八年级上册数学同步培优：第7讲等边三角形--尖子班

第7讲等边三角形
知识点1 等边三角形的性质
1.定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形；
2.性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于60°；
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质.
【典例】
1.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为_________．
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质，即它的每个内角都等于60°，结合翻折变换后的对应边相等，对应角相等，得到所求角与所给角度数之间的关系．
2.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与
∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A 2015BC 的平分线与∠A 2015CD 的平分线交于点A 2016，则∠A 2016的度数是（ ）
A.2013152
︒ B.2014152
︒ C.2015152
︒ D.2016
152
︒ 【方法总结】
本题考查了等边三角形的内角等于60°，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的
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是解题的关键．
【随堂练习】
1．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上．△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1=4，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128
1．如图，已知∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上．△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1=4，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
知识点2 等边三角形的性质与判定
判定方法：
1.三个边都相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【典例】
1.已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【方法总结】
本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件：
1.三个角都是60°或三个边都相等；
2.一个角是60°的等腰三角形.
其余叙述方式，均需要向这两条转化，然后进行判断.
2.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键，要证一个三角形是等边三角形，已知一个60°的角，可再证一个角等于60°或一组边相等.
3.如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，∠EBC=∠BED=60°，AD平分∠BAC，求证：∠D=30°．
【方法总结】
本题主要考查的是等边三角形的判定和性质，即有两个角是60°的三角形是等边三角形，还考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及三角形的内角和定理，准确作出辅助线是解题的关键.
【随堂练习】
1．（2017秋•宽城区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC 于点D，DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）求证：AE=AB．
2．（2017秋•中江县期末）如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
3．（2017•潍坊二模）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：
（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
知识点3 直角三角形的性质
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
【典例】
1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．
【方法总结】
本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角
边等于斜边的一半．
2.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的长记为a2，以此类推，若OA1=3，则a2=_________，a2015=__________.
【方法总结】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
3.如图，在锐角三角形ABC中，CM为AB边上的高，P为BC的中点，连接MP，在AC 上找到一点N，使NP=MP，连接BN，试判断BN与AC的位置关系，并说明理由．
【方法总结】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质并准确识图是解题的关键．能根据该性质和已知条件证得下面这一结论，即如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，并且这条边所对的角是直角.
【随堂练习】
1．（2017秋•伊通县期末）如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：
（1）∠ADG的度数；
（2）线段DC的长度．
2.（2017秋•无锡期中）如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC 边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
3．（2017秋•丹阳市期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M 为BC的中点．
（1）若EF=5，BC=12，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠FME的度数．
知识点4 双等边三角形模型的应用
【典例】
1.如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）求∠AEB的大小；
（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB 和△OCD不能重叠），则∠AEB的大小_________．（填“变”或“不变”）
【方法总结】
本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，同时要善于利用归纳思想，能根据前一问的解题思路，来灵活解决后面的问题．注：本题属于双等边三角形模型，要善于利用双等边带来的相等的对应边和对应角，去构造全等来解决问题.
【随堂练习】
1．（2017•潍坊二模）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为
EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：
（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
综合运用
1.如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD=_________．
2.如图所示，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为18，则PD+PE+PF=___________．
3.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
4.已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．
5.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．
6.如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD 上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？
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