中国传统数学在世界数学史上的地位

中国传统数学在世界数学史上的地位
三、中国传统数学在世界数学史上的地位
（中国数学史概述、2002年第24届国际数学家大会、华罗庚）
人类进入文明社会五千余年来，世界数学中心发生了几次大的转移，在自公元前3-4世纪至14世纪初的一千七八百年间，中国数学是世界领先的，其间有三次大的高潮，之后又有三次不同程度的衰落。

经过一个世纪的努力，我们走出了六百年的低谷，重新成为数学大国，并正在为厕身数学强国的行列而奋斗。

大家知道，2002年8月20日-28日，在北京成功地举行了第24届国际数学家大会。

这是国际数学家大会首次在我国召开，也是第一次在发展中国家召开。

应该说，这是多年来在我国举行的最重要的一次国际学术会议。

世界数学联盟对会议地点的选择非常慎重，都是选择在数学发达的国家和地区。

过去的23次大会，大都在欧美举行，只有一次在日本，日本也是数学相当发达的国家。

因此，第24届国际数学家大会在召开，是国际数学界对我国当前数学发展成就的肯定和高度评价。

可以说，尽管我们的国家还属于第三世界，但是，经过近一个世纪的努力，我国的数学已经走出了近六百年的低谷，重新成为数学大国，并正为厕身于数学强国而奋斗。

我们说，我国数学走出了六百年的低谷。

六百年前，就是14世纪初，元朝中叶以前的情形如何呢？可以毫不夸张地说，这之前，我国数学在世界上领先了一千七八百年，就是说，从公元前3-4世纪至14世纪初，中国是当之无愧的世界数学强国。

第24届国际数学家大会会标
我们从第24届国际数学家大会的会标说起。

大家知道，这是一个正方形，其中有4个一正方形的边长为弦的勾股形，而中心则是以勾股差为边长的小正方形。

这实际上是赵爽《周髀算经注》中的“弘图一”，刘徽《九章算术注》（公元263年）在证明《九章算术》的解勾股形公式时也用到这个图。

这个图产生于什么时候，不得而知。

刘徽注《九章算术》时曾“采其所见”。

稍前于刘徽的赵爽在《周髀算经注》的“勾股圆方图说”中使用这个图的文字叙述大体与刘徽相同，可见它们不是赵爽或刘徽个人的创造，而是数学界的共知。

根据对刘徽《九章算术注》的分析，这个图最迟应该产生于《九章算术》的成书时代，也就是公元前2-3世纪。

这正是中国取代古希腊成为世界数学研究中心的时代。

辉煌的过去-中国数学从战国至14世纪走在世界的前列
人类进入文明社会以来，世界数学研究中心发生了几次大的转移。

众所周知，人类最先进入文明社会的是约公元前31世纪开始的尼罗河流域的古埃及，以及随后约公元前24世纪开始的两河流域的古巴比伦。

数学最先在这两个地区发展起来，尤其是古巴比伦，数学已经相当发达。

它们常于计算，讨论了二次方程及其解法，以及勾股问题。

公元前7世纪，希腊地区进入文明社会，统治者重视数学研究，几何学得到高度发展。

古希腊取代巴比伦成为世界数学研究的中心，已研究空间形式为主，形成了严谨的公理化体系。

尽管希腊数学传统还向后延续了一段时间，应该说，在公元前嗯1-2世纪罗马帝国占领泛希腊地区之后，就衰微了。

随后，欧洲进入了被称为数学上“黑暗的中世纪”。

中国有文字记载的历史相当早，然而夏、商、西周三代和春秋时期没有数学著作传世，其数学发展情形不十分清楚。

从《周髀算经》、《九章算术》以及2000年公布的《算数书》来看，战国时代（公元前475-前221年）数学已经相当发达。

战国数学与古希腊数学东西辉映。

大约在《九章算术》编订时（公元前3-1世纪），中国取代了古希腊，成为世界数学研究的中心。

随后印度、阿拉伯地区的数学也发展起来。

中国传统数学在14世纪初开始衰落，阿拉伯地区却一直繁荣到15-16世纪。

中国、印度、阿拉伯数学都长于计算。

16-17世纪，随古希腊数学著作的发现，以及包括中国数学在内的以计算为中心的东方数学的传入，欧洲数学伴随着文艺复兴，度过了中世纪的黑暗，进入变量数学时代。

从此，数学已经失去了中世纪以前的民族或地区的特色，成为世界的统一的数学。

以上这些事实起码说明三个问题：一是数学发展与社会政治、经济制度、社会思潮有密切的关系。

数学研究的中心往往发育在某种社会政治、经济制度最为发达、典型的国家和地区，并且随着政治变革、经济中心的转移而转移。

古希腊数学与古希腊典型的奴隶制度相对应，中国、印度和阿拉伯地区的数学发展与发达的封建制度相对应，欧美数学则与发达的资本主义制度和集约化的大生产相对应。

学术界经常讨论现代数学家或现代科学没有在中国产生的问题，并且往往从中国数学内部找原因。

这没有抓住问题的根本。

宋元数学创造了许多欧洲17、18甚至19世纪才取得的成果，可以说是超前的。

但是，没有资本主义的生产方式，不发生资产阶级革命，在封建制度下，宋元数学要发展为变量数学是根本不可能的。

一是中国传统数学曾长期在世界上领先。

我们有约1800年间是数学大国，约1600年间是数学强国，成为世界数学研究的中心。

从古埃及算起，人类文明社会不过5000余年。

就是说，在世界文明的长河中，我国大体有三分之一的时间居于世界领先地位。

而且，其他文明都中断过，甚至人种都换过了，而中华尽管有过衰落和低潮，却从未中断过。

强调这一点，不是要妄自尊大，而是要克服妄自菲薄。

同时，我们今天还相对落后，不要怪古人，怪我们的祖先，而是要看看我们今天做的对不对，做得好不好。

从今天做起，从我做起，为我们中国在21世纪成为数学强国做出自己的贡献。

一是中国传统数学对世界数学作出了贡献。

这不仅指中国数学影响了朝鲜、日本、越南以及东南亚地区的数学发展，而且影响了印度、阿拉伯地区的数学，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，为变量数学的产生作出了贡献。

中国数学史学科奠基人钱宝琮（1892-1974）、英国的李约瑟（1900-1995）先后从比较和宏观上论述了这个观点，但是缺乏具体传入的资料。

吴文俊院士从获得的科学技术最高奖中拨出50万元，设立“丝路数学天文基金”，资助青年人研究这个问题，希望有志者加入这一行列。

中国传统数学的三个高潮
人们不禁要问，在中国传统数学发达的1800年间，是不是一直向前发展，没有波折呢？当然不是。

实际上，从中国成为数学大国起，有三次大的高潮，这之后有三次不同程度的衰落。

自远古至春秋时期，数学上最重要的成果就是完成了十进位制计数法，并且创造了算筹。

这是当时世界上最方便的记数制度，最先进的计算工具。

中国传统数学与古希腊数学具有不同的形态，长于计算，具有程序化、机械化的特点，不能不说与此有密不可分的关系。

中国传统数学的第一个高潮发生在战国至西汉时期。

其标志是《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》的成书。

《九章算术》是中国传统数学最重要的经典著作，在分数四则运算、比例和比例分配算法、盈不足算法、开平方法与开立方法、线性方程组解法、正负数加减法则、解勾股形和勾股数组等方面走在了世界的前面。

《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架。

西汉末年至东汉数学发展的情形不很清楚。

总的说来，东汉包括西汉在内，数学上创造性的成果不如战国时期多，抽象思维能力不如战国时期强，则是无疑的。

中国传统数学的第二个高潮发生在魏晋南北朝时期。

其标志是刘徽的《九章算术注》（公元263年）和祖冲之（429-500）的数学成就。

受当时雄辩之风的影响，刘徽以演绎逻辑为主要方法全面证明了《九章算术》的公式解法，奠定了中国传统数学的理论基础。

刘徽在圆面积公式和刘徽原理的证明中,在世界数学史上首次将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明；中国首创了求圆周率精确近似值的科学方法，在开方不尽时提出用“徽数”即十进分数逼近无理数根的方法，奠定了中国圆周率计算领先世界千余年的基础；“刘徽原理”将多面体体积理论建立在无穷小分割基础之上，实际上开始探讨希尔伯特第三问题（1900年）所考虑的问题。

祖冲之则将圆周率精确到8位有效数字，并提出密率355/113，领先世界千年左右。

他的儿子祖庚暅之还在刘徽的基础上，提出了祖暅之原理，彻底解决了球体问题。

他的《缀术》应该是比刘徽的《九章算术注》更高深的著作，可惜已经失传，内容不得而知。

这一时期还编了《孙子算经》、《张丘建算经》，提出了一次同余式解法，百鸡术等新的研究方向。

隋唐设算学馆，唐初李淳风等整理十部算经（后称《算经十书》）作为教材，是个贡献。

然而，隋唐数学不仅落后于南北朝，除历法制定中的内插法外，几无创造。

对《缀术》，“学官莫能究其深奥，是故废而不理”，造成失传的悲剧。

中国传统数学的第三个高潮发生在宋元时期。

主要有两个方面。

第一个方向是高深数学的研究。

许多著作已经失传，现存重要的有：北宋贾宪（11世纪上半叶）撰《黄帝九章算经细草》，进一步抽象《九章算术》算法，创造“开方作法本源”即贾宪三角，以及“增乘开方法”，奠定了宋元数学高潮的基础。

南宋秦九韶（约1202-约1261）撰《数书九章》（1247年），提出“大衍总数术”，完善了一次同余式组解法，并把以增乘开方法为主导的高次方程数值解法发展到十分完善的程度。

金元李冶（1192-1279）撰《测圆海镜》（1248年）、《益古演段》（1259年），前者集前此勾股容圆知识之大成，同时完成了设未知数列方程的方法“天元术”。

元朱世杰撰《算学启蒙》（1299年）、《四元玉鉴》（1303年），提出“四元术”即高次方程组解法，并在沈括（1301-1095）、杨辉（13世纪）、王恂（1235-1281）、郭守敬（1231-1316）等的基础上将高阶等差级数求和问题和高次招差法发展到相当完备的程度。

这些成就大多超前其他文化传统几个世纪，有的是欧洲17、18、19世纪的数学大师才解决的。

第二个方向是自唐中叶起随着商业发展的需要，改进筹算的乘除捷算法，最后导致珠算盘的产生，珠算盘在明代终于取代了筹算，完成了计算工具的改革，至今在中国、日本和东南亚地区人们的生产、生活中发挥着有益的作用。

《四元玉鉴》是中国传统数学现存水平最高的著作。

可是，在《四元玉鉴》之后，中国数学一落千丈，出现了明代大数学家看不懂宋元重要数学成就，宋元数学著作失传的可悲局面。

阿拉伯和西方数学超过了中国，我国失去了数学大国的地位。

明末，西方数学传入中国，开始了中西融会贯通的阶段。

清朝从事数学人之多，在中国历史上是空前的，许多人也非常执着，有人甚至考中进士，不去当县太爷，一心研究数学。

可是，西方在17世纪进入变量数学阶段，突飞猛进，我国与西方数学的差距反而越来越大，有明末清初差三四十年，到清末民初相差约二百年。

中国传统数学亦在此时中断。

从20世纪30年代起，特别是解放后，中国数学才开始复兴。

现在，我们可以说，中国已成为数学大国，正在向数学强国迈进。

以上的历史概述起码给我们两点启示“
首先，与世界数学中心的转移一样，中国传统数学的发展与社会政治、经济的变革密切相关。

中国数学的三个高潮，都是出现在封建社会进入新的阶段的时候。

战国是封建制度取代奴隶制度的社会大变革时期，中国数学产生第一个高潮。

汉末魏晋庄园农奴制成为主要的经济形态，封建社会进入了一个新的阶段，中国数学迎来了第二个高潮。

唐末起，社会经济形态发生新的变化，中国封建制度在宋元进入新的阶段，中国筹算数学达到最高峰。

其次，中国传统数学的高潮都不是产生在封建盛世（《九章算术》是西汉编定的，但其主要方法产生于先秦）。

本来，大一统的封建盛世是最有利于数学发展的。

然而，中国的封建盛世儒家思想大都占据统治地位，这一方面禁锢了人们的思想，另一方面将知识分子的才智大都引导到读经入仕上，反而不利于数学的发展。

相反，封建的中央集权被削弱的时候，一方面儒家思想的统治地位一般发生动摇，思想界会有不同程度的解放；另一方面堵塞了知识分子读经入仕的路；知识分子的思想比较自由，能根据自己的兴趣和社会的需要充分发挥自己的才智，抽象思维能力一般比较强，数学的发展，尤其是数学理论的发展反而快一些。

刘徽《九章算术》的出现是一个典型，刘徽深受魏晋辩难之风的影响。

第24届国际数学家大会介绍
2002年8月20日至28日，第二十四届国际数学家大会在北京隆重召开了，这是新世纪第一次，我国也是发展中国家第一次举办的国际数学家的最高盛会。

这次大会有来自101个国家和地区的4270名代表注册，创造了国际数学家大会的历史新高。

这些代表中，1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。

其中，超过52%的参会人员属于发展中国家，与会的华人数学家代表更是规模空前。

应邀作大会一小时报告的华人数学家3人（大会共有20个一小时报告），田刚、萧荫棠、张圣容。

作45分钟邀请报告的达21人，他们分别是李伟光、陈秀雄、龙以明、张伟平、戎小春、丁伟岳、王诗呈、周向宇、葛立明、陈木法、邬似珏、李岩岩、汪徐家、刘太平、洪家兴、刘克锋、辛周平、鄂维南、严加安、郭雷、萧树铁、曲安京。

国际数学家大会历经一百多年历史，从我国第一次派员参加会议以来整整走过了70年。

迄至上次大会，华人数学家一共4次应邀作一小时报告，这次大会就有3位受到邀请；而分组邀请报告（半小时或45分钟）此前一共22个（应邀未出席的7个未计在内），而这次就有21个。

这既表明了华人数学家对本次大会的积极参与，同时也充分显示了他们数学地位的空前提高。

大会名誉主席陈省身先生在开幕式讲话中指出：“我们这个与现代数学起源地西欧有很多不同之处的古老的国度，现在拥有了广阔的领域和大量专门从事数学研究的专家。

数学，现在有了一批公众。

”这是非常值得高兴的。

但与此同时也应看到，在此次大会19个分组中，华人数学家应邀的报告共分布在10个组内，此外尚有：逻辑（5个报告）、代数（8个报告）、数轮（9个报告）、代数几何与复几何（8个报告）、李群与表示论（11个报告）、数值分析与科学计算（7个报告）等9各分组，尚无缘问津。

在提出报告的10个分组中，微分几何组计有6个报告（共有14个），偏微分方程组计有5个报告（共有13个），数学应用组计有4个报告（共有11个），表现了一定的乃至较强的实力，而其他7个分组中提出报告的均只有一人，分别占各该组报告人数的1/9，1/8/，1/6，1/13，1/12以及两个1/3。

在提供上述两类报告的24位数学家中，主要基于我国大陆工作的约占一半左右。

数学大师陈省身先生若干年前提出“中国应成为21世纪的数学大国”的号召，这里的“数学大国”不应只理解为人数众多的国家，更重要的是“数学强国”的意思。

从以上华人数学家参与国际数学家大会的一个侧面，一瞥中国现代数学发展百年的身影，我们在兴奋之余更多感到的是，向着这一目标迈进，我们任重而道远。

当代数学正越来越实现国家化，“国内、国际层面的数学家的交流与合作将是数学发展的清晰道路。

”这次大会在中国召开，必将有力地推动我国数学活动的深入发展。

“这是一棵有非凡的中国数学家精心种下的树，像华罗庚、陈省身、冯康、吴文俊、谷超豪、廖山涛，以及年轻一代的丘成桐和田刚等等。

”
应当指出，应邀在国际数学家大会上作报告是极高的荣誉，但这并不表示所有极好的数学家都一定会受到邀请，而这也并不影响他们的学术地位。

按照惯例，大会之前，2002年8月17日-18日举行了第十四次成员国代表大会（在上海），来自46个国家和地区的110名代表及10名观察员参加了会议。

中国方面出席代表大会的有中国数学会的代表马志明、张恭庆与李大潜院士和位于台北的数学会的代表郑国顺与刘丰哲教授。

李大潜被推选为提名委员会的成员。

会上选举产生了新一届国际数学联盟执行委员会（任期自2003年至2006年）。

中国数学会理事长马志明院士当选为委员，这是我国代表第一次进入该执委会。

北京大学张继平教授入选执委会下属的发展与交流委员会的委员，中国科学院数学研究所李文林研究员入选为国际数学史委员会的委员。

会议决定2006年的第二十五届大会在西班牙的马德里举行。

此外，挪威代表在会上宣布设立国际数学奖——Abel奖。

中国著名数学家华罗庚介绍
华罗庚是他那个时代的领袖数学家之一，也是他那一代人中两个最杰出的中国数学家之一，另一位是陈省身。

他的绝大部分工作时间都是在中国度过的，包括国家几次处于最动荡的政治突变时期。

如果说今天许多中国数学家能在科学前沿做出突出贡献，如果说数学在中国得到异常普遍的尊重，那就要在很大程度上归功于作为学者和教师的华罗庚五十年来对他国家的数学事业所作出的领导。

华罗庚于1910年生于中国江苏省南部的金坛县。

现在金坛已经是一座繁荣的市镇，它有一所以华罗庚命名的中学及一个颂扬他功绩的纪念馆；但在1910年，金坛还只是一个小村镇，华罗庚的父亲在那里开了一家杂货店。

在华罗庚的整个青少年时期，他的家庭都是很贫穷的；除此而外，他还是一个不断被病痛折磨的体弱的孩子，最不幸的是他在得了一场伤寒病后左腿瘫痪了；这给他带来终生行走时的严重不便。

但很幸运地，华罗庚天性愉快与乐观，这对他当时以及以后遇到困难时是很有帮助的。

华罗庚接受正规教育的时间是短暂的，所以很难在这里给他列出一张学术履历表——他得到的第一个学位是1980年法国南锡大学授予的荣誉博士；然而，他的品格和能力使他得到了智力的发展。

1922年，当华罗庚小学毕业时，金坛中学开办了。

该校有一位高素质与严格的数学老师，他认识到华罗庚的才能并加以培养。

此外，华罗庚在早期缺少书籍，后来又缺少文献。

为了弥补这方面的不足，他学会了直接从最基础的原理和法则出发去解决问题的方法，他在一生中都热情地保持着它，并鼓励他的学生也采用这一方法。

其后，华罗庚进入了位于上海的中华职业学校。

在那里，他荣获过全市珠算比赛冠军。

尽管学校的学费较低，但生活费用对华罗庚来说还是太高了，从而迫使他在差一学期就将毕业时辍学了。

华罗庚无法在上海找到一个工作，只好在1927年回家帮助他的父亲经营杂货店。

同年，他与吴筱元结婚；次年的女儿华顺。

1931年，又得张子华俊东。

华罗庚返回金坛之前，即开始自学数学，处女作发表于上海《科学》杂志1929年12月号上，“题为Sturm氏定理的研究”；次年，在同一杂志上发表一篇的短文中，华罗庚指出了该杂志在1926年发表的五次方程可解的文章有原则性错误。

华罗庚透彻的分析得到了北京清华大学一位具有伯乐慧眼的教授的青睐。

尽管他缺乏正式的学历资格并有部分教员持保留意见，华罗庚仍于1931年被邀请到该校数学系工作。

他开始时任图书馆管理员，然后改任数学助教；1932
年9月他开始讲授微积分课，两年后晋升为教员。

那时，华罗庚已经发表了十多篇文章。

从其中一些文章中，人们可以看出他将来的兴趣所在。

由于他的才华和贡献，24岁的华罗庚已经是一位职业数学家了。

这时的清华大学是中国高等教育的最高学府。

那里的教员致力于将中国的数学与科学赶上西方的先进水平。

中国的科学在停滞了数百年之后，这无疑是一项极艰难的工作。

在1935年-1936年，阿达马与维纳访问了清华大学；华罗庚积极地听了他们二人的讲课并给他们留下了良好的印象。

随后维纳访问了英国并向哈代介绍了华罗庚。

从而，华罗庚得到了英国剑桥大学的邀请。

他于1936年到达剑桥。

在那里，他度过了富于成果的两年。

在华林问题范围内的众多方面，华罗庚发表了不少论文（还有丢潘图分析与函数论的一些课题）。

华罗庚很好地利用了声誉达到顶点的哈代-李特尔伍德学派的学术环境，华罗庚是以中华教育基金会每年1250美元的资助在英国停留的；这一基金来源于上一世纪美国及其他一些国家在中国进行战争对美国的赔款中退回来的钱，即在屈辱的“辛丑条约”中规定的赔款——庚子赔款。

这一赔款是强权强加于中国的。

哈代肯定华罗庚在两年中可以轻易地得到博士学位，但是华罗庚交不起学费从而取消了拿博士学位的做法。

在剑桥期间，华罗庚成为达文坡特与海尔布伦的朋友。

这二人当时是“三一学院”的年轻研究员。

前者为李特尔伍德以前的学生，而后者为兰道在哥廷根时的最后一名助教。

华罗庚跟他们在一起，对于哈代、李特伍尔德处理华林问题这类堆垒问题深感兴趣。

他们帮助润色了华罗庚的一些论文的英文表述，这些论文当时正以相当快的速度流出华罗庚的笔端。

这一时期华罗庚撰写了超过10篇的论文，其中不少都发表在伦敦数学会出版的杂志上面。

（删去此段斜体字）关于华林问题，只有他的陈述是容易的：在1770年，桦林为给证明但断言了以下命题（非原话）：对于每一个整数k≥2，皆存在一个仅依赖于k的整数s=s(k)使每一个正整数N皆可以表示
(1)
其中为非负整数。

同年，拉格朗日证明了。

即解决了k=2的情况。

这是一个臻于至善的结果；往后则进展缓慢，直到1909年，希尔伯特才完全解决了一般情况下的华林问题，他用的方法为复杂的代数恒等式的应用，而且s(k)的值很大。

1918年，哈代与拉马努金又回到了k=2的情况，试图用傅里叶分析方法来决定将整数表为s个平方和的表示数目问题。

他们的想法是受到他们他们关于分拆的著名工作的启发而形成的。

它们做成功了。

这就鼓舞了哈代与李特尔伍德在1920年将类似的方法用于一般的k。

他们发明了所谓的圆法来处理一般的希尔伯特-华林定理以及包括哥德巴赫猜想问题在内的一大批堆垒问题。

在往后的20年里，圆法结构的困难程度在整个数学中都被认为是可以与任何其他东西相比拟的。

即使在今天，经过众多的改进与很大进展之后，这一方法的复杂性仍然令人望而生畏。

概要地讲，经过维诺格拉朵夫改进过的哈代-李特尔伍德-拉马努金圆法可以这样来叙述：命
及为将N表为形式（1）的表示数，则。