江西省2021学年高二数学下学期期末教学质量测试试题 文

江西省2021学年高二数学下学期期末教学质量测试试题 文
注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4． 本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知点A 的极坐标为)2
,
1(π
,若以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴且单位长度相同建立
直角坐标系，则点A 的直角坐标为（▲）
A ．)0,1(
B ．)0,1(-
C ．)1,0(
D ．)1,0(-
2．命题p ：“,0≥∀x 都有1+≥x e x ”，则命题p 的否定为（▲） A ．,0≥∀x 都有1+<x e x
B ．,0<∀x 都有1+≥x e x
C ．,00≥∃x 使100+<x e x
D ．,00<∃x 使100+<x e x
3．已知R b a ∈,，则“b a <”是“b a 22log log <”的（▲）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知命题p ：复数i z -=2的虚部是i -.命题q ：复数i z -=2的模是5．下列命题为真命题的是（▲） A ．q p ∧
B ．q p ∨
C ．q p ⌝∨
D ．q p ⌝∧⌝
5．已知椭圆C 的焦点为)0,(1c F -，)0,(2c F ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心率为
2
2，且211F F PF ⊥，△21F PF 的面积为
2
2
，则椭圆C 的方程为（▲）
A ．1222=+y x
B ．1232
2=+y x
C ．12
422=+y x
D ．14
22
=+y x
6．已知l 为抛物线y x 42
=的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为)1,4(，则|MP |+d 的最小值是（▲） A ．17
B ．4
C ．2
D ．171+
7．已知抛物线C ：px y 22
=（0>p ）上一点M )4,(0x 到焦点F 的距离|MF |＝
04
5
x ，则p ＝（▲） A ．2
B ．4
C ．1
D ．5
8．已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 左右焦点分别为F 1)0,(c -，F 2)0,(c ，若椭圆上一点P
满足PF 2⊥x 轴，且PF 1与圆4
2
2
2
c y x =+相切，则该椭圆的离心率为（▲）
A ．
3
3 B ．
2
1 C ．
2
2 D ．
3
6 9．若函数x
e x a x
f -=ln )(有极值点，则实数a 的取值范围是（▲） A ．),(+∞-e
B ．),1(e
C ．),1(+∞
D ．),0(+∞
10．双曲线C 1：12222=-b y a x 与C 2：122
22=-a
y b x （0>>b a ）的离心率之积为4，则C 1的渐近
线方程是（▲） A ．x y ±= B ．x y 2±=
C ．x y )32(+±=
D ．x y )32(-±=
11．若函数x x kx x f ln 21)(2
-=
在区间（0，e ]上单调递增，则实数k 的取值范围是（▲） A ．]2,(e -∞ B ．]1,(-∞ C ．),1[+∞ D ．),2
[+∞e
12．)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，0)()(<'+x f x x f ，且0)3(=-f ，则不等式
0)(>x f 的解集为（▲）
A ．),3()0,3(+∞-
B ．)3,0()0,3( -
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,0()3,( --∞ 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13．曲线1:2
2
=+y x C 经⎩
⎨⎧='='y y x
x 23坐标变换后所得曲线C '的方程为 ▲ .
14．函数)0(9
)(>+
=x x
x x f 的最小值为 ▲ ． 15．若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}225|{<
<-x x ，则a ＝ ▲ ．
16．已知函数)(x f y =的导函数是)(x f '，且x f x x f ln )1(3)(2
'+=，则曲线)(x f y =在
1=x 处的切线的斜率是 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知p ：实数x 满足不等式)0(0)3)((><--a a x a x ，q ：实数x 满足不等式3|5|<-x ．
（1）当a ＝1时，q p ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数|3||2|)(-++=x x x f ． （1）解不等式7)(≤x f ；
（2）若函数)(x f 最小值为M ，且)0,0(32>>=+b a M b a ，求b
a 31
21+的最小值．
19．（本小题满分12分）在极坐标系中，圆 C:)6
sin(4π
θρ+
=．在以极点为原点，以极轴
为x 轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2332
12（t
为参数）
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ．且点P )3,2(，求||||PB PA ⋅．
20．（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=． （1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）若对0)(),,0(<+∞∈∀x f x 恒成立，求a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）设O 为坐标原点，椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为54，
离心率为
5
5
2，直线l ：2+=kx y 与C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点),1,0(P 判断⋅是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
22．（本小题满分12分）已知函数)(2)3(ln )(Z k k x k x x x f ∈-+-+=． （1）当k ＝1时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若当x ＞1时，总有0)(>x f ，求k 的最大值．
文科 参考答案 一．选择题
CA CCBBABAADD
二．填空题
149).1322=+y x 6).14 2
2
).15-
1).16- 三．解答题
17．解：由p 得：a ＜x ＜3a ．a ＞0；由q 得2＜x ＜8． (2分) （1）当a ＝1时，p ：1＜x ＜3．p ∧q 为真命题，解得2＜x ＜3．
∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3． (6分) （2）若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎨⎧≤≤8
32a a
，等号不能同时成立，
解得：2≤a ≤．
∴实数a 的取值范围是2≤a ≤． (10分)
18 解：（1）当x ＜﹣2时，﹣x ﹣2﹣x +3≤7，即23-<≤-x ； 当﹣2≤x ≤3时，x +2﹣x +3≤7恒成立； 当x ＞3时，x +2+x ﹣3≤7，得43≤<x ．
故所求不等式的解集为]4,3[-． (6分) （2）因为f （x ）＝|x +2|+|x ﹣3|≥|（x +2）﹣（x ﹣3）|＝5，
若函数f （x ）最小值为M ，且2a +3b ＝M （a ＞0，b ＞0），所以2a +3b ＝5（a ＞0，b ＞0），
则54)32)(3121(513121≥++=+b a b a b a ．当且仅当2a =3b ＝5/2即时取等号． 故
b a 3121+的最小值为5
4
． (12分)
19.解：（1）圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos （θ﹣），
ρ＝2cos θ+2sin θ， ρ2＝2ρcos θ+2
ρsin θ，
∴C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2x ﹣2
y ＝0（或（x ﹣1）2+（y ﹣）2＝4） (5分)
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（2）∵直线l ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2332
12过定点P （2，
），
将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=-=t y t x 233212代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣t ﹣3＝0， ∴△＝1﹣4×（﹣3）＝13＞0，t 1+t 2＝1＞0，t 1•t 2＝﹣3＜0，
∴|PA |.|PB |＝|t 1•t 2| = 3． (12分)
20．解：（1）x
ax
x f -=
'1)(， 当a ≤0时，f '（x ）＞0，
∴f （x ）在（0，+∞）单调递增， (2分) 当a ＞0时，
若x ∈（0，），f '（x ）＞0，f （x ）在（0，）单调递增； 若x ∈（，+∞），f '（x ）＜0，f （x ）在（，+∞）单调递减； 综上，当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增；
当a ＞0时，f （x ）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减． (5分) （2）对∀x ∈（0，+∞），f （x ）＜0恒成立，
⇔对∀x ∈（0，+∞），
x
x
ln ＜a 恒成立， 令h （x ）＝x x ln ，h ′（x ）＝2
ln 1x x
-．
x ∈（0，e ）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， x ∈（e ，+∞）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减．
所以h （x ）max ＝h （e ）＝，所以a ＞． (12分)
21.解：（1）设椭圆的右焦点为F 1，则OM 为△AFF 1的中位线， 所以AF MF AF OM 2
1,211==
，所以5==+a MF OM ， 因为5
5
2=
e ，所以52=c ， 所以5=b ，所以椭圆C 的方程为：15
252
2=+y x ； (4分)
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=15
25222
y x kx y ，消去y 整理得：（1+5k 2）x 2+20kx ﹣5＝0， 所以△＞0，2
2
1221515
,5120k x x k k x x +-=+-=
+， (6分) 4
)(2,
4)(21212212121+++=++=+x x k x x k y y x x k y y (8分)
所以=⋅PB PA 1)(212121++-+y y y y x x ＝4512042
2
-=+--k
k (12分)
22．已知函数f （x ）＝xlnx +（3﹣k ）x +k ﹣2（k ∈Z ）．
（1）当k ＝1时，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若当x ＞1时，总有f （x ）＞0，求k 的最大值．
解：（1）当k ＝1时，f （x ）＝xlnx +2x ﹣1，f ′（x ）＝lnx +3， 则可知，f （1）＝1，f ′（1）＝3，
故切线方程为y ﹣1＝3（x ﹣1）即3x ﹣y ﹣2＝0. (4分)
（2）由x ＞1时，f （x ）＞0恒成立可得xlnx +（3﹣k ）x +k ﹣2＞0在x ＞1时恒成立， 即k ＜在x ＞1时恒成立，
令g （x ）＝
，x ＞1，则
， (6分)
令h （x ）＝x ﹣lnx ﹣2，则h ′（x ）＝x ﹣lnx ﹣2，则h ′（x ）＝＞0在x ＞1
时恒成立，
故h （x ）在（1，+∞）上单调递增，且h （3）＝1﹣ln 3＜0，h （4）＝2﹣ln 4＞0， 所以在（1，+∞）上存在唯一实数x 0∈（3，4），满足h （x 0）＝0即lnx 0＝x 0﹣2，(8分)
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
故g（x）min＝g（x0）＝＝＝2+x0∈（5，6），由k＜在x＞1时恒成立可得，k≤5即整数k的最大值为5． (12分)。