山东省滕州市高考补习学校2017届高三数学上学期第二周周周清检测试题

山东省滕州市高考补习学校2016-2017学年第一学期第二周周周清同步检
测数学试题
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为（ ） A ．{﹣2}
B ．{2}
C ．{﹣2，2}
D ．{﹣2，0，2}
2.若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件
3.已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，
)(log )(2
1x x f --=，则方程02
1
)(=-
x f 在)6,0(内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16
4.已知函数()f x =22,x x ex x e ⎧--<⎪⎨⎪⎩0
≥0
,x ，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程
()||0()f x a x a R -=∈有三个不同的实数根，则()||0f x a x -=的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．以上都有可能
5.等差数列{a n }的第5
项是二项式（
﹣）6
展开式的常数项，则a 3+a 5+a 7为（ ）
A ．3
B ．5
C ．8
D ．9
6.已知cos 1123πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值是 (A)
13
(B) 3 (C) 13
-
(D) 3-
7.已知平面向量a ，b ，c ， (1,1)a =-，(2,3)b =，(2,)c k =-，若()//a b c +，则实数k =（ ） A ．4 B ．－4 C ．8 D ．－8
8.若直线2ax+by ﹣2=0（a ，b ∈R +
）平分圆x 2
+y 2
﹣2x ﹣4y ﹣6=0
，则
+的最小值是（ ） A ．1
B ．5
C ．
4
D ．
3+2
9.如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．12π
D ．24π
10.执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
11.已知圆C ：（x ﹣1）2
+（y ﹣2）2
=2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y=2x+b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b=（ ）
A ．
B ．±
C ．
D ．±
12.已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的标准方程是（ ） A ．2
2y ax = B ．2
4y ax = C ．2
2y ax =- D ．2
4y ax =-
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13.设α=
⎰
，tan 3β=，则()tan αβ+= ．
14.二项式5
2ax
⎛ ⎝
的展开式中常数项为160，则a 的值为 ．
15.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
θ=
，现在向该正方形区域内随机地投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率
是____． ,
16.已知复数z 满足(1)1i z i +=-，则复数z =____．
17.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了． 三、解答题
18.（本小题满分14分）（理）（1）已知120,0x x >>且121x x +=，求121222log log x x x x +的最小值；
（2）已知0(1,2,3,4)i x i >=且12341x x x x +++=，求证：
121222323424log log log log 2x x x x x x x x +++≥-；
（3）已知0(1,2,3,4,5,6,7,8)i x i >=且12381x x x x ++++=，类比（2）给出一个你认为正确
的结论，并证明你的结论。

19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1)1n n q S qa -+=，且(1)0q q -≠. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列. 20.
（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．
已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ
=-+-∈．
（1）化简并求函数()f x 的最小正周期； （2）求使函数()f x 取得最大值的x 集合．
21.如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交
CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE . 将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使
平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE . （Ⅰ）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；
（Ⅱ）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．
22.已知函数()f x =alnx+x 2
+bx+1在点(1,f(1))处的切线方程为4x −y −12=0。

（1）求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间和极值。

23.O 为坐标原点，已知向量1OZ ,2OZ 分别对应复数z 1 , z 2 , 且z 1=23
(10)5
a i a +-+ z 2=2
(25)1a i a
+--(a ∈R), 1z +z 2 可以与任意实数比较大小，求12OZ OZ ∙的值。

试卷答案
1.D
【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题．
【分析】根据B ⊆A ，利用分类讨论思想求解即可． 【解答】解：当a=0时，B=∅，B ⊆A ；
当a≠0时，B={
}⊆A ，
=1或
=﹣1⇒a=﹣2或2，
综上实数a 的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}． 故选D ．
【点评】本题考查集合的包含关系及应用．注意空集的讨论，是易错点． 2.C
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C
【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 3.C
【知识点】函数图象零点与方程
【试题解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x);所以当
时，
，
得到：时，所以令得:
又的图象关于直线
对称，
所以
所以
所以函数的周期为4。

所以令
，得：
故方程在内的零点之和为：12．
4.C .
试题分析：由关于x 的方程()||0()f x a x a R -=∈有三个不同的实数根，可得：()||0f x a x -=的零点个数为3个，，故应选C . 考点：1、函数与方程；2、分段函数； 5.B
【考点】二项式定理的应用． 【专题】计算题；二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，即得a 5的值．再根据等差数列的性质求得a 3+a 5+a 7的值．
【解答】解：二项式（﹣
）6
展开式的通项公式为
T r+1=
．
令6﹣3r=0，r=2，故展开式的常数项为T 3=
．
由题意可得，等比数列{a n }的第5项为展开式的常数项，即a 5=，
∴a 3+a 5+a 7=3a 5=5， 故选：B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等差数列的性质应用，属于中档题． 6.A
5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
＝cos 1123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
7.D.
试题分析：∵(1,4)a b +=，()//a b c +，∴4(2)8k =⨯-=-，故选D 考点：平面向量共线的坐标表示. 8.D
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】不等式的解法及应用；直线与圆．
【分析】求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a ，b 的关系，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，
即圆心为（1，2），
∵直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，
∴直线过圆心，
即2a+2b﹣2=0，
∴a+b=1，
则+=（+）（a+b）=2+1+，
当且仅当，即a=时取等号，
故+的最小值是3+，
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用直线和圆的位置关系得到a+b=1是解决本题的关键．9.B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】几何体为直三棱柱，作出直观图，根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置，计算半径．
【解答】解：由三视图可知该几何体为直三棱柱ABC﹣A'B'C'，
作出直观图如图所示：则AB⊥BC，AB=BC=2，AA'=2．∴AC=2．
∴三棱柱的外接球球心为平面ACC'A'的中心O，
∴外接球半径r=OA=AC'==．
∴外接球的表面积S=4π×=12π．
故选B．
【点评】本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征，属于中档题．
10.D
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输
出S 的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2
不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5
满足条件k ＞4，S=sin =，
输出S 的值为． 故选：D ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 11.D
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】由题意，圆心到直线y=2x+b 的距离为1，建立方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意，圆心到直线y=2x+b 的距离为1，
∴=1，
∴b=±，
故选：D ．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 12.B
试题分析：以(,0)F a 为焦点的抛物线的标准方程为2
4y ax . 考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程.
13.－2
试题分析：由0
4π
α=
=⎰
，则tan
tan 134tan 24131tan tan 4
π
βπβπβ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-. 考点：1.定积分；2.两角和的正切公式；
14.2
考点：二项式定理. 15.2
31-
试题分析：由题可知，设大正方形的边长为2，则大正方形的面积为4，由于直角三角形中的一角为
︒30，则两条直角边分别为1和3，故小正方形的边长为13-，则小正方形的面积为
324)13(2-=-=s ，因此飞镖落在小正方形内的概率为2
3
14324-=-=
P ； 考点：几何概型概率模型 16.i -
试题分析：由题可知，i i
i i i i i z -=-=-+-=+-=
2
2)1)(1()1(112； 考点：复数的运算 17.乙 ，丙
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

18.（1）解：设22()log (1)log (1)f x x x x x =+--(01)x <<， 则2222'()log log log (1)log f x x e x e =+---2log 1x
x
=-， 当102x <<
时，011x x
<<-，'()0f x <，
当
112x <<时，11x x
>-，'()0f x >， 所以1
()()12f x f ≥=-，所以121222log log x x x x +1()1f x =≥-，
且当121
2
x x ==时，取“=”，所以121222log log x x x x +的最小值是1-；
（2）证明：设1234,x x m x x n +=+=，
则0,0,m n >>且
312
41,1,1x x x x m n m m n n +=+=+=， 由（1）得到：112222log log 1x x x x
m m m m
+≥-①，
334422log log 1x x x x
n n n n
+≥-②， 22log log 1m m n n +≥-③，
由①式得12122222(log log )(log log )x x m x x m m -+-≥-得到：
1212222log log log x x x x m m m +≥-+
同理：由②得到：3234242log log log x x x x n n n +≥-+，
所以12122232342422log log log log ()(log log )x x x x x x x x m n m m n n +++≥-+++， 由③式和1m n +=得到：121222323424log log log log 2x x x x x x x x +++≥-； （3）结论：若0(1,2,3,4,5,6,7,8)i x i >=且12381x x x x ++++=，
则121222323828log log log log 3x x x x x x x x +++
+≥-。

证明：设12345678,x x x x m x x x x n +++=+++=，则0,0m n >>，且
35678124
1,
1,1x x x x x x x x m n m m m m n n n n
+=+++=+++=，由（1）和（2）得到： 22log log 1m m n n +≥-，
331122442222log log log log 2x x x x x x x x
m m m m m m m m +++≥-， 556677882222log log log log 2x x x x x x x x
n n n n n n n n
+++≥-， 所以：12122232382822log log log log 2()(log log )3x x x x x x x x m n m m n n ++++≥-+++≥-
19.（1）a n ＝q
n －1
；（2）证明详见解析.
考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式、等差中项.
20.（1）T π= （2）5|,12
x x k k Z p p 禳镲
=+?睚镲铪
考点：
余弦的倍角公式，辅助角公式，函数的周期，函数取最大值时自变量的取值情况.
21.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）BG 与平面BCD 试题分析：（Ⅰ）由已知 CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD
及BC AE //交CD 于点E .
得到四边形ABCE 是边长为2的正方形. BE AC ⊥，AE DE ⊥.
再据平面ADE ABCE ⊥平面，平面ADE ABCE AE ⋂=平面，
得到DE ABCE ⊥平面 ，DE AC ⊥，AC DBE ⊥平面，得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥，以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）
由CE AB //，得到 DAE AB 面⊥，从而2)]2(2
1[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([3
1)2(3122+--=+-=x x x ，根据1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点.
G 也是AD 的中点，求得 )1,0,1(G ，)1,2,1(--=. 设),,(z y x =是面BCD 的法向量.由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅0
22)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x x z y x BC n ，令
1=y ，得
………………………7分
则)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D
设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）
∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥ …………………8分 ∴2)]2(2
1[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([3
1)2(3122+--=+-=x x x ………………………9分 ∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点.
∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG .…10分 设),,(z y x =是面BCD 的法向量.
则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅0
22)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x x z y x
令1=y ，得)1,1,0(= ………………………11分
设BG 与面BCD 所成角为θ
则||sin 6||||
BG n BG n θ⋅=== ∴BG 与平面BCD 所成角的正弦值为
6. ………………………13分 考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积；3.空间向量方法.
22.(1) 110ln 12)(2+-+=x x x x f ；(2) )(x f 在区间(0,2)和(3,)+∞单调递增，在区间(2,3)单调递减,12ln 215,12ln 320f f =-=-极小值极大值.
试题分析：(1)求函数的导数，由8)1(,4)1('-==f f 列出方程组即可求,a b 的值，从而可求出函数解析式；（2）先求函数的定义域，在定义域是解不等式()0f x '>与()0f x '<可得函数的单调区间，由单调性可求出极大值点与极小值点，从而可求极大值与极小值.
试题解析：（1）求导b x x
a x f ++=2)('，由题8)1(,4)1('-==f f 则⎩
⎨⎧=++=-=+=42)1('82)1(b a f b f ，解得⎩⎨⎧-==1012b a 所以110ln 12)(2+-+=x x x x f
（2）)(x f 定义域为),0(+∞，x
x x x x x f )65(210212)('2+-=-+= 令0)('>x f ，解得32><x x 或，
所以)(x f 在区间(0,2)和(3,)+∞单调递增，在区间(2,3)单调递减.
故203ln 12)3(,152ln 12)2(-==-==f f f f 极小值极大值
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值.
23.由题意知1z +z 2 为实数，213(10)5
z a i a =--+，
得1z +z 2 =
232[(10)(25)]51a a i a a
++-+-+-的虚部为0，∴a 2+2a-15=0 , 解得a=- 5 或a= 3 ；又分母不能为0，∴a= 3 ，此时，z 1 = 38
+ i , z 2 = - 1 + i , 1OZ = ( 38 ，1） 2OZ = （- 1 , 1 ) , 12OZ OZ ∙= 58 略。