二维含真空非齐次不可压磁流体方程的爆破准则

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［ 2016－07－12 收稿日期］ ［ ］ 修回日期 2016－08－20 ［ 基金项目］ 江西省自然科学基金 （ NO． 20161BAB211002 ） ［ 通讯作者］ 男， 教授。主要研究方向： 计算数学。 王金林（ 1964 — ） ，
第3 期
陈亚金， 鲁 力， 王金林： 二维含真空非齐次不可压磁流体方程的爆破准则
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磁流体方程（ MHD） 描述导电流体在电磁场中的 运动状态， 在天体物理、 地球物理流体力学、 等离子物 理学等领域具有重要的物理应用背景。特别地， 当 H = 0时， MHD 方程就是经典的 即不考虑磁场的影响， Navierstokes 方程。接下来， 简单回顾关于非齐次不可 压 MHD 方程的一些研究进展。当初始密度不含真空 12］ 时， 文献［ 在 Besov 空间中分别得到了强解的局部 存在和整体存在性。考虑二维初边值问题， 即（ 1． 1） 中
2 磁扩散系数。当 Ω = Ｒ 时， 我们考虑式（ 1． 1） 的柯西
方程： （ ρu） t + div（ ρπ u） + p = μ u + H· H － 1 H 2 ， 2 － H + u · H － H · u = 0 H υ t divu = 0， divH = 0，
第 30 卷 第 3 期 2016 年 9 月
南昌航空大学学报： 自然科学版 Journal of Nanchang Hangkong University： Natural Sciences
Vol． 30 ， No． 3 Sep． ， 2016
二维含真空非齐次不可压磁流体方程的爆破准则
陈亚金，鲁 力，王金林
［ 文章编号］ 1001 － 4926 （ 2016 ） 03 － 0012 － 06
ห้องสมุดไป่ตู้
A Blowup Criterion for the TwoDimensional Nonhomogeneous Incompressible Magnetohydrodynamic Equations with Vacuum
CHEN Yajin，LU Li，WANG Jinlin
（ School of Mathematics and Information Sciences，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063 ，China）
Abstract ： This paper establishes a blowup criterion for strong solutions to the Cauchy problem of the twodimensional nonhomogeneous incompressible magnetohydrodynamic（ MHD） equations with vacuum as far field density． The criterion is only in terms of the spatial weighted density，and is independent of both the velocity and the magnetic field． In particular，the initial data is not imposed any additional compatibility conditions and the initial density can contain vacuum states and even have compact support． Key words： nonhomogeneous incompressible magnetohydrodynamic equations； vacuum； blowup criterion； Cauchy problem
Δ Δ Δ Δ Δ Δ ρ1 + div（ ρu） = 0，
u， H ） 趋于 0， u0 问题， 在无穷远处 （ ρ， 给定初值 ρ0 ， 和 H0 ， 0） = ρ0 u0 （ x） ， 0） = ρ0 （ x） ， ρu（ x， ρ（ x ， H（ x， 0） = H0 （ x） ， x ∈ Ｒ2 （ 1． 2）
引
言
本文考虑如下二维 （ 2D ） 非齐次不可压磁流体
x2 ） ∈ΩＲ2 ， t） ， u2 ） （ x， x = （ x1 ， u = （ u1 ， 其中， ρ = ρ （ x， t） ， p = p （ x， t） ， H2 ） （ x， t） ， H = （ H1 ， 速 分别表示密度、 度、 磁场、 压强， 常数 μ ＞ 0 和 v ＞ 0 分别为粘性系数和
（ 南昌航空大学 数学与信息科学学院 ，南昌 330063 ）
［ 摘
要］ 本文建立了初始密度含真空的二维非齐次不可压磁流体方程柯西问题强解的爆破准则 ， 该准则仅与密度有关， 而
与速度和磁场无关。特别地， 本文的结果无需初值满足一定相容性条件 ， 且初值密度允许具有紧支集 。 ［ 关键词］ 非齐次不可压磁流体方程 ； 真空； 爆破准则； 柯西问题 ［ 中图分类号］ O175． 29 ［ 文献标志码］ A doi： 10． 3969 / j． issn． 10014926． 2016． 03． 003
2 的 ΩＲ 为有界光滑区域， 假设初值满足如下相容性
t→T*
σ lim ρx 珋
t； L ɕ （ Ｒ2） L ɕ （ 0，
= ɕ
其中 σ ＞ 0 为任意常数。 为此， 对于二维不可压 MHD 方程式（ 1． 1） 、 式（ 1． 2） ， 本文的目标是建立强解仅与加权密度有关的爆破 准则。 首先， 我们给出本文常用的一些记号。对于 1 ≤ r≤ɕ ， s≥1， 记 Lebesgue 和 Sobolev 空间如下：
r r 2 Lr = Lr （ Ｒ2 ） ， = Ws， （ Ｒ2 ） ， Ws， Hs = Ws，
假设初始密度 ρ0 满足 不失一般性，
条件： divu0 = divH0 = 0，－ Δu0 +