南宫市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南宫市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．2
2． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
3． 已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
4． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 5． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y=x 轴对称
D ．关于直线y=﹣x 轴对称
6． 设a=60.5，b=0.56，c=log 0.56，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a
7．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=n2+2n（n∈N*
），则
++…
+=（）
A
．B
．C
．D
．
8．下列函数中，为奇函数的是（）
A．y=x+1 B．y=x2C．y=2x D．y=x|x|
9．极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：ρ=1与曲线C2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（）
A．1 B
．C
．D．2
10．已知变量,x y满足约束条件
20
1
70 x y
x
x y
-+≤⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≤⎩
，则y
x
的取值范围是（）
A．
9
[,6]
5
B ．
9
(,][6,)
5
-∞+∞C．(,3][6,)
-∞+∞D．[3,6]
11．正方体的内切球与外接球的半径之比为（）
A．B．C．D．
12．椭圆=1的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．设全集U={0，1，2，3，4}
，集合A={0
，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A）∪B=．
14．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为
．
①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1
）成中心对称；
②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠
1或y≠﹣1
；
③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；
④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且•=5，则△ABC的形状是直角三角形．15．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为．
16．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．
17．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为．
18．已知x，y满足条件，则函数z=﹣2x+y的最大值是．
三、解答题
19．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=，5（a2+b2﹣c2）=3ab．（Ⅰ）求cos2C和角B的值；
（Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．
20．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．
（Ⅰ）求证：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．
21．已知等差数列{a n}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{b n}且b2=a4，b3=a8
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}前n项的和S n．
22．已知集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
（1）求C R（A∩B）；
（2）若C={x|x≤a}，且A C，求实数a的取值范围．
23．解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
24．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．
南宫市三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，则a ≤1． 下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是a=2． 故选；D ．
2． 【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π． 故选：C ．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
3． 【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf （x ）＜0的解为：
或
解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．
4． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B.
考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
5．【答案】A
【解析】解：方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），
∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，
故选：A．
【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．
6．【答案】A
【解析】解：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log0.56＜0，
∴c＜b＜a．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A；
由于y=x2为偶函数，故排除B；
由于y=2x为非奇非偶函数，故排除C；
由于y=x|x|是奇函数，满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点， 可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1． 故选：A ．
【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查．
10．【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，
(1,6)B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用．
11．【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C
12．【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，
则c==2；
则椭圆的离心率为e==，
故选D．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
二、填空题
13．【答案】{2，3，4}．
【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，
∴C U A={3，4}，
又B={2，3}，
∴（C U A）∪B={2，3，4}，
故答案为：{2，3，4}
14．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线
的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
15．【答案】﹣4．
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2）=4﹣2=，
f（f（﹣2））=f（）==﹣4．
故答案为：﹣4．
16．【答案】[4，16]．
【解析】解：直线l：（t为参数），
化为普通方程是=，
即y=tanα•x+1；
圆C的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
17．【答案】（2，2）．
【解析】解：∵log a1=0，
∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．18．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）由∵cosA=，0＜A＜π，
∴sinA==，
∵5（a2+b2﹣c2）=3ab，
∴cosC==，
∵0＜C＜π，
∴sinC==，
∴cos2C=2cos2C﹣1=，
∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣
∵0＜B＜π，
∴B=．
（II）∵=，
∴a==c，
∵a﹣c=﹣1，
∴a=，c=1，
∴S=acsinB=××1×=．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，
且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由，可得，…
解得：，
∴由等差数列通项公式可知：a n=a1+（n﹣1）d=n，
∴数列{a n}的通项公式a n=n，
∴a4=4，a8=8
设等比数列{b n}的公比为q，则，
解得，
∴；
（2）∵…
∴，
=，
=，
∴数列{c n}前n项的和S n=．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x≤6}，集合B={x|x≥3}．
那么：A∩B={x|6≥x≥3}．
∴C R（A∩B）={x|x＜3或x＞6}．
（2）C={x|x≤a}，
∵A C，
∴a≥6
∴故得实数a的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
23．【答案】
【解析】解：根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，
解得x＞0，又x＜0，则x不存在，
此时，不等式的解集为∅．
②当时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，
解得x＞0，又，
此时其解集为{x|}．
③当时，原不等式可化为2x﹣1＜x+1，解得，
又由，
此时其解集为{x|}，
∅∪{x|}∪{x|}={x|0＜x＜2}；
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及分类讨论的数学思想，关键是用分段讨论法去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．
24．【答案】
【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，
所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…
因为直线l被圆所截得的弦长是，
所以，弦心距为，
即圆心到所求直线l的距离为．…
因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
所以圆心到直线l的距离为，…
因此，
解得b=﹣2，或b=﹣12．…
所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．
即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…
【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．。