普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案

普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答
案
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则
{|0}A B x x =<A B =R {|1}A B x x =>A B =∅如图，正方形ABCD 内的图形
来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
14π812π
4
设有下面四个命题
1:p 若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为
13,p p 14,p p 23,p p 24
,p p
4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足
21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
6.621
(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和
两个
空白框中，可以分别填入 >1000和n =n +1 >1000和n =n +2
≤和n =n +1 ≤和n =n +2
9.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin(2x +
2π
3
)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
6
个单位长度，得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12
个单位长度，得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线C 2
D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2 10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10
11.设xyz 为正数，且235x y z ==，则
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=.
14.设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为.
15.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做
圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

若∠MAN =60°，则C 的离心率为________。

16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为
O 。

D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

学科网
（一）必考题：60分。

17.（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;
（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB 90BAP CDP ∠=∠=90APD ∠=19．（12分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；学科&网
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.9716i i x x ===∑
，0.212s ===，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μ
σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到）．
附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=，≈，
0.09≈．
20.（12分）
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），
P 4（1，
2
）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 21.（12分）
已知函数()f x =ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x. （1） 讨论()f x 的单调性；
（2） 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），直线l 的参
数方程为4,
1,x a t y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）.
（1）若a=-1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a. 23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

已知集合{}{}
131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}
0=<A
B x x B ．A B =R
C ．{}
1=>A
B x x
D ．A
B =∅
A
{}1A x x =<，
{}{}
310x B x x x =<=< ∴
{}
0A
B x x =<，
{}
1A
B x x =<，
选A
如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的
黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
A ．1
4
B ．π8
C ．12
D ．π4
B
设正方形边长为2，则圆半径为1
则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2
π1
π⨯=，图中黑色部分的
概率为π
2
则此点取自黑色部分的概率为ππ248
=
故选B
设有下面四个命题（）
1p ：若复数z 满足1z ∈R
，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =；
4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．
A ．13p p ，
B ．14p p ，
C ．23p p ，
D ．24p p ， B
1:p 设z a bi =+，则22
11a bi
z a bi a b -==∈++R
，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确；
2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；
3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭
复数，故3p 不正确；
4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正
确；
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为
（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 C
45113424a a a d a d +=+++=
6165
6482S a d ⨯=+
=
联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨
+=⎪
⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d
624d =
4d =∴
选C
函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121
f x --≤≤的x 的取值范围是（）
A ．[]22-，
B ．[]11-，
C ．[]04，
D ．[]13，
D
因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减
121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤
故选D
()62111x x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
C.
()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫
+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭
对()6
1x +的2
x 项系数为
2
665
C 152⨯=
=
对
()6
211x x ⋅+的2x 项系数为46C =15，
∴2
x 的系数为151530+= 故选C
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直
角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
B
由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212
S =⨯=全梯
故选B
右面程序框图是为了求出满足321000n
n
->的最小偶数n ，那么在
和
A ．1000A >和1n n =+
B ．1000A >和2n n =+
C ．1000A ≤和1n n =+
D ．1000A ≤和2n n =+
D
因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出 ∴“
”中不能输入A 1000>
排除A 、B
又要求n 为偶数，且n 初始值为0， “”中n 依次加2可保证其为偶
故选D
已知曲线1:cos C y x =，
22π:sin 23C y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲
线向右平移π
6个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲
线向左平移π
12个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲
线向右平移π
6个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲
线向左平移π
12个单位长度，得到曲线2C
D
1:cos C y x =，22π:sin 23⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭C y x 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．
πππcos cos sin 222⎛⎫⎛
⎫==+-=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，
即
1
1
2
πππsin sin2sin2 224⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=+−−−−−−−−−→=+=+
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C上各坐短它原
y x y x x
点横标缩来
2ππ
sin2sin2
33
⎛⎫⎛⎫
−−→=+=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
y x x
．
注意ω的系数，在右平移需将2=
ω提到括号外面，这时
π
4
+
x
平移至
π
3
+
x
，根据“左加右减”原则，“
π
4
+
x
”到“
π
3
+
x
”需加上
π
12，即再向左平移π
12．
已知F为抛物线C：24
y x
=的交点，过F作两条互相垂直1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D，E两点，AB DE
+的最小值为（）
A．16B．14C．12D．10
A
设AB倾斜角为θ．作1
AK垂直准线，2
AK垂直x轴
易知
1
1
cos
22
⎧
⎪⋅+=
⎪⎪
=
⎨
⎪
⎛⎫
⎪=--=
⎪
⎪⎝⎭
⎩
AF GF AK
AK AF
P P
GP P
θ（几何关系）
（抛物线特性）
cos
AF P AF
θ
⋅+=
∴
同理1cos
P
AF
θ
=
-，1cos
P
BF
θ
=
+
∴22
22
1cos sin
P P
AB
θθ
==
-
又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为
π
2
θ
+
2222πcos sin 2P P
DE θθ=
=
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
而24y x =，即2P =．
∴
22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2
2
22
sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=2
41sin 24
=
θ
21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号
即
AB DE
+最小值为16，故选A
设x ，y ，z 为正数，且235x
y z ==，则（）
A ．235x y z <<
B ．523z x y <<
C ．352y z x <<
D ．325y x z <<
D
取对数：ln 2ln3ln5x y ==.
ln33ln 22x y =>
∴23x y > ln2ln5x z = 则
ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<，故选
D
几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来
的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 A
设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此
类推．
设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()
12n n +
由题，100N >，令()
11002n n +>→14n ≥且*
n ∈N ，即N 出现在第13组之后
第n 组的和为1221
12n
n -=--
n 组总共的和为
(
)2122
212
n
n
n n
--=---
若要使前N 项和为2的整数幂，则
()12
n n N +-
项的和21k -应与2n --互为相
反数 即
(
)*21214
k n k n -=+∈N ，≥
()
2log 3k n =+
→295n k ==， 则()291295440
2N ⨯+=+=
故选A
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

已知向量a ，b 的夹角为60︒，
2
a =，
1
b =，则
2a b +=
________．
()
2
2
2
22(2)22cos602a
b a b a a b b
+=+=+⋅⋅⋅︒+22
1
222222=+⨯⨯⨯+444=++12=
∴
212a b +==设x ，y 满足约束条件21
210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为_______．
不等式组
21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域如图所示
2x +y +1=0
由32z x y =-得
322z y x =
-，
求z 的最小值，即求直线322z
y x =
-的纵截距的最大值
当直线
322z
y x =
-过图中点A 时，纵截距最大
由21
21x y x y +=-⎧⎨
+=⎩解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-
已知双曲线2222
:x y C a b
-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为
半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______． 如图，
OA a
=，
AN AM b
==
∵60MAN ∠=︒
，∴
AP =
，
OP
∴
tan AP OP θ==
又∵
tan b
a θ=
b a =，解得2
23a
b =
∴
e =
如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的
中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3
cm ）的最大值为_______．
由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥
3OG BC =
，即OG 的长度与BC 的长度或成正比
设OG x =，则23BC x =，5DG x =-
三棱锥的高22225102510h DG OG x x x x
=
-=-+-=-
21
233332ABC S x x =⋅⋅
=△
则21
325103
ABC V S h x x
=⋅=⋅-△45
=32510x x ⋅-
令
()4
5
2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()34
10050f x x x '=-
令()0f x '>，即4
3
20x x
-<，2x <
则()()280f x f =≤
则38045V ⨯=≤
∴体积最大值为3
415cm
解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为
2
3sin a A ．
（1）求sin sin B C ；
（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．
本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综
合应用.
（1）∵ABC △面积23sin a S A =.且1sin 2S bc A
= ∴21
sin 3sin 2a bc A
A =
∴223
sin 2a bc A
=
∵由正弦定理得223
sin sin sin sin 2A B C A
=，
由sin 0A ≠得
2
sin sin 3B C =
.
（2）由（1）得
2sin sin 3B C =
，1
cos cos 6B C =
∵πA B C ++= ∴
()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=
又∵()0πA ∈，
∴60A =︒，
sin A =
，1cos 2A =
由余弦定理得2
229a b c bc =+-=①
由正弦定理得
sin sin a b B A =
⋅，sin sin a
c C A =⋅
∴2
2sin sin 8
sin a bc B C A =⋅=②
由①②得b c +
∴3a b c ++=+ABC △周长为3+（12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值． （1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=︒ ∴PA AB ⊥，PD CD ⊥
又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥
又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD
（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵AB CD
∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴OE AB
由（1）知，AB ⊥平面PAD
∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直
∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - 设2PA =，∴(
)00
2D -，，、(
)220
B ，，、()002P ，
，、(
)20
2C -，，，
∴
(
)022
PD =--，，、(
)222
PB =-，，、()2
200
BC =-，，
设()
n x
y z =,,为平面PBC 的法向量
由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2220
220x y z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩
令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(
)012
n =,,
∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥
又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A =
∴PD ⊥平面PAB
即PD 是平面PAB
的一个法向量，
(
0PD =-,,
∴
cos 23
PD n PD n PD n
⋅=
=
=⋅,
由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为（12分）
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上
随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()
2N μσ，．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
()33μσμσ-+，之外的零件数，求()1P X ≥及X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()33μσμσ-+，之外的零件，
就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（I ）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
（II ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.05
9.95
经计算得16
1
9.97i i x x ===∑，0.212s =≈，其中i x 为抽
取的第i 个零件的尺寸，1216i =，，，．
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除()ˆˆˆˆ33μσμσ-+，之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到
0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布()
2N μσ，,则()330.9974
P Z μσμσ-<<+=．
160.99740.9592≈0.09≈．
（1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974，落在
()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．
()()0
16160C 10.99740.99740.9592
P X ==-≈
()()11010.95920.0408
P X P X ≥=-=≈-=
由题可知()~160.0026X B ， ()160.00260.0416
E X ∴=⨯=
（2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026，
由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+，之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理． （ii ）
39.9730.2129.334μσ-=-⨯= 39.9730.21210.606μσ+=+⨯=
()()339.33410.606μσμσ-+=，，
()9.229.33410.606∉，，∴需对当天的生产过程检查．
因此剔除9.22
剔除数据之后：
9.97169.22
10.02
15μ⨯-=
=．
()()()()()
()()()()()
()()()()()22222
222222
2
2
2
2
2
[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.029.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.021
10.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]15
0.0σ=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⨯≈08
0.09σ∴=
≈
（12分）
已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，
，
31P ⎛- ⎝⎭
，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． （1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P
又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点
将
(
)23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得
2221131
41b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =
∴椭圆C 的方程为：2
21
4x y +=．
（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，
22112
1A A P A P B y y k k m m m ----+=
+==-
得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶
()()
1122A x y B x y ，，，
联立2
2440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()
222148440k x kbx b +++-=
122
814kb
x x k -+=
+，
212244
14b x x k -⋅=
+ 则
221212
11P A P B y y k k x x --+=
+()()212121
12x kx b x x kx b x x x +-++-=
222
228888144414kb k kb kb
k b k --++=
-+
()()()
811411k b b b -=
=-+-，
又1b ≠
21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．
∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =-
所以l 过定点()21-，． （12分） 已知函数
()()2e 2e x x f x a a x
=+--．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． （1）由于()()2e 2e x x f x a a x
=+--
故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+
①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．
()
f x 在R 上单调递减
②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．
综上，当0a ≤时，在R 上单调递减；
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增
（2）由（1）知，
当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满
足条件． 当0a >时，()min 1
ln 1ln f f a a a =-=-
+．
令()1
1ln g a a a =-+．
令
()()11ln 0g a a a a =-
+>，则()211'0g a a a =+>．从而()g a 在()0+∞，上单
调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当
1a >时()0g a > 若1a >，则
()min 1
1ln 0f a g a a =-
+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零
点，不满足条件． 若1a =，则min 1
1ln 0f a a =-
+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不
满足条件．
若01a <<，则
min 1
1ln 0f a a =-
+<，注意到
ln 0a ->．
()22110e e e a a f -=
++->．
故
()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a
a a ⎛⎫
->=- ⎪⎝⎭．
且
33ln 1ln 133ln(1)e e
2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
故
()f x 在
3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上
至多两个实根．
又()f x 在()1ln a --，及
3ln ln 1a a ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．
综上，01a <<．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参考方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
3cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩，，
（θ为参数），直
线l 的参数方程为41x a t y t =+⎧⎨
=-⎩，，（t 为参数）．
（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l
a ．
（1）1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=．
曲线C 的标准方程是2
21
9x y +=，
联立方程2
243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪
⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩， 则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
（2）直线l 一般式方程是440x y a +--=．
设曲线C 上点()3cos sin p θθ，．
则P 到l
距离
d =
=
，其中
3
tan 4
ϕ=
．
依题意得：max d =16a =-或8a = [选修4-5：不等式选讲] 已知函数
()()2411
f x x ax
g x x x =-++=++-，．
（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]11-，，求a 的取值范围． （1）当1a =时，()2
4
f x x
x =-++，是开口向下，对称轴
1
2
x =
的二次函数．
()2111211
21x x g x x x x x >⎧⎪
=++-=-⎨⎪-<-⎩
，，≤x ≤，，
当(1,)x ∈+∞时，令2
42x x x
-++=，解得x =
()g x 在()1+∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时
()()f x
g x ≥解集为1⎛ ⎝⎦．
当[]11x ∈-，时，()2g x =，()()12f x f -=≥．
当()1x ∈-∞-，时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且
()()112
g f -=-=． 综上所述，
()()f
x g x ≥解集1⎡-⎢⎣
⎦．
（2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-，恒成立．
即220x ax --≤在[]11-，恒成立．
则只须()()2
2
11201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a -≤≤．
故a 取值范围是[]11-，．。