人教版八年级数学上册角的平分线的性质课件
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人教版八年级数学上册
12.3.1 角的平分线的性质
教学重难点：
1角的平分线的判定.
2灵活运用角的平分线的判定解题.
1．(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角的内
部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
2．会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题．
3．通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
＝
证明：在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
＝
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)，
∴∠COP＝∠DOP．
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
探究：角的平分线的作法
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
断BC和AC,AD之间的数量关系．
（2）如图，若P是∠AOB的平分线OC上的一点，点E、F 分别在
OA、OB上，则PE = PF.
（3）如图，若OP是∠AOB的平分线，若P 到OA的距离PE为3cm，
A
则P到OB的距离PF也为3cm.
E
P
O
FCBFra bibliotek典例精析
例.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
B
E
C
结论：
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
学以致用
A
1.如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC
D
C
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,
PD= 4cm，则PE=_____cm.
4
P
O
E
B
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
1
2
A
D
B
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，求证: EB = FC
A
证明： ∵ AD平分∠BAC
DE⊥AB ， DF⊥AC
∴ DE ＝DF
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中
∴ ∠PDO = ∠PEO=90°
在 △ PDO和 △ PEO中
∠PDO = ∠PEO
∠AOC = ∠BOC
OP=OP
∴ △ PDO ≌ △ PEO（AAS）
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
∴ PD=PE
小试牛刀
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
1.判断正误并说明理由.
（1）如图，若P 在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE = PF.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平
A
分∠BAC，若BC＝8，BD＝5，则点D到AB
E
3
的距离为______.
C
D
B
3. 如图,在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB，∠1=∠2，
且 AC = 6cm，AB = 8cm，D是AB中点，则△AED的
10cm
周长是_______cm.
C
E
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
探究：角的平分线的性质
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第
一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三
条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？
猜想：PD=PE
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
探究：角的平分线的性质
以上结论成立吗？请证明.
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
点的事实．
知识点：角的平分线的判定
角的内部到角两边
距离相等
的点在角的平分线上．
几何语言：
已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，
则∠1
＝ ∠2．
1．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线
上”．
已知：如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝PD，求
证：∠COP＝∠DOP．
BD=CD
DE=DF
∴Rt△CDF≌Rt△BDE ( HL )
∴ EB = CF（全等三角形对应边相等）
F
E
B
D
C
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
根据“角的对称性”，截长补短构造全等三角形，进行线段的转化，从
而得到线段之间的关系
习题1
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
已知：如图AC//BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．
求证：
（1）AE⊥BE；
（2）AB=AC+BD．
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
2、如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，
且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由
3、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，CD平分∠ACB，试判
CA的距离相等.
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
证明：过点P作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为点D，E，思考：点P
F.
在∠A的平
A
∵ BM 平分∠ABC，PD⊥AB ，PE⊥BC
分线上吗？
∴ PD = PE
D
F
N
P
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
M
同理 PE=PF
∴PD＝ PE = PF
12.3.1 角的平分线的性质
教学重难点：
1角的平分线的判定.
2灵活运用角的平分线的判定解题.
1．(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角的内
部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
2．会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题．
3．通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
＝
证明：在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
＝
∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)，
∴∠COP＝∠DOP．
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
探究：角的平分线的作法
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
断BC和AC,AD之间的数量关系．
（2）如图，若P是∠AOB的平分线OC上的一点，点E、F 分别在
OA、OB上，则PE = PF.
（3）如图，若OP是∠AOB的平分线，若P 到OA的距离PE为3cm，
A
则P到OB的距离PF也为3cm.
E
P
O
FCBFra bibliotek典例精析
例.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
B
E
C
结论：
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
学以致用
A
1.如图，OC是∠AOB的平分线,点P在OC
D
C
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,
PD= 4cm，则PE=_____cm.
4
P
O
E
B
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
1
2
A
D
B
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD，DE⊥AB，
DF⊥AC，求证: EB = FC
A
证明： ∵ AD平分∠BAC
DE⊥AB ， DF⊥AC
∴ DE ＝DF
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中
∴ ∠PDO = ∠PEO=90°
在 △ PDO和 △ PEO中
∠PDO = ∠PEO
∠AOC = ∠BOC
OP=OP
∴ △ PDO ≌ △ PEO（AAS）
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
∴ PD=PE
小试牛刀
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
1.判断正误并说明理由.
（1）如图，若P 在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE = PF.
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平
A
分∠BAC，若BC＝8，BD＝5，则点D到AB
E
3
的距离为______.
C
D
B
3. 如图,在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB，∠1=∠2，
且 AC = 6cm，AB = 8cm，D是AB中点，则△AED的
10cm
周长是_______cm.
C
E
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
探究：角的平分线的性质
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第
一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三
条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？
猜想：PD=PE
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
探究：角的平分线的性质
以上结论成立吗？请证明.
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
点的事实．
知识点：角的平分线的判定
角的内部到角两边
距离相等
的点在角的平分线上．
几何语言：
已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，
则∠1
＝ ∠2．
1．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线
上”．
已知：如图，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝PD，求
证：∠COP＝∠DOP．
BD=CD
DE=DF
∴Rt△CDF≌Rt△BDE ( HL )
∴ EB = CF（全等三角形对应边相等）
F
E
B
D
C
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
根据“角的对称性”，截长补短构造全等三角形，进行线段的转化，从
而得到线段之间的关系
习题1
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
已知：如图AC//BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．
求证：
（1）AE⊥BE；
（2）AB=AC+BD．
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
2、如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，
且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由
3、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，CD平分∠ACB，试判
CA的距离相等.
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗
证明：过点P作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为点D，E，思考：点P
F.
在∠A的平
A
∵ BM 平分∠ABC，PD⊥AB ，PE⊥BC
分线上吗？
∴ PD = PE
D
F
N
P
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
M
同理 PE=PF
∴PD＝ PE = PF