苏尼特右旗第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

苏尼特右旗第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知定义在R上的可导函数y=f（x）是偶函数，且满足xf′（x）＜0，=0，则满足
的x的范围为（）
A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（1，2）C．（，1）∪（2，+∞）D．（0，）∪（2，+∞）
2．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA 上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣
3．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
A
B C
D
4． 已知向量，（），且，点在圆上，则(,2)a m = (1,)b n =- 0n >0a b ⋅= (,)P m n 22
5x y +=（ ）
|2|a b +=
A
B ．
C ．D
．5． 如果点P 在平面区域220,210,20x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
上，点Q 在曲线22
(2)1x y ++=
上，那么||PQ 的最小值为
（
）
A
1 B
1-
C. 1- D 1
-6． 复数满足＝i z ，则z 等于（
）
2＋2z 1－i
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
7． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0
，△＞0
8． 的倾斜角为（ ）
10y -+=A ．
B ．
C ．
D
．150
120
60
30
9． 如图可能是下列哪个函数的图象（
）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．
y=C ．y=（x 2﹣2x ）e x D ．y=
10．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）A ．4B ．2
C ．
D ．2
11
．
已
知
，
若
圆
：
，
圆
：
2->a 1O 01582222=---++a ay x y x 2O 恒有公共点，则的取值范围为（ ）.
04422222=--+-++a a ay ax y x a A ． B ． C ． D ．),3[]1,2(+∞-- ),3()1,35(+∞-- ),3[]1,3
5
[+∞-- )
,3()1,2(+∞-- 12．如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，
AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的
长度为（
）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
二、填空题
13．= ．
14．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a 15．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，
AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．　
16．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．　
17．已知函数
，则__________；的最小值为__________．
18．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.
三、解答题
19．（本小题12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=.111]
（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{
}n
n
a b 的前项和n S .20．如图：等腰梯形ABCD ，E 为底AB 的中点，
AD=DC=CB=AB=2，沿ED 折成四棱锥A ﹣BCDE ，使AC=．
（1）证明：平面AED ⊥平面BCDE ；（2）求二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值．
21．已知斜率为2的直线l 被圆x 2+y 2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l 的方程．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（x C ⎪⎩⎪⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x θ
为参数，），直线的参数方程为（为参数）．
],0[πθ∈l 2cos 2sin x t y t ì=+ïí=+ïî
a
a t （I ）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的极坐标；D C C D +2=0x y +D （II ）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
l C l 【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
23．已知命题p ：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，命题q ：f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数．若
p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
24．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN 与y轴垂直时，求k1k2的值．
苏尼特右旗第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减，
∵函数f（x）是偶函数，
∴不等式等价为f（||）＜，
即||＞，即＞或＜﹣，
解得0＜x＜或x＞2，
故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞）
故选：D
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
2．【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．
【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或
．
故选D
3．【答案】C
【解析】根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A 2的坐标为：（0，0，24），
B 2的坐标为（11，0，24），
C 2的坐标为（11，7，24），
D 2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A 2B 2C 2D 2和平面ABCD 关于平面A 1B 1C 1D 1对称。

设AE 与的延长线与平面A 2B 2C 2D 2相交于：E 2（x E2，y E2，24）根据相识三角形易知：x E2=2x E =2×4=8，y E2=2y E =2×3=6，即：E 2（8，6，24）
根据坐标可知，E 2在长方形A 2B 2C 2D 2内。

4． 【答案】A 【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.5． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域||PQ Z =表示圆上的点到可行域的距离,当在点A 处时,求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离5,∴当在点A 处最小, ||PQ 最小值为15-,因此，本题正确答案是15-.
考点：线性规划求最值.
6． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由＝i z 得2＋2z
1－i
2＋2z ＝i z ＋z ，
即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝＝＝－1－i.
－21－i
－2（1＋i ）2法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ），即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴，{2＋2a ＝a －b 2b ＝a ＋b
)
∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i.7． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，∴a ＜0，且△=b 2﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．　
8． 【答案】C 【解析】
，可得直线的斜率为，故选C.1
10y -+=k =tan 60αα=⇒= 考点：直线的斜率与倾斜角.9． 【答案】 C
【解析】解：A 中，∵y=2x ﹣x 2﹣1，当x 趋向于﹣∞时，函数y=2x 的值趋向于0，y=x 2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x ﹣x 2﹣1的值小于0，∴A 中的函数不满足条件；B 中，∵y=sinx 是周期函数，∴函数y=的图象是以x 轴为中心的波浪线，
∴B 中的函数不满足条件；
C 中，∵函数y=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，当x ＜0或x ＞2时，y ＞0，当0＜x ＜2时，y ＜0；且y=e x ＞0恒成立，
∴y=（x 2﹣2x ）e x 的图象在x 趋向于﹣∞时，y ＞0，0＜x ＜2时，y ＜0，在x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞；∴C 中的函数满足条件；
D 中，y=
的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x ∈（0，1）时，lnx ＜0，
∴y=＜0，∴D 中函数不满足条件．
故选：C ．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．　
10．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），
∴AB 是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x ，则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A ．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．　
11．【答案】C
【解析】由已知，圆的标准方程为，圆的标准方程为1O 222
(1)()(4)x y a a ++-=+2O ，∵ ，要使两圆恒有公共点，则，即
222
()()(2)x a y a a ++-=+2->a 122||26O O a ≤≤+，解得或，故答案选C
62|1|2+≤-≤a a 3≥a 1
35
-≤≤-a 12．【答案】 B
【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，
即AD •
≥1，
因为2=AD+≥2
=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B ．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】　2　．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．　
14．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()
20{x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x
-==当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则.1a e
=
回归原问题，则原问题中.
a e =
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．15．【答案】　5　．
【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，
∵CD⊥BC，∴CD∥AE，
∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，
在RT△ACE，CE===，
由得BC=2CE=5，
在RT△BCD中，BD===10，
则AD=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．
16．【答案】　5﹣4　．
【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．　
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】
当时，
当时，故
的最小值为
故答案为：
18．【答案】(,0)(4,)
-∞+∞ 【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，
[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 2
2
+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2
a =时，044)42(x )2(f(a)y 2
>++--+=-==x f ，即086x )2(2
>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2
a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞ ．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，
[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
三、解答题
19．【答案】（1）2,2==q d ；（2）1
2
326-+-=n n n S .【解析】
（2）121
2--=n n n n b a ，………………6分12212
1
223225231---+-++++=n n n n n S ，①
n
n n n n S 2
1
2232252321211321-+-++++=- .②……………8分①-②得n
n n n n S 2
122222222212`1221--+++++=-- 2311222221
1222222n n n n S --=++++-，…………10分
所以1
2
3
26-+-
=n n n S .………………12分考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.
【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d 和，进而可得}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列}a {
n
n
b 的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和n S .20．【答案】
【解析】（1）证明：取ED 的中点为O ，由题意可得△AED 为等边三角形，
，
，
∴AC 2=AO 2+OC 2，AO ⊥OC ，
又AO ⊥ED ，ED ∩OC=O ，AO ⊥面ECD ，又AO ⊆AED ，∴平面AED ⊥平面BCDE ；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
2016年5月3日
21．【答案】
【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，
所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…
因为直线l被圆所截得的弦长是，
所以，弦心距为，
即圆心到所求直线l的距离为．…
因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
所以圆心到直线l 的距离为，…
因此，
解得b=﹣2，或b=﹣12．…
所以，所求直线l 的方程为y=2x ﹣2，或y=2x ﹣12．即2x ﹣y ﹣2=0，或2x ﹣y ﹣12=0．…
【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．　
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）设D 点坐标为，由已知得是以为半径的上半圆，)q q C (0,0)O 因为C 在点处的切线与垂直，所以直线与直线的斜率相同，，故D 点的直角坐标D l OD +2=0x y +34
π
θ=
为，极坐标为．(1,1)-3)4
p （Ⅱ）设直线：与半圆相切时
l 2)2(+-=x k y )0(22
2
≥=+y y x 2
1|22|2
=+-k
k ，（舍去）
0142=+-∴k k 32-=∴k 32+=k
设点，则,
)0,2(-B 2
AB
k =
-故直线. l ]22-23．【答案】
【解析】解：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，等价于a ≥x 2﹣x 在x ∈[2，4]恒成立，而函数g （x ）=x 2﹣x 在x ∈[2，4]递增，其最大值是g （4）=4，∴a ≥4，
若p 为真命题，则a ≥4；f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数，
对称轴x=≤，∴a ≤1，若q 为真命题，则a ≤1；由题意知p 、q 一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；
解得，a2=4，b2=1；
故椭圆E的方程为+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，
直线MN与y轴垂直，
则点N的纵坐标为0，
故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．
当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；
由得，
（+4）y2﹣=0；
解得，y M=；
∴M（，），
同理N（，），
由直线MN与y轴垂直，则=；
∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，
∴k2k1=．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．　。