基于均匀设计的中心引力优化算法

基于均匀设计的中心引力优化算法
钱伟懿;郭杰君
【摘要】中心引力优化(Central Force Optimization,CFO)算法是一种新型多维搜索确定型启发式优化算法,但由于它的初始探测器(Probe)计算复杂而导致CFO 算法运行时间过长.针对初始探测器计算复杂问题,提出一种均匀设计方法,依此方法提出了基于均匀设计的CFO算法.将提出的CFO算法应用到典型测试函数中,并与CFO算法进行比较.数值结果表明,该算法保证寻优能力同时减少了CFO算法的运行时间,从而提高了CFO算法的效率.%Central Force
Optimization(CFO)algorithm is a new deterministic multi-dimensional search metaheuristic algorithm, but calculation of its initial probes is complicated, thus the CFO algorithm needs long computing time. The uniform design method is used for the problem of complicated calculation of initial probes. According to this method, the CFO algorithm based on uniform design is proposed. Finally, the proposed algorithm is applied to some typical test functions, and compared with the CFO algorithm. Numerical results show that the proposed algorithm can reduce the computing time and the ability of searching optimal solution is still guaranteed. Thus efficiency of CFO algorithm is raised obviously.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2017(000)010
【总页数】6页(P144-149)
【关键词】中心引力优化;均匀设计;初始探测器;运行时间
【作者】钱伟懿;郭杰君
【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州 121000;渤海大学数理学院,辽宁锦州121000
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
CFO算法是Formato R.A.于2007年提出的一种新的确定型启发式优化算法[1]。

该算法来源于万有引力动力学原理。

目前它广泛应用于各个领域，如，神经网络训练[2]，天线问题[3]，管道的泄漏和摩擦因子校准问题[4]等。

为了改善CFO算法，Formato本人及其他学者提出了许多新的CFO算法[5-15]。

在文献[5]中，Formato提出了具有变初始探测器分布及自适应决策空间的CFO算法。

Formato 又提出了改进的CFO算法[6]，称为PR-CFO（Pesudo-Random CFO）算法，PR-CFO算法的主要贡献在于初始探测器分布、重新设置因子及决策空间自适应三方面做了改进。

在此基础上，Formato又提出了PF-CFO（Parameter Free CFO）算法[7]，该算法与PR-CFO算法基本相同，不同的是Formato在参数选择上做
了一些的工作。

Mahmoud把CFO算法与Nelder-Mead（NM）方法结合，给
出一种混合CFO算法[8]。

孟超，孙知信利用天体力学中的摄动理论对CFO算法
进行了改进，给出了改进型CFO算法[9]。

钱伟懿，张桐桐给出了一种自适应
CFO算法[10]。

刘杰，王宇平把CFO算法与单纯形方法结合，给出了协同搜索算法[11]。

Ding等人定义一个新的自适应质量，给出了一个扩展CFO算法，并对该算法进行了收敛性分析[12]。

孟超，孙知信通过天体力学中数学分析的方法对CFO算法的收敛性能进行了分析[13]。

虽然这些文献对CFO算法的性能及理论做
了许多工作，但是忽略了对CFO算法运行时间的研究。

由于CFO算法是一种确定型启发式算法，所以它的初始探测器设计不像其他启发式算法（如，粒子群优化算法，遗传算法，差分进化算法和蚁群算法）随机产生初始个体，而是由一种确定方法产生初始探测器。

目前CFO算法中初始探测器设计依赖于两个参数的循环:一是每个坐标轴上均匀分配的探测器个数，另一个是平行于坐标轴的直线与决策空间对角线交点的位置。

由此可以看出CFO算法产生的初始探测器数量较多，从而导致算法的运行时间较长，影响了算法的效率。

因此，本文利用均匀设计方法设定一些实验次数代替这两个循环，大大减少了算法运行时间及函数评价次数，并且保证了寻优能力。

CFO算法解决如下全局优化问题
其中 f(x):Ω⊂RNd→R是实值函数，x是Nd维决策变量，Rmin和Rmax是x的下限和上限向量，Ω是搜索空间。

在CFO算法中，决策空间的变量看成是探测器，每个探测器拥有两个变量:一是位置，另一个是加速度。

探测器p在t时刻，位置与加速度的更新公式如下:
其中Ap(t)和Rp(t)是探测器p在t时刻的加速度和位置，G是引力常数，是探测器k在t时刻的目标函数值，Np是探测器总数，α，β是常数，‖‖⋅是欧氏距离，Δt是时间步长，通常取为1，U(⋅)是单步函数，表达式为
CFO算法的初始探测器设计采用如下方法:首先确定总的探测器数量Np，然后在决策空间的对角线上确定一点D=Rmin+γ(Rmax-Rmin)，其中分布因子γ∈[0,1]决定D的位置，过该点做平行于坐标轴的直线，最后在决策空间内每条直线上均匀分配Np/Nd个探测器，这里Np/Nd与D是变化的（具体见文[5]）。

由式（3）生成的探测器可能超出决策空间，如果的第i分量小于Rmini ，那么如果Rp(t+1)的第i分量，那么
其中Rmini 和Rmaxi 分别是Rmin和Rmax的第i分量，Frep是恢复因子。

为了提高CFO算法的收敛速度，CFO算法采用决策空间自适应策略，即在算法开始运行20步迭代后，每隔10步决策空间Ω收缩，收缩后决策空间的边界定义如下:
其中Rbest是当前最好位置是Rbest的第i分量。

算法终止条件是达到最大迭代步，若每隔q迭代步的平均适应值与当前最好适应值之差小于10-6也可以提前终止。

CFO算法的流程如图1。

把迭代步t循环称为CFO算法主体。

若(Np/Nd)start=2，(Np/Nd)max=6，γstart=0，γstop=1，且Δγ=0.1，那么由CFO算法的流程不难看出独立运行CFO算法主体33次。

若(Np/Nd)max改为12，那么独立运行CFO主体66次.由此可以看出CFO算法的计算量很大，影响CFO算法的效率。

因此本文用均匀设计方法设计一定实验次数代替CFO算法流程中的(Np/Nd)和γ两个外循环，这样大大减少计算量，从而提高算法的效率。

3.1 均匀设计方法
均匀设计是我国数学家方开泰和王元提出的试验设计方法[16]，主要通过均匀设计表来进行实验设计。

每个均匀设计表有一个代号Un(qs)或U*n(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示要做n试验，“q”表示每个因素有q个水平，“s”表示有该表有s列。

“U”和“U*”代表两种不同类型的均匀设计表，通常“U*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。

每个均匀设计表都有一个使用表，它指示如何从设计表中选出与因素数相对应的列，构成实验方案。

均匀设计表Un(qs)或U*n(qs)适用于各因素水平相等情形，但是在实际应用中，常常遇到多因素试验中因素水平不相等的情形。

此时我们采用如下混合均匀设计方法:
（1）选用适当的等水平均匀设计表。

（2）根据该表的使用表选出与因素数相对应的列。

（3）在选定的各列上，分别对各列不同水平进行合并，组成新的水平。

例如，两个因素试验中，因素A的水平为2，因素B的水平为3，选用U*6(64)表，按使用表的推荐用1，3两列。

将因素A放在第1列，因素B放在第3列。

将第
1列水平合并为2个水平:(1,2,3)⇒1，(4,5,6)⇒2，同时将第3列水平合并3个水平:(1,2)⇒1，(3,4)⇒2，(5,6)⇒3，即得实验方案。

3.2 算法若(Np/Nd)max≥10，那么把γ按(Np/Nd)max分成相应水平。

由于(Np/Nd)的水平不能再细分，而水平过少，导致实验次数过少，这样会影响试验精度，影响结论的可靠性，所以当(Np/Nd)max＜10时，增大γ水平数，采用混合
均匀设计方法。

文献[7]针对不同维数优化问题给出了的参考值，见表1。

把参数(Np/Nd)和γ看成两个因素，把(Np/Nd)分成((Np/Nd)max-1)个水平，即本文所选取的均匀设计表及使用表来源于文献[16]。

由表1提供的信息，根据均匀设计表、它的使用表及因素的水平等信息，将给出不同维数下关于参数(Np/Nd)和γ的均匀设计方案，具体方案见表2。

基于均匀设计的CFO（简称UCFO）算法的流程如图2。

其中test为实验号，maxtest为相应最大实验号。

4.1 实验结果及分析
为了评价新算法（UCFO）的性能，选取文献[17]中的23个测试函数进行实验研究。

主要考察算法的运行时间。

f1-f7是高维单峰函数，f8-f13是高维多峰函数，f14-f23是低维单峰函数。

实验中，CFO算法参数选取来源于文献[7]，即G=2，α=2，β=2，Finit=0.05，ΔFbest=0.05，Nt=200，γstart=0，γstop=1，Δγ=0.1，(Np/Nd)max取值见
表1，初始加速度取为0。

在UCFO算法中的参数选取与CFO算法相同。

两个算
法的程序都是由MATLAB2007实现，实验结果见表3-5。

其中Nd表示测试函数的维数，fmin表示测试函数的最优值，“Optimal”表示算法得到最优值，“Total”表示算法运行中函数评价的总次数，“Time”表示算法运行和时间，
“s”表示秒。

从表3可以看出，对于维数分别为10、20、和30的函数 f1-f7，UCFO算法在计算时间和函数评价总次数远远好于CFO算法，在那寻优能力上，除了20维函数
f5、10维、20维和30维函数f7之外，UCFO算法与CFO算法的寻优能力相同，但是对于函数 f7来说，寻优能力相差不大。

从表4可以看出，对于维数分别为10、20、和30的函数 f8-f13，UCFO算法在计算时间和函数评价总次数远远好于CFO算法，在寻优能力上，对于10维、20维、和30维的函数 f8、f9和 f11UCFO算法与CFO算法寻优能力相同；对于10维和20维函数 f10，UCFO算法与CFO算法寻优能力相同，对30维函数 f10，UCFO算法寻优能力比CFO算法略差，但结果也是很好的。

对于10维和20维的函数 f12，UCFO算法与CFO算法相比寻优能力相差不大，对于30维的函数 f12，在寻优能力上，UCFO算法优于CFO算法。

对于函数f13，当维数为10和20时，UCOF算法略好于CFO算法的寻优能力，但当维数为30时，UCOF算法的寻优
能力比CFO算法差。

从表5可以看出，对于低维多峰函数 f14-f23来说，UCFO算法在计算时间和函
数评价总次数远远好于CFO算法，在寻优能力上，除了函数 f19和 f20外，UCFO算法与CFO算法寻优能力相同，但对于这两个函数，两种算法的寻优能力
相差不大。

总的来说，UCFO算法在计算时间上优于CFO算法，且能保证寻优能力。

针对维数为30维的函数 f1-f13，表6给出了UCFO算法与PF-CFO[7]、CFO-NM[8]和ECFO[12]算法比较结果，其中参数设置使用本文给出的参数设置，对于CFO-NM算法，关于Nelder-Mead算法部分的参数设置采用文[8]的参数设置。

从表6可以看出，CFO-NM算法寻优能力优于其他算法，原因是CFO-NM算法
中引入Nelder-Mead局部搜索技术，这也导致算法计算时间较长。

UCFO算法寻
优能力与CFO-NM算法寻优能力相比，对于函数 f1-f4，f6，f8，f9和 f11来说
两种算法寻优能力相等，对于函数f5，f7和 f10来说，UCFO算法寻优能力比CFO-NM算法略差，但相差不大，对于函数 f12来说，UCFO算法寻优能力比CFO-NM算法差，但UCFO算法能够得到较满意结果，对于函数 f13来说，UCFO算法得到结果略差。

总之，UCFO算法寻优能力与CFO-NM算法基本相当。

但是UCFO算法在计算时间上远远优于其他三种算法，因此UCFO算法是有效的。

4.2 时间复杂性分析
在Δγ=0.1情况下，根据表1提供的参考值与上述给出的试验方案，将CFO算法与UCFO算法的执行CFO主体的次数与总的初始探测器个数进行比较，比较结果见表7，其中Nd表示优化问题的维数，Algorithms表示算法，NCC（Number of CFO’s calculations）表示执行CFO算法主体次数，TNIP（Total number
of initial probes）表示总的初始探测器个数。

从表7可以看出UCFO算法不论计算主体CFO算法的次数还是总的初始探测器个数大大少于CFO算法，这说明UCFO算法运行时间大大小于CFO算法运行时间。

虽然CFO算法的寻优能力较强，但是在算法实施过程中计算时间较长，为了克服
该缺点，本文提出了基于均匀设计CFO算法，主要策略是用均匀设计方法代替CFO算法产生初始探测器方法，从而减少了算法的计算时间，提高了算法的效率，而且保证寻优能力。

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