2020_2021学年高中数学第一章数列2等差数列第3课时等差数列的前n项和练习(含解析)北师大版必修5

等差数列的前n 项和
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝( C ) A ．138 B ．135 C ．95
D ．23
[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2＋a 4＝4 ①a 3＋a 5＝10 ②，
②－①得2d ＝6，∴d ＝3.
a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×3＝4，
∴a 1＝－4，
S 10＝10×(－4)＋
10×9
2
×3＝－40＋135＝95. 故选C ．
2．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( B )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12
[解析] 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22×d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32×d ⇒9a 1＋9d ＝6a 1＋7d ⇒3a 1＋2d ＝0⇒6＋2d ＝0⇒d ＝－3，
所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.
3．若等差数列{a n }的前三项和S 3＝9，且a 1＝1，则a 2等于( A ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
[解析] S 3＝3a 1＋3×2
2d ＝9，且a 1＝1，
∴d ＝2，∴a 2＝a 1＋d ＝3.
4．已知等差数列{a n }前9项的和为27，则a 10＝8，则a 100＝( C ) A ．100 B ．99 C ．98
D ．97 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C ．
5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9
S 5
＝( A )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．1
2
[解析]
S 9S 5＝9a 55a 3＝95×5
9
＝1，故选A ． 6．(2017·全国卷Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( C )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
[解析] 设{a n }的公差为d ，则由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＋a 5＝24
S 6＝48，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝246a 1＋6×5
2d ＝48，解得d ＝4.
故选C ． 二、填空题
7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 27 .
[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，a 2＝a 1＋1
2，
∴{a n }是以1为首项，1
2为公差的等差数列．
∴S 9＝9×1＋9×82×1
2
＝9＋18＝27.
8．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝ 10 . [解析] 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力． 设等差数列公差为d ，则a n ＝1＋(n －1)d ， ∵S 4＝S 9，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， ∴a 7＝0，∴1＋6d ＝0，d ＝－1
6
.
又a 4＝1＋3×(－16)＝1
2，a k ＝1＋(k －1)d ，
∴12＋1＋(k －1)d ＝0，d ＝－1
6代入，得k ＝10. 三、解答题
9．(2018·全国卷Ⅱ理，17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．
[解析](1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2
－8n ＝(n －4)2
－16.
所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
10．等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，则该数列前多少项的和最小？ [解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 则由题意得
9a 1＋12×9×8×d ＝12a 1＋1
2×12×11×d
即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d ， ∵a 1<0，∴d >0，
∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212
dn
＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－218
2
d .
∵d >0，∴S n 有最小值．
又∵n ∈N ＋，∴n ＝10或n ＝11时，S n 取最小值．
解法二：同解法一，由S 9＝S 12，得d a 1＝－1
10
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝a 1＋n －1
d ≤0
a n ＋1＝a 1＋nd ≥0
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
1－110
n －1≥0
1－1
10
n ≤0.
解得10≤n ≤11.
∴n 取10或11时，S n 取最小值．
解法三：∵S 9＝S 12，∴a 10＋a 11＋a 12＝0，∴3a 11＝0， ∴a 11＝0.∵a 1<0，
∴前10项或前11项和最小．
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2019·长沙一中)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( B )
A ．66
B ．99
C ．144
D ．297
[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 4＝39,3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，所以S 9＝
9
a 1＋a 9
2
＝
9a 4＋a 6
2
＝
9×13＋9
2
＝99.
2．(2017·浙江卷，6)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4
＋S 6>2S 5”的( C )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] 方法1：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6>2S 5.
若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ， ∴d >0.∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． 故选C ．
方法2：∵S 4＋S 6>2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5)⇔a 6>a 5⇔a 5＋d >a 5⇔d >0， ∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． 故选C ．
3．已知一个等差数列共n 项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( B )
A ．24
B ．26
C ．25
D ．28
[解析] 设该等差数列为{a n }， 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，
a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝67，
又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3，
∴4(a 1＋a n )＝21＋67＝88，∴a 1＋a n ＝22. ∴S n ＝
n a 1＋a n
2
＝11n ＝286，∴n ＝26.
4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( C ) A ．38 B ．20 C ．10
D ．9
[解析] 由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ， ∴2a m ＝a 2
m ，由题意，得a m ≠0，∴a m ＝2. 又S 2m －1＝
2m －1
a 1＋a 2m －1
2
＝
2a m 2m －1
2
＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10. 二、填空题
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →
，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝ 100 .
[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →
，且A 、B 、C 三点共线， ∴a 1＋a 200＝1，
∴S 200＝200×a 1＋a 200
2
＝100.
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝ 24 . [解析] ∵S 9＝
9·
a 1＋a 9
2
＝72，
∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16，∴a 1＋4d ＝8， 又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题
7．(2019·深圳耀华实验中学高二月考)在等差数列{a n }中，S n 为该数列的前n 项和． (1)已知a 5＝11，a 8＝5，求a n ；
(2)设{a n }是公差为正数的等差数列．若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13.
[解析] (1)设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋4d ＝11
a 1＋7d ＝5，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝19
d ＝－2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝19－2(n －1)＝21－2n . (2)∵{a n }是公差为正数的等差数列．
∴d >0，a 1＋a 3＝2a 2，
∵a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，
∴3a 2＝15，a 2＝5，a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16. 则a 1，a 3是方程x 2
－10x ＋16＝0的两根， 由x 2
－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8， ∵a 3>a 1，∴a 1＝2，a 3＝8.d ＝
a 3－a 12
＝
8－2
2
＝3，
∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3×(a 1＋11d ) ＝3×(2＋11×3)＝105.
8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 6＝36，S n ＝324，若S n －6＝144(n >6)，求数列的项数n .
[解析] 由题意可知
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋…＋a n －5＝324－144，②
由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝216， ∴6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36. ∴S n ＝n a 1＋a n
2
＝18n ＝324，∴n ＝18.。