山西省晋中市2018届高三数学1月适应性调研考试试题文

山西省晋中市2018届高三数学1月适应性调研考试试题 文
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|1}M x x =<，{|21}x N x =>，则M
N =（ ）
A ．{}|01x x <<
B ．{}|0x x <
C ．{}|1x x <
D ．∅ 2.若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．
45 B ．4
5
- C ．4- D ．4 3.等比数列{}n a 中，5a ，7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a ⋅等于（ ） A ．4- B ．3- C ．4 D ．3 4.下列命题中正确的个数是（ ）
①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”； ②“0a ≠”是“20a a +≠”的必要不充分条件； ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；
④若命题p ：0x R ∃∈，2
0010x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5.设x ，y 满足约束条件21
210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为（ ）
A ．6-
B ．5- C.13- D ．1
3
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
32 B ．136 C.2 D ．116
7.若执行下图所示的程序，输出的结果为48，则判断框中应填入的条件为（ ）
A ．6?i ≥
B ．6?i > C.4?i ≥ D ．4?i >
8.已知x ，y 是[]02，上的两个随机数，则点()P x y ，到坐标原点的距离大于2的概率为（ ） A ．
16
π
B ．
44π- C.4π D ．2
2
π- 9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列共有（ ） A ．98项 B ．97项 C.96项 D ．95项
10.已知函数()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则()a b ，
所在的直线为（ ） A ．20x y -= B ．20x y += C.20x y -= D ．20x y += 11.在ABC △中，60A ∠=︒，A ∠的内角平分线AD 将BC 分成BD ，DC 两段，若向量
1
3
AD AB AC λ=+（λ∈R ）
，则B ∠=（ ） A ．30︒ B ．45︒ C.60︒ D ．90︒
12.已知不等式12x m x -<-在[]02，
上恒成立，且函数()x f x e mx =-在()3+∞，上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．()()25-∞+∞，，
B ．()(315e ⎤-∞⎦，
，
C.()
(2
25e ⎤-∞⎦，， D ．()(3
25e ⎤-∞⎦，，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 ． 14.直线210ax by -+=（0a >，0b >）平分圆224210x y x y ++--=的面积，则12
a b
+的最小值为 ．
15.已知点P 是双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线的左，
右焦点，I 为12PF F △的内心，若11221
2
IPF IF F IPF S S S =+△△△成立，则双曲线的离心率
为 ．
16.在ABC △中，1A ，1B 分别是边BA ，CB 的中点，2A ，2B 分别是线段1A A ，1B B 的中点，…，n A ，n B 分别是线段1n A A -，1n B B -（*n N ∈，1n >）的中点，设数列{}n a ，{}n b 满足：向量
*()n n n n B A a CA b CB n N =+∈，有下列四个命题：
①数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n b 是单调递减数列； ②数列{}n n a b +是等比数列； ③数列{}n n
b
a 有最小值，无最大值；
④若ABC △中，90C =，CA CB =，则n n B A 最小时，12
n n a b += 其中真命题是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a c B B
=+.
（1）求ACB ∠的大小；
（2）若ABC ACB ∠=∠，D 为ABC △外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.
18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，22AB AD CD ===，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是以AD 为底的等腰三角形.
（1）证明：AD PB ⊥；
（2）若四棱锥P ABCD -的体积等于
3
2
，问：是否存在过点C 的平面CMN 分别交PB ，AB 于点M ，N ，使得平面CMN ∥平面PAD ？若存在，求出CMN △的面积；若不存在，请说明理由.
19. 近年来随着素质教育的不断推进，高考改革趋势明显.国家教育部先后出台了有关高考的《学业水平考试》、《综合素质评价》、《加分项目瘦身与自主招生》三个重磅文件，引起社会极大关注，有人说：男孩苦，女孩乐！为了了解某地区学生和包括老师，家长在内的社会人士对高考改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人，，就是否“赞同改革”进行调查，调查统计的结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“不赞同”态度的人的概率为0.05.
（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，文应该在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
（2）在持“不赞同”态度的人中，用分层抽样方法抽取6人，若从6人中任抽3人进一步深入调查，为更多了解学生的意愿，要求在校学生人数不少于社会人士人士，求恰好抽到两名在校学生的概率.
20. 已知抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点是椭圆M ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点，
且两曲线有公共点2(3
（1）求椭圆M 的方程；
（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为ABC △的重心，试探究ABC △的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21. 已知函数2()1x f x e ax =-+，()(2)2g x e x =-+，且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y bx =+.
（1）求a ，b 的值；
（3）证明：当0x >时，()()g x f x ≤.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直角坐标系中动点(1cos sin )P αα+，
，参数[02)απ∈，，在以原点为极点、x 轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点()Q ρθ，
在曲线C ：sin 1
cos a θθρ
-=上. （1）求点P 的轨迹E 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若动点P 的轨迹E 和曲线C 有两个公共点，求实数a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲
已知0a >，0b >，0c >，函数()f x c a x x b =+-++. （1）当1a b c ===时，求不等式()3f x >的解集； （2）当()f x 的最小值为3时，求a b c ++的值，并求111
a b c
++的最小值.
参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABDCA 6-10:DCBBC 11、12：AD 二、填空题
13.4 14.6+2 16.①②④ 三、解答题
17.解：(1) 在ABC ∆中，由A B C π++=， (sin cos )a c B B =+ sin sin()sin cos cos sin sin (sin cos )A B C B C B C C B B ∴=+=+=+
sin cos sin sin B C C B ∴=又sin 0B ≠cos sin C C ∴=
又(0,)C π∈4
C π
∴=
（2）在BCD △中，2,1DB DC == 由余弦定理可得 2222cos 54cos BC BD CD BD CD D D =+-⋅⋅=- 又4
ABC ACB π
∠=∠=
ABC ∴△为等腰直角三角形
1115
sin cos sin 2224
ABCD ABC BCD S S S BC BC BD CD D D D ∆∆∴=+=⋅+⋅⋅=-+ 5
)44
D π=
+- ∴
当34
D π=时，四边形ABCD 面积有最大值，最大值为54
18.解：（1）证明: 取AD 中点为G ，在PAD △中PA PD =PG AD ∴⊥
60=∠=DAB AD AB 且
ABD ∴△为正三角形，BG AD ∴⊥
又G PG BG = ，⊂PG BG ,平面PBG
⊥∴AD 平面PBG ，且⊂BP 平面PBG ， PB AD ⊥∴
（2）存在平面CMN ，使得平面CMN ∥平面PAD ，N M ,为AB PB ,的中点，如图 在PAB △中，PA MN //且PA MN 2
1
=
， 又PAD MN 平面⊄ ，PAD PA 平面⊂ ， PAD MN 平面//∴ 在梯形ABCD 中，AB CD //且AB CD 2
1
=
， AN CD //且AN CD =，AD CN //∴ 又PAD CN 平面⊄ ，PAD AD 平面⊂ ，PAD CN 平面//∴ 又N NC MN = ， 平面CMN ∥平面PAD
由（1）可知AD PG ⊥，侧面⊥PAD 底面ABCD 交于AD ，ABCD PG 平面⊥∴ 在梯形ABCD 中，由条件可得3=
BC
2
3
3)21(213131=⋅⋅+⋅=⋅=
∴-PG PG S V ABCD ABCD P ，∴3=PG 在PAD ∆中，PD PA =，2=AD ， G 为AD 中点，3=PG
PAD ∆∴为正三角形，3
,2π
=
∠=∴PAD PA ，
在MNC ∆中， 2==AD CN ， 12
1==
PA MN ， 3π
=∠=∠PAD MNC
2
3
232121sin 21=
⋅⋅⋅=∠⋅⋅=
∴∆MNC NC MN S MNC 19.解：（1）∵抽到持“不赞同”态度的人的概率为05.0 ∴
05.03600
120=+x
，解得60=x
∴持“无所谓”态度的人数共有7206060012021003600=---- ∴应在“无所谓”态度的人中抽取723600
360
720=⨯
人 （2）由(1)知持“不赞同”态度的一共有180人
∴在所抽取的6人中，在校学生为
46180
120
=⨯人， 社会人士为
26180
60
=⨯人 记抽取的4名在校学生依次为1234,,,A A A A ，2名社会人士依次为12,B B ， “在校学生人数不少于社会人士人数”包含基本事件为:{}121,,A A B ，{}122,,A
A B {}131,,A A B ，{}132,,A A B ，{}141,,A A B ，{}142,,A A B ，{}231,,A A B ，{}232,,A A B
{}241,,A A B ，{}242,,A A B ，{}341,,A A B ，{}342,,A A B ，{}123,,A A A ，{}124,,A A A {}134,,A A A ，{}234,,A A A ，共16个，
记“恰好抽到两名学生”为事件M ，事件M 包含12个基本事件， ∴所求事件的概率为：123
164
p =
= 20.解：（1）将点)3
62,
32(代入px y 22
=可得2=p
∴抛物线x y C 4:2=的焦点为)0,1(，
∴椭圆M 中1=c 又点)362,32(在椭圆上，⎪⎩⎪
⎨⎧=+=-∴19249412
222b a b a ，
解得3,42
2
==b a ∴椭圆M ： 13
42
2=+y x
（2）当直线AB 的斜率不存在时，B A ,关于x 轴对称，O 为ABC ∆的重心
C ∴为椭圆M 长轴顶点，∴3||=AB ，C 到AB 的距离为3=d
2
9
||21=⋅=
∴∆d AB S ABC 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：m kx y +=，联立方程
22
34120
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消y 得01248)43(222=-+++m kmx x k 有两不等实根 ∴)129434(16)43)(3(44642222222222k m k m m k k m m k ++--=+-⋅⋅-=∆
0)43(4822>-+=m k ∴2243m k >+
设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，221438k km x x +-=+∴，2
2214312
4k m x x +-=∴
2
221214362438k m m k km k
m kx m kx y y +=++-=+++=+∴ 又O 为ABC ∆的重心， 23438k km x +=∴，23
436k m
y +-= 又C 点在椭圆上，∴1)
43(336)43(4642
222222=+++k m k m k ，得22434k m += ||134343341||1||2
2
222
212
m k k
m k k x x k AB +=+-++=-⋅+= C 到AB 的距离为2
2221|3|1|436438|k
m k m k m
k km k d +=
+++++⋅
=
2
9
1||3||1321||2122=+⋅+⋅=⋅=∴∆k m m k d AB S ABC
∴ABC ∆的面积为定值2
9
21.解：（1）由题设得()2x
f x e ax '=-，
∴()12(1)12
f e a b f e a b '=-=⎧⎪⎨=-+=+⎪⎩， 解得，1,2a b e ==-．
（2）由（1）知，()2
1x
f x e x =-+，令函数2()()()(2)1x h x f x
g x e x e x =-=----，
∴()2(2)x
h x e x e '=---，
令函数()()x h x ϕ'=，则()2x
x e ϕ'=-，当(0,ln 2)x ∈时，()0x ϕ'<，()h x '单调递减； 当(ln 2,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()h x '单调递增， 又(0)30h e '=->，(1)0h '=，0ln 21<<，(ln 2)0h '< 所以，存在()00,1x ∈，使得()0h x '=， 当()
()00,1,x x ∈+∞时，()0h x '>；当()()0,1,0x x h x '∈<，
故()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调增．
又()()010h h ==，∴()()2
210x
h x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号．
故：当0x >时，()()g x f x ≤，
22．解：（1）设点P 的坐标为(),x y ，则有1cos ,sin x y α
α=+⎧⎨=⎩
[)0,2απ∈
消去参数α，可得22(1)1x y -+=，为点P 的轨迹E 的方程；
由曲线C sin cos a a ρθρθ-=，且0a ≠， 由sin y ρθ=，cos x ρθ=故曲线C 的方程为：0ax y a -+=(0)a ≠； （2）曲线C 的方程为：0ax y a -+=(0)a ≠，即(1)y a x =+(0)a ≠ 表示过点()10-，，斜率为a 的直线，
动点P 的轨迹E 是以()1,0为圆心，1为半径的圆
由轨迹E 和曲线C 有两个公共点，结合图形可得3
((0,)a ∈． （或圆心到直线的距离小于半径和0a ≠去求） 23. 解：（1）()111f x x x =-+++
1123x x ≤-⎧∴⎨
->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1
213
x x ≥⎧⎨+>⎩， 解得{|1x x <-或1}x >.
（2）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=
()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
322233
≥
+++=． 当且仅当1a b c ===时取得最小值3．。