人教B版高中数学必修第3册 同步备课-第8章 8.2 8.2.4 第2课三角函数的积化和差与和差化积

第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换,推导出积化和差与和差化积公式．(难点)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会三角变换的特点,提高推理、运算能力．(重点)
1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导,培养学生逻辑推理核心素养．
2.借助积化和差与和差化积公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1.积化和差公式
cos αcos β＝1
2[c os(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－1
2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
2.和差化积公式
设α＋β＝x,α－β＝y,则α＝x ＋y 2,β＝x －y
2.这样,上面的四个式子可以写成,
sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y
2；
sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y
2；
cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y
2；
cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y
2.
思考：和差化积公式的适用条件是什么？
[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．
1.计算sin 105°cos 75°的值是( )
A ．12
B ．14
C ．－14
D ．－12
B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.]
2.sin 20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为( ) A ．－1
4
B ．1
4 C ．12
D ．－12
B [sin20°·cos70°＋sin10°·sin50° ＝
12[]sin ()20°＋70°＋sin ()20°－70°＋12[cos(10°－50°)－cos ()10°＋50°]＝12
()sin 90°－sin 50°＋1
2
()cos 40°－cos 60°
＝14－12sin 50°＋1
2
cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝1
4.故选B ．] 3.下列等式正确的是( )
A ．sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2sin x －y 2
B ．sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2cos x －y
2
C ．cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y
2
D ．cos x －cos y ＝2sin x ＋y 2sin x －y
2
C [由和差化积公式知C 正确．]
积化和差问题
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值,注意角的变换,尽量出现特殊角． [解](1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－1
2
(cos 60°－cos 40°)
＝14－12sin 50°＋1
2cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14
. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝
3
2
cos 10°cos 50°cos 70° ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2(cos 60°＋cos 40°)·cos 70° ＝
38cos 70°＋3
4cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋3
8(cos 110°＋cos 30°) ＝
38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316
.
积化和差公式的功能与关键
(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). ②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
1.求sin 2
20°＋cos 2
50°＋sin 20°cos 50°的值．
[解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)
＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－1
4
＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋1
2sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34
.
和差化积问题
【例2】 已知cos α－cos β＝2,sin α－sin β＝－3,求sin(α＋β)的值．
[思路探究] 利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解． [解] ∵cos α－cos β＝1
2
,
∴－2sin α＋β2sin α－β2＝1
2.
①
又∵sin α－sin β＝－1
3,
∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.
②
∵sin α－β
2
≠0,
∴由①②,得－tan α＋β2＝－32,即tan α＋β2＝3
2.
∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos
α＋β2
sin 2α＋β2＋cos
2
α＋β2
＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β
2＝2×
3
21＋
94
＝12
13.
1.(变结论)本例中条件不变,试求cos(α＋β)的值． [解] 因为cos α－cos β＝1
2,
所以－2sin α＋β2sin α－β2＝1
2.
①
又因为sin α－sin β＝－1
3,
所以2cos α＋β2sin α－β2＝－1
3.
②
因为sin α－β
2
≠0,
所以由①②,得－tan α＋β2＝－32,即tan α＋β2＝3
2
.
所以cos(α＋β)＝cos 2α＋β2－sin
2α＋β2
sin 2α＋β2＋cos
2α＋β2
＝1－tan
2
α＋β21＋tan 2α＋β2＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－513.
2.(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝12,sin α－sin β＝－1
3”变为“cos α＋cos β＝
12,sin α＋sin β＝－1
3
”,结果如何？ [解] 因为cos α＋cos β＝1
2,
所以2cos α＋β2cos α－β2＝1
2.
①
又因为sin α＋sin β＝－1
3,
所以2sin α＋β2cos α－β2＝－1
3
.
②
所以cos α－β2≠0,所以由①②,得tan α＋β2＝－2
3,
所以sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos
α＋β
2
sin 2α＋β2＋cos
2α＋β2
＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－231＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－232＝－1213.
和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后,能否出现特殊角；
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
(3)为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式,如1
2－
cos α＝cos π
3
－cos α.
公式的综合应用
1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用,如A ＋B ＋C ＝π,a ＋b>c 等．
2.在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ [提示] 在△ABC 中的三角关系： sin(A ＋B)＝sin C,cos(A ＋B)＝－cos C, sin A ＋B 2＝cos C 2,cos A ＋B 2＝sin C 2
,
sin(2A ＋2B)＝－sin 2C,cos(2A ＋2B)＝cos 2C ． 【例3】 在△ABC 中,求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C 2
.
[思路探究] 利用和差化积进行转化,转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. [解] 左边＝sin(B ＋C)＋2sin B －C 2·cos B ＋C
2
＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C
2
＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C
2＋sin B －C 2 ＝4sin A 2sin B 2cos C
2＝右边,
∴原等式成立．
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证.
2.在△ABC 中,求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2cos B 2·cos C
2.
[证明] 由A ＋B ＋C ＝180°,得C ＝180°－(A ＋B), 即C 2＝90°－A ＋B 2,∴cos C 2＝sin A ＋B
2. ∴sin A＋sin B ＋sin C
＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B)
＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋2sin A ＋B 2·cos A ＋B
2
＝2sin A ＋B 2⎝
⎛⎭⎪⎫cos A －B
2＋cos A ＋B 2
＝2cos C 2·2cos A 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2 ＝4cos A 2cos B 2cos C
2,
∴原等式成立．
1.公式的记忆
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前,正差正后迁；余和一色余,余差翻了天．” (正代表sin α,余代表cos α) 2.公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.
1.sin 75°－sin 15°的值为( ) A ．1
2 B ．
22
C ．
32
D ．－12
B [sin 75°－sin 15°＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝2
2
.故选B ．]
2.函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )
A ．1
2 B ．14 C ．1
D ．
22
B [∵y＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.
∴函数y 的取最大值为1
4
.]
3.已知sin(α＋β)＝23,sin(α－β)＝1
5
,则sin αcos β＝________.
1330 [sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.] 4．化简下列各式：
(1)cos A ＋cos (120°＋B )＋cos (120°－B )sin B ＋sin (120°＋A )－sin (120°－A )； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A . [解](1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos B
sin B ＋2cos 120°sin A
＝cos A －cos B sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sin
B －A 22cos A ＋B 2sin
B －A 2＝tan A ＋B
2
. (2)原式＝(sin A ＋sin 5A )＋2sin 3A
(sin 3A ＋sin 7A )＋2sin 5A
＝2sin 3Acos 2A ＋2sin 3A
2sin 5Acos 2A ＋2sin 5A
＝2sin 3A (cos 2A ＋1)2sin 5A (cos 2A ＋1)＝sin 3A
sin 5A
.。