1.1数域-笔记

1.1数域
定义
复数集C 的子集F 称为数域，若其满足下列条件：
F 至少包含0和1；
F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍然属于F ； （F 关于通常数的加、减、乘、除运算封闭）
定义
若集合F 中任意两个数作某一运算后的结果仍在F 中，则称F 关于这个运算封闭。

例1、自然数集N 不是数域
整数集Z 不是数域
例2、有理数集Q 、实数集R 、复数集C 均为数域
例3、证明 是数域},|2{)2(Q b a b a Q ∈+=
证明：
）是数域。

（因此，，所以不同时为则若因此2)2(222)2)(2()2)(2(220
2-c 0,c ,02c )
2(2)()2()2)(2()
2(2)()()2()2()
2(2,2)
2(1,0,2011,2000,)2(22Q Q bd
c a
d bc bd c bc ac d c d c d c b a d c b a d d d Q bc ad bd ac d c b a Q d b c a d c b a Q d c b a Q C Q ∈--+--=-+-+=++≠≠+∈+++=++∈±+±=+±+∈++∀∈⋅+=⋅+=⊆ 问题：是数域},|3{)3(Q b a b a Q ∈+=
命题 任一数域必包含有理数域Q
证明： F
Q F b
F b b Z b F Z F n F n N F F ⊆∈∈≠∈⊆∈-∈+++=∈∈故得到由对于因此所以相加）
个因为对于是一个数域，则设a ,a ,0,,a .,n 1(111n ,n 1,0
命题 R 和C 之间不存在任何其他数域
证明：
C F F di R d F i C
di F b
bi i F a bi a i F R b R b a F bi a F R C
F R F =∈+∈∈∈+∈=∈-+=⊆≠∈∈+≠⊆⊆因此所以且因为这样，对于任意进一步因此
且对减法和除法封闭，由于，则存在设是一个数域且满足设c ,,c ,1c ,)(b )0,,(。