贵州遵义市湄潭县湄江中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷 含解析

2016—2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若全集U={0，1,2,3｝且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（) A．3个B．5个 C．7个 D．8个
2．设数列{a n｝的前n项和S n=n2,则a8的值为（）
A．15 B．16 C．49 D．64
3．如果奇函数f(x）在区间［3，7]上是增函数且最大值为5,那么f （x）在区间[﹣7，﹣3］上是（）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5
4．函数y=sin2xcos2x是（）
A．周期为π的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为π的偶函数
5．若，且,则与的夹角是( ) A．B．C．D．
6．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（) A．B．C． D．
7．△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a+b)2﹣c2=4,且C=60°，则ab的值为（）
A．B．C．1 D．
8．等差数列｛a n}的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( ）
A．90 B．100 C．145 D．190
9．将函数f(x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）
A．y=sinx B．y=sin（4x+）C．y=sin（4x﹣) D．y=sin （x+)
10．若偶函数f（x）在(﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．f(﹣）＜f（﹣1）＜f(2） B．f（﹣1)＜f(﹣）＜f（2) C．f(2)＜f（﹣1)＜f（﹣）D．f（2)＜f(﹣）＜f(﹣1）
11．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为( )
A．2B．8C．D．
12．已知数列｛a n｝为等比数列，且a4•a6=2a5,设等差数列{b n}的前n 项和为S n,若b5=2a5，则S9=（)
A．36 B．32 C．24 D．22
二。

填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若数列{a n}满足:a1=1，a n+1=2a n（n∈N＊），则a5= ;前8项的和S8= ．（用数字作答）
14．函数在区间［]的最小值为．
15．设向量与的夹角为θ，且=（3,3),2﹣=（﹣1，1），则cosθ=．
16．已知△ABC的面积,，则= ．
三。

解答题：（共70分)
17．已知数列｛a n}中，a1=1,a n+1=a n．
（1）写出数列的前5项;
（2）猜想数列的通项公式．
18．在的内角A，B，C的对边分别是a，b,c；若a，b，c成等比数列，且c=2a,求角B的余弦值．
19．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为．20．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且同时满足下列条件：（1）f（x)是奇函数；
(2）f（x）在定义域上单调递减；
（3）f（1﹣a)+f（1﹣a2）＜0．
求a的取值范围．
21．已知向量=（cos，sin)，=（cos，﹣sin），=（,﹣1），其中x∈R．
（1）当时，求x值得集合；
（2）求的最大、最小值．
22．等差数列｛a n}中，a1=3，其前n项和为S n．等比数列{b n｝的各项均为正数，b1=1,且b2+S2=12,a3=b3．
（Ⅰ）求数列｛a n}与{b n}的通项公式;
（Ⅱ)求数列｛｝的前n项和T n．
2016—2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高一（下）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分)
1．若全集U=｛0，1，2，3｝且∁U A=｛2}，则集合A的真子集共有（)
A．3个B．5个 C．7个 D．8个
【考点】16：子集与真子集．
【分析】利用集合中含n个元素,其真子集的个数为2n﹣1个，求出集合的真子集的个数．
【解答】解:∵U={0，1，2，3}且C U A={2}，
∴A={0，1,3｝
∴集合A的真子集共有23﹣1=7
故选C
2．设数列｛a n｝的前n项和S n=n2，则a8的值为（)
A．15 B．16 C．49 D．64
【考点】8H：数列递推式．
【分析】直接根据a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得出结论．
【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，
故选A．
3．如果奇函数f(x）在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)
在区间[﹣7，﹣3]上是（)
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据奇函数的图象关于原点对称,故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．
【解答】解:由于奇函数的图象关于原点对称,故它在对称区间上的单调性不变．
如果奇函数f（x)在区间［3，7]上是增函数且最大值为5,那么f（x）在区间［﹣7，﹣3］上必是增函数且最小值为﹣5,
故选A．
4．函数y=sin2xcos2x是（)
A．周期为π的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为π的偶函数
【考点】GS:二倍角的正弦．
【分析】由倍角公式化简可得解析式y=sin4x，显然是个奇函数，由周期公式可得:T==，从而得解．
【解答】解：∵y=sin2xcos2x=sin4x，显然是个奇函数．
∴由周期公式可得:T==
故选：C．
5．若，且，则与的夹角是（）A．B．C．D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据可得到，进而求出，从而可求出的值，从而得出与的夹角．
【解答】解：；
∴
=
=
=0;
∴；
∴；
又；
∴的夹角为．
故选B．
6．在△ABC中，B=45°，C=60°,c=1，则最短边的边长是（）A．B．C． D．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由B=45°，C=60°可得A=75°从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b，利用正弦定理求b即可
【解答】解:由B=45°，C=60°可得A=75°，
∵B角最小，∴最短边是b，
由=可得，b===，
故选A．
7．△ABC的内角A,B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）
A．B．C．1 D．
【考点】HR:余弦定理．
【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=(a+b)2﹣4=a2+b2+2ab﹣4,又C=60°,再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b)2﹣c2=4，
∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，
又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴2ab﹣4=﹣ab，
∴ab=．
故选：A．
8．等差数列{a n｝的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是（）
A．90 B．100 C．145 D．190
【考点】85:等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解:设等差数列｛a n}的公差d≠0,∵a2是a1和a5的等比中项，∴=a1•a5，∴（1+d）2=1×（1+4d）,解得d=2．
则数列的前10项之和=10+×2=100．
故选：B．
9．将函数f(x）=sin(2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐
标压缩到原来的,则所得到的图象的解析式为（）
A．y=sinx B．y=sin(4x+）C．y=sin（4x﹣) D．y=sin（x+）【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的,即可求出．
【解答】解：将函数f（x)=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2［（x+）﹣）］=sin(2x+）,再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin(4x+）,
故选:B．
10．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）
A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1)＜f（﹣)＜f（2）C．f（2)＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1)【考点】3N:奇偶性与单调性的综合．
【分析】题目中条件：“f（x）为偶函数,"说明：“f（﹣x）=f（x）”,将不在(﹣∞，﹣1]上的数值转化成区间(﹣∞，﹣1］上,再结合f（x)在(﹣∞，﹣1]上是增函数，即可进行判断．
【解答】解：∵f(x)是偶函数，
∴f(﹣）=f（)，f（﹣1)=f(1），f（﹣2）=f(2）,
又f(x）在（﹣∞，﹣1］上是增函数，
∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1)
即f（2）＜f（﹣)＜f（﹣1）
故选D．
11．已知圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为（）
A．2B．8C．D．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】先根据正弦定理求得sinC=代入三角形面积公式根据abc 的值求得答案．
【解答】解：∵=2R=8，
∴sinC=，
∴S△ABC=absinC=abc=×16=．
故选C
12．已知数列｛a n｝为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列｛b n｝的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=( )
A．36 B．32 C．24 D．22
【考点】85：等差数列的前n项和；88:等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可知，,结合已知可求a5，进而可求b5，代入等差数列的求和公式S9==9b5可求
【解答】解：由等比数列的性质可知，
∴
∴a5=2
∴b5=2a5=4
则S9==9b5=36
故选A
二。

填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若数列{a n｝满足:a1=1,a n+1=2a n（n∈N*），则a5= 16 ；前8项的和S8= 255 ．（用数字作答）
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】先根据a1=1,a n+1=2a n通过分别求出a1，a2，a3，a4，a5；通过a n+1=2a n可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8．【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4,a4=2a3=8,a5=2a4=16，
∵a n+1=2a n，即=2
∴数列｛a n｝为等比数列，首项为1，公比为2．
∴，
∴故答案为：16,255．
14．函数在区间[］的最小值为 1 ．
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】遇到三角函数性质问题,首先要把所给的函数式变换为y=Asin（ωx+φ)的形式，本题变化时用到两角和的正弦公式，当自变量取值为【0，】时,做出括号内的变量的取值,得出结果．【解答】解：y=sinx+cosx
=2（sinx+cosx）
=2sin（x+），
∵，
∴，
∴，
∴最小值为1，
故答案为：1．
15．设向量与的夹角为θ,且=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ= 3 ．
【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角．
【分析】设,由=（﹣1,1）可求，代入可求cosθ，进而可求
【解答】解:设
∵=（﹣1，1）
∴
∴
∴，
∴═×=
∴=3
故答案为：3
16．已知△ABC的面积，，则= 2 ．
【考点】HP:正弦定理；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由三角形的面积公式S△ABC==可求,由向量的数量积的定义可求
【解答】解：∵S△ABC==
∴=4
∴==2
故答案为：2
三.解答题：（共70分）
17．已知数列｛a n｝中,a1=1，a n+1=a n．
（1)写出数列的前5项；
(2）猜想数列的通项公式．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】(1）数列{a n｝中，由a1=1，a n+1=a n，分别令n=1，2,3，4,能够依次求出a2，a3,a4，a5．
（2）由数列的前5项，猜想．再用数学归纳法证明．
【解答】解：（1)∵数列{a n｝中，a1=1，a n+1=a n，
∴a2==，
a3==，
a4==，
a5==．
（2)由数列的前5项，猜想．
用数学归纳法证明:
①当n=1时，=1，成立；
②假设n=k时，等式成立,即,
当n=k+1时，a k+1=×=，也成立．
故．
18．在的内角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a,b，c成等比数
列，且c=2a，求角B的余弦值．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】根据a，b，c成等比数列，可得b2=ac，c=2a．由余弦定理即可得解．
【解答】解：由题意，a,b,c成等比数列,
∴b2=ac，
∵c=2a,
得：b2=2a2,即．
由余弦定理：cosB=,
可得：cosB=．
∴角B的余弦值为:．
19．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状为等腰三角形．
【考点】GZ：三角形的形状判断．
【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．
【解答】解：因为sinA=2sinBcosc,所以sin（B+C）=2sinBcosC，
所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，
因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．
三角形为等腰三角形．
故答案为:等腰三角形．
20．已知函数f（x)的定义域为（﹣1，1）,且同时满足下列条件：
（1）f（x）是奇函数；
（2）f（x）在定义域上单调递减；
（3）f（1﹣a）+f(1﹣a2）＜0．
求a的取值范围．
【考点】3K：函数奇偶性的判断;3E：函数单调性的判断与证明．【分析】利用函数是奇函数，将不等式f(1﹣a)+f(1﹣a2)＜0转化为f （1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1）,然后利用函数的单调性进行求解．
【解答】解：(1）
(3）由f（1﹣a）+f(1﹣a2）＜0得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2),
∵函数y=f（x)是奇函数，
∴﹣f（1﹣a2)=f（a2﹣1），
即不等式等价为f(1﹣a）＜f(a2﹣1），
∵y=f（x)在定义域（﹣1，1）上是减函数，
∴有，即，
∴,解得0＜a＜1．
故答案为:0＜a＜1．
21．已知向量=（cos，sin），=(cos，﹣sin），=（，﹣1），其中x∈R．
(1）当时，求x值得集合；
（2）求的最大、最小值．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系;93：向量的模．【分析】（1）利用⇔即可得出；
（2）利用向量的三角不等式即可得出．
【解答】解:（1）∵，
∴=cos2x=0，
解得,化为．
∴x值的集合为｛x｜(k∈Z）}；
(2)∵=1，．
∴，
∴．
∴的最大、最小值分别为3，1．
22．等差数列｛a n｝中，a1=3，其前n项和为S n．等比数列｛b n｝的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12,a3=b3．
(Ⅰ）求数列｛a n}与{b n｝的通项公式;
（Ⅱ）求数列{｝的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8F:等差数列的性质．
【分析】（Ⅰ)设{a n｝公差为d,数列｛b n｝的公比为q，由已知可得，由此能求出数列{a n}与｛b n｝的通项公式．
(Ⅱ）由，得，由此利用裂项求和法能求出数列｛｝的前n项和T n．
【解答】解:（Ⅰ）设｛a n｝公差为d，数列{b n}的公比为q，由已知可得，
又q＞0，∴，
∴a n=3+3（n﹣1)=3n,．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a n｝中，a1=3，a n=3n，
∴，
∴,
∴T n=(1﹣）
=
=．
2017年6月17日。