高中数学第一章导数及其应用第6课时课时作业新人教A版选修22

【优化方案】高中数学第一章导数及其应用（第6课时）课时作
业新人教A版选修2-2
[学业水平训练]
1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是()
①y＝x3②y＝x2＋1③y＝|x|④y＝2x
A．①②B．②③
C．③④D．①③
解析：选B.①④为单调函数，不存在极值．
2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情形是()
A．有极小值B．有极大值
C．既有极大值又有极小值D．无极值
解析：选D．∵y′＝1－1
1＋x2(x2＋1)′＝1－2x
x2＋1＝x－12 x2＋1，
令y′＝0，得x＝1，当x＞1时，y′＞0，
当x＜1时，y′＞0，
∴函数无极值．
3．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C．当f′(x0)＝0时，x＝x0不必然是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右双侧
f′(x)的符号相同，因此x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的概念知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
4．已知函数f(x)，x∈R有唯一极值，且当x＝1时，f(x)存在极小值，则()
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0
解析：选C．f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0. 5．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B.因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个增区间是(3，＋∞)．
6．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．
解析：y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.
当x转变时，y′，y的转变情形如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
y′＋0 －0 ＋
y
单调
递增↗
极大
值
单调
递减↘
极
小
值
单调
递增↗
从上表能够看出，当x＝－1时，函数y有极大值
3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.
答案：11
7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．
解析：由图象可知，当x＜0时，f′(x)＜0，
当0＜x＜2时，f′(x)＞0，
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝C．
答案：c
8．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－
2
3时都取得极值，则a＝________，b＝________. 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
令f′(x)＝0，由题设知x1＝1与x2＝－
2
3为f′(x)＝0的解．
∴
⎩
⎨
⎧－2
3a＝1－
2
3
b
3＝1×－
2
3
，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝－1
2
b＝－2
.
答案：－
1
2－2
9．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2e－x；(2)f(x)＝
ln x
x.
解：(1)函数的概念域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x)
↘
↗
4e －2 ↘
由上表能够看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 当x ＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4
e2. (2)函数f(x)＝ln x
x 的概念域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－ln x x2.令f′(x)＝0，即1－ln x
x2＝0，得x ＝e. 当x 转变时，f′(x)，f(x)的转变情形如表：
X (0，e)
e (e ，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)
↗
1
e
↘
由表可知，当x ＝e 时，函数的极大值是1
e .
10．已知函数y ＝ax3＋bx2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值；
(2)求函数y 的极小值． 解：(1)y′＝3ax2＋2bx ， 由题意，适当x ＝1时，
y′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y|x ＝1＝a ＋b ＝3，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3， 解得a ＝－6，b ＝9.
(2)由(1)知y ＝－6x3＋9x2， 则y′＝－18x2＋18x.
令y′＝0，得x ＝0或x ＝1，
经查验知x ＝0是函数的极小值点， 故y 极小值＝y|x ＝0＝0. [高考水平训练]
1．若函数y ＝x3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜2 B ．1＜a ＜4 C ．2＜a ＜4 D ．a ＞4或a ＜1
解析：选′＝3x2－3a.当a≤0时，f′(x)≥0，函数y ＝x3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去； 当a ＞0时，y′＝3x2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值． 2．(2014·绵阳高二检测)函数y ＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断．
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x ＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是________．
解析：由题中函数y ＝f(x)的导函数的图象可知：f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数．f(x)在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确． 答案：②③
3．已知函数y ＝x3＋3ax2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行． (1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极大值与极小值的差． 解：y′＝3x2＋6ax ＋3b. ∵x ＝2是函数的极值点， ∴12＋12a ＋3b ＝0， 即4＋4a ＋b ＝0，①
又图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， ∴y′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0.② 由①②解得a ＝－1，b ＝0， 现在y′＝3x2－6x ＝3x(x －2)． (1)令y′＞0，得3x(x －2)＞0， 解得x ＜0或x ＞2，
令y′＜0，得3x(x －2)＜0， 解得0＜x ＜2，
∴函数的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
(2)由(1)能够判定x ＝0是极大值点，x ＝2是极小值点，又y ＝f(x)＝x3－3x2＋c ， ∴y 极大值－y 极小值＝f(0)－f(2)＝c －(8－12＋c)＝4. 4．设a 为实数，函数f(x)＝x3－x2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；
(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f′(x)＝3x2－2x －1. 令f′(x)＝0，则x ＝－1
3或x ＝1.
当x 转变时，f′(x)，f(x)的转变情形如下表：
所以f(x)的极大值是f(－13)＝5
27＋a ，
极小值是f(1)＝a －1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，
有f(x)＞0，x 取足够小的负数时，有f(x)＜0， 曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝5
27＋a ， f(x)极小值＝f(1)＝a －1.
∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0， 即5
27＋a ＜0或a －1＞0， ∴a ＜－5
27或a ＞1，
∴当a ∈(－∞，－5
27)∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点．。