据角平分线的定义求出∠EFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【完整解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD＝180°，∠FGB＝155°，
∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝25°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFD＝2∠GFD＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD＝50°．
故选：B．
【变式1-1】（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）
A．62°B．56°C．28°D．72°
【变式1-2】（2019•菏泽）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是．
【变式1-3】（2014•岳麓区校级自主招生）如图所示，直线l1∥l2∥l3，点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠1＝70°，∠2＝40°，则∠ABC＝．
【变式1-4】（2010•赫山区校级自主招生）如图，已知AB∥CD，∠1＝50°25′，则∠2的大小是．
【变式1-5】（2010•枣庄）如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外形是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1+∠2＝度．
【变式1-6】（2018•南岸区自主招生）如图，AB∥CD，点E、G分别是AB、CD上的点，且∠AEG＝34°，EF⊥EG交CD于点F，求∠EFG的度数．
【变式1-7】（2018•渝北区自主招生）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG 平分∠AEF，∠1＝35°，求∠2的度数．
考点2：平行线的判定与性质
【典例分析2】（2021春•玉屏县期末）如图，已知∠1＝∠2＝32°，∠D＝78°，则∠BCD ＝102°．
【思路引导】根据平行线的判定定理和性质定理即可求解．
【完整解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠D+∠BCD＝180°，
又∵∠D＝78°，
∴∠BCD＝180°﹣78°＝102°，
故答案为：102°．
【变式2-1】（2020秋•平昌县期末）下列说法正确的是（）
①若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD
②相等的角是对顶角
③平行于同一条直线的两条直线平行
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
⑤过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离
A．①③④⑤B．③⑤C．②③④D．③④⑤
【变式2-2】（2021秋•南岗区校级期中）下列说法中正确的有（）个．
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②同一平面内，不相交的两条线段一定平行；
③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
④经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2021春•原州区期末）下列说法：①不相交的两条直线平行；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若直线AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-4】（2021春•兴城市期末）如图，已知，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE ⊥AD．有下列结论：①AD∥BC；②∠ECD＝∠DAC；③∠CEF＝∠CFE；④∠ACE＝∠ABC．其中正确的结论有
（填序号）．
【变式2-5】（2021•昭通模拟）如图，有平面镜A与B，光线由水平方向射来，传播路线为a→b→c，已知平面镜A平行于平面镜B，∠1＝30°，则∠2＝．
【变式2-6】（2018•益阳）如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：AM∥CN．
考点3：命题与定理
【典例分析3】（2021秋•南岗区校级期中）“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．”这个命题是真命题．（填“真”或“假”）【思路引导】利用平行线的判定方法判断后即可确定答案．
【完整解答】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，正确，是真命题，
故答案为：真．
【变式3-1】（2021秋•二道区期末）下列语句中，为真命题的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等
【变式3-2】（2021秋•长春期末）下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补
C．等角的补角相等D．垂线段最短
【变式3-3】（2021秋•九台区期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题．（填“真”或“假”）
【变式3-4】（2021秋•松滋市期中）如图，点C、E、F、B在同一直线上，且CE＝BF，给出下列信息：
①AB＝CD；②∠A＝∠D；③AB∥CD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是，结论是（只要填写序号），并说明理由．（2）在（1）的条件下，若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．
【变式3-5】（2021秋•河北月考）已知，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥ED，∠1与∠2的关系是
证明：
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是．
证明：
（3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是
【变式3-6】（2021春•广陵区校级期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB∥CD，则BC∥AD．请说明理由．
理由如下：
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABE＝∠（）．
∵∠A＝∠C（已知），
∴（）．
∴BC∥AD（）．
（2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例．
【变式3-7】（2021春•遵义期末）阅读材料，解决问题
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）．。