2020年辽宁省铁岭市县凡河中学高三数学理模拟试题含解析

2020年辽宁省铁岭市县凡河中学高三数学理模拟试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，，2a2成等差数列，则等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
D
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】计算题；探究型；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．
【分析】根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，进一步化简计算得到结果．
【解答】解：∵3a1，，2a2成等差数列，∴a3=3a1+2a2，
∴q2﹣2q﹣3=0，
∴q=3，q=﹣1（舍去）．
∴===q2=32=9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解，是基础题．
2. 若为虚数单位，则复数等于（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
D
3. 已知函数，(R)，对于任意的，，
，下面对的值有如下几个结论，其中正确的是
（）
A. 零
B.负数
C.正数
D.非以上答案
参考答案：
B
略
4. （5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）
B
．D
A
依题意得，A=2，=3，
∴T=6，又T=（ω＞0），
∴ω=．
∵f（x）=2sin（x+φ）经过（1，0），且改零点的左侧区间与右侧区间均为单调增区间，
∴×1+φ=0，
∴φ=﹣．
故选A．
5. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
A
把该函数的图象右移个单位，所得图象对应的函数解析式为：，
又所得图象关于轴对称，则，，
∴当时，有最小正值是．
故选．
6. 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A．5πB．C．20πD．4π
参考答案：
A
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离；球．
分析：根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥P﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出
PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积
解答：解：取PC的中点O，连结OA、OB
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC
又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平面PAB内的相交直线
∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB
因此Rt△BPC中，中线OB=PC
∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，
∵Rt△PBA中，AB=，PA=
∴PB=，可得外接球半径R=PB=
∴外接球的表面积S=4πR2=5π
故选A．
点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．
7. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
等于（）
A． B．1 C． D．-1
参考答案：
B
略
8. 设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：
所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据垂径定理求出圆心到直线距离为，再根据点到直线的距离公式可得
，得到，即可求出，根据正弦定理可得
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为
双曲线的渐近线被圆：即所截得的两条弦长之和为，
设圆心到直线的距离为，则
，即，
，
，
根据正弦定理可得
，，
故选
【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，考查了直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，考查了学生的计算能力，属于中档题。

9. 函数满足，若，则
= （）
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题的序号是
__________。

(1)若m∥,n∥,则m∥n； (2)若则；(3)若，且，则；(4)若，，则。

参考答案：
(3)、(4)；
12. 在中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，若，则
A ▲ .
参考答案：
略
13. 已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值
为．
参考答案：
2
考点：抛物线与圆的位置关系.
14. 已知向量是单位向量，向量，若，则,的夹角为__________.参考答案：
【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设所以，
根据题意有：，解得：
当时，
因为所以，的夹角为：。

故答案为：
15. 设函数(e为自然对数的底数），直线是曲线的切线，则的最小值为______.
参考答案：
【分析】
设切点坐标为，利用导数求出曲线的切线方程，可将、
用表示，构造函数，利用导数可求出函数的最小值，即为的最小值.
【详解】设切点坐标为，设曲线在处的切线方程为，
，，
所以，曲线在处的切线方程为，
即，，，则，
构造函数，则，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.
因此，的最小值为，故答案为.
【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是建立函数关系式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16. 已知函数f(x)=在R上是递增，则c的取值范围为__________.
参考答案：
C－1
略
17. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为
为参数．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲
线与的交点的极坐标为．
参考答案：
将C2方程代入C1方程得，
解得t ＝1∴x＝1，y ＝1
故极坐标为
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. .已知命题:函数为定义在上的单调递减函数,实数满足不等式
.命题:当时,方程有解.求使“且”为真命题的实数的取值范围.
参考答案：
对于命题:∵函数为上单调减函数,
实数满足不等式,
∴,解得.
对于命题:当时, ,
.
要使“且”为真命题,则真真,即
解得的取值范围是.
19. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
参考答案：
略
20. 已知函数
（Ⅰ）若上是增函数，求实数的取值范围。

（Ⅱ）若的一个极值点，求上的最大值。

参考答案：
解：（I）
上是增函数
即上恒成立
则必有
（II）依题意，
即
令
得则
当变化时，的变化情况如下表：
在[1，4]上的最大值是
略
21. 设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，
（1）求函数，的解析式；
（2）求的极小值；
参考答案：
解：（1）由已知得，
则，从而，∴………4分∴，。

由得，解得
……………………6分
（2），
求导数得。

…………6分
在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为。

…12分
略
22. （13分）已知直线过椭圆的右焦点，抛物线
的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆于两点,点在直线
上的射影依次为点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点,且,当变化时,证明：
；
（3）连接,试探索当变化时,直线与是否相交于定点?若是,求出定点的坐标,并给出证明；否则，请说明理由。

参考答案：
（1）C：………………3分
（2）易知,,设A(x1,y1),B(x2,y2)
由
………………6分
又由得：，
………………8分
（3）m=0时,得N(,0),猜想:m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(,0),
由（2）知A(x1,y1),B(x2,y2)于是 D(4,y1),E(4,y2)，
先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：
当x=时,
所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上。

即：m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(,0), ………………13分。