高中数学 第一章组合教案4 新人教A版选修2-3

高中数学选修2-3：第一章《组合》教案4
组合数的性质1：m n n
m n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．
，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n
m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!
(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!
(!!m n m n C m n -=，∴m n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2
n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002；
④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．
2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n
C ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，这些
组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从1
32,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从
132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n
C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!
1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!
1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m n
C ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算
例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ．
例12．（1）计算：69
584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．
解：（1）原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；
证明：（2）右边1121112()()n n n n n n n m m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+==左边
例13．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333
22210
1+-+-+=+x x x x x A C C ． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =， 又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩
得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.
（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!
x x x x =-⋅-⋅-， ∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，
经检验：4x =是原方程的解。