九台区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

九台区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）
A ．①②
B ．①
C ．③④
D ．①②③④
2． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（e ﹣1，1）
C ．（0，e ﹣1）
D ．（1，e ）
3． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2
()45f x x x =-+[]0,m m A ．
B ．
C ．
D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]0,24． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（
）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
5． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）
A ．80
B ．40
C ．60
D ．20
6． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A ．20种
B ．24种
C ．26种
D ．30种　7． 不等式恒成立的条件是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＜2
C ．m ＜0或m ＞2
D ．0＜m ＜28． 如图可能是下列哪个函数的图象（
）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．
y=C ．y=（x 2﹣2x ）e x D ．y=
9． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）
B ．D ．上是减函数，那么b+c （
）
A ．有最大值
B ．有最大值﹣
C ．有最小值
D ．有最小值﹣
10．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（
）
A ．4320
B ．2400
C ．2160
D ．1320
11．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a 必过；④在吸烟与
患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人
吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知函数，则（ ）(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
(2016)f -=A ．
B ．
C ．1
D ．
2
e e 1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
二、填空题
13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()2
1ln 2
f x x x =
-14．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．
15．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．　
16．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．17．如果实数满足等式，那么
的最大值是 ．
,x y ()2
2
23x y -+=y
x
18．将曲线向右平移
个单位后得到曲线，若与关于轴对称，则1:C 2sin(),04
y x π
ωω=+>6
π
2C 1C 2C x ω
的最小值为_________.
三、解答题
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥．（1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠= ，求三棱锥1C AA B -的体积．
20．（本小题满分12分）已知向量满足：，，.,a b ||1a = ||6b = ()2a b a ∙-=
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
|2|a b -
21．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D ，E 分别是AC ，BC 边上的中点，M 为CD 的中点，现将△CDE 沿DE 折起，使点A 在平面CDE 内的射影恰好为M ．（I ）求AM 的长；
（Ⅱ）求面DCE 与面BCE 夹角的余弦值．
22．本小题满分10分选修：不等式选讲45-已知函数．2()log (12)f x x x m =++--Ⅰ当时，求函数的定义域；
7=m )(x f Ⅱ若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
x 2)(≥x f R m
23．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．
24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．
九台区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：斜二测画法．
2．【答案】D
【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．
由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，
f′（x）=，x＞0．
∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，
令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）
可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，
g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，
∴x0∈（1，e），g（x0）=0，
∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】
m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4
的右端点为，故的取值范围是.
考点：二次函数图象与性质．
4．【答案】B
【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，
在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
5．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
6．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；
甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；
甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．
故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，
故选：A．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
7．【答案】D
【解析】解：令f（x）=x2+mx+=（x+）2﹣+
则f min（x）=﹣+．
∵恒成立，
∴﹣+＞0
解得0＜m＜2．
故选D．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，是基础题．
8．【答案】C
【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，
∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；
B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，
∴B中的函数不满足条件；
C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；
且y=e x＞0恒成立，
∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；
∴C中的函数满足条件；
D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，
∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．
9． 【答案】B
【解析】解：由f （x ）在上是减函数，知f ′（x ）=3x 2+2bx+c ≤0，x ∈，则
⇒15+2b+2c ≤0⇒b+c ≤﹣．
故选B ．　
10．【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•
=388，
第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣
）•
=932
根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D ．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．　
11．【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 应平均减少5个单位，②错误；对于③，线性回归方程y=bx+a 必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关
系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；综上，其中错误的个数是2．故选：C ．　
12．【答案】B
【解析】，故选B ．
(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==二、填空题
13．【答案】()
0,1
【解析】
14．【答案】 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z==32x+y，
设t=2x+y，
则y=﹣2x+t，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
15．【答案】　必要不充分　
【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，
∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5
∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
16．【答案】　2　．
【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，
又各项为正数，则q=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．
17．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.y x 18．【答案】6
【解析】解析：曲线的解析式为，由与关于轴对2C 2sin[()2sin()6446
y x x ππππ
ωωω=-+=+-1C 2C x 称知，即对一切sin()sin(464x x πππωωω+-=-+1cos()sin()sin()cos()06464x x ππππωωωω⎡⎤++-+=⎢⎥⎣⎦恒成立，∴∴，∴，由得的最小值为6.x R ∈1cos()06sin()06πωπω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(21)
6k πωπ=+6(21),k k Z ω=+∈0ω>ω三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得，再由菱形的性质可得，进而有线面垂直的判1BC AB ⊥11AB A B ⊥定定理可得结论；（2）先证三角形为正三角形，再由于勾股定理求得的值，进而的三角形1A AB AB 1A AB 的面积，又知三棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.
3BC =考
点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.
20．【答案】（1）
；（2）．3π【解析】试题分析：（1）要求向量的夹角，只要求得这两向量的数量积，而由已知，结合数量,a b a b ⋅ ()2a b a ∙-= 积的运算法则可得，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式，把a b ⋅ 22a a =
考点：向量的数量积，向量的夹角与模．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式求得这两个cos ,a b a b a b
⋅<>= 向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在内及余弦值求出两向量的夹角．
[0,]π
21．【答案】解：（I ）由已知可得AM ⊥CD ，又M 为CD 的中点，∴； 3分
（II ）在平面ABED 内，过AD 的中点O 作AD 的垂线OF ，交BE 于F 点，
以OA 为x 轴，OF 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系，可得
，∴，，5分设为面BCE 的法向量，由可得=（1，2，﹣），
∴cos ＜，＞==，∴面DCE 与面BCE
夹角的余弦值为 4
分
22．【答案】
【解析】Ⅰ当时，函数的定义域即为不等式的解集.[来 由
于7m =)(x f 1270x x ++-->，或，
1
(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩12
(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩ 或. 所以，无解，或.
2
(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩3x <-4x > 综上，函数的定义域为)(x f (,3)(4,)-∞-+∞ Ⅱ若使的解集是，则只需恒成立.
2)(≥x f R min (124)m x x ≤++--由于
124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=- 所以的取值范围是.
m (,1]-∞-23．【答案】
【解析】解：（1）令x 1=x 2＞0，
代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．
由f（）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，
所以f（25）=﹣2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．　
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=absinC=a2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，
又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，
解得C=…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．。