北师大版数学必修四课时作业 第1章 学业质量标准检测(A)

第一章 学业质量标准检测(A)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( C ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角
[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．
2．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5x ，则tan α＝( D )
A ．4
3
B ．34
C ．－3
4
D ．－43
[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝1
5x <0，即x <0.
又cos α＝1
5x ＝
x x 2＋16
，解得x ＝－3，
∴tan α＝4x ＝－4
3
.
3．如果cos (π＋A )＝－1
2，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( B ) A ．－1
2
B ．12
C ．－
3
2
D ．
32
[解析] 由cos (π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝1
2，
∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝1
2
. 4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α
2是( C )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α
2<0.
∴α
2
是第三象限角． 5．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝⎛⎭⎫0，π
2上的增函数的是( A ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x
2
D ．y ＝|sin x |
[解析] y ＝tan x 为T ＝π的奇函数，且在⎝⎛⎭
⎫0，π
2上是增函数． 6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π
2
－α)tan 2(2π－α)
cos (π2－α)cos (π
2＋α)sin (π＋α)
＝( B )
A ．3
5
B ．53
C ．4
5
D ．54
[解析] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－3
5，
x 2＝2.则sin α＝－3
5
原式＝
cos α(－cos α)tan 2α
sin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.
7．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π
3，
则ω的值为( A )
A ．3
B ．32
C ．2
3
D ．13
[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π
3
，得ω＝3.故应选A ．
8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π
6)＝( A )
A ．1
2
B ．
32
C ．0
D ．－12
[解析] 本题考查递归运算，诱导公式． f (236π)＝f (176π)＋sin 176π ＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π
＝f (56π)＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π
＝0＋12－12＋12＝12
.
9．设函数f (x )＝cos (x ＋π
3)，则下列结论错误的是( B )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在(π
2
，π)单调递减
[解析] A 项，因为f (x )＝cos (x ＋π
3)的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，
A 正确．
B 项，因为f (x )＝cos (x ＋π3)图像的对称轴为直线x ＝k π－π
3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关
于直线x ＝8π
3
对称，B 项正确．
C 项，f (x ＋π)＝cos (x ＋4π3)．令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π
6，
所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
，C 项正确．
D 项，因为f (x )＝cos (x ＋π3)的递减区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )，递增区间为[2k π＋2π
3，
2k π＋5π3](k ∈Z )，所以(π2，2π3)是减区间，[2π
3
，π)是增区间，D 项错误．
10．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( B ) A ．[－π，0]上的增函数 B ．⎣⎡⎦⎤－34π，π
4上的增函数 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π
2上的增函数 D ．⎣⎡⎦⎤π4，54π上的增函数
[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x －π4 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π
4
后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦
⎤－34π，π4上是增函数．
11．函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )
A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋3
4，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋3
4，k ∈Z D ．⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z [解析] 由五点作图知，⎩⎨⎧
14ω＋φ＝π2
，54ω＋φ＝3π
2
，解得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos (πx ＋π
4
)，
令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为(2k －1
4
，2k
＋3
4
)，k ∈Z ，故选D ． 12．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭
⎫3π8＝( C ) A ．－2 B ．－2 C ．2
D ．2
[解析] 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫
12ωx ，且g (x )最小正周期为2π， 所以1
2
ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，
所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝A sin π4＝2
2A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫3π8＝ 2.故选C ．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是__18__. [解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝l
α
＝6.
根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝1
2
×6×6＝18.
14．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当
x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (53π)＝2
[解析] 由题意可知f (53π)＝f (53π－2π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝3
2
.
15．设f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2
.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x <0，sin x (0≤x <π)，则f ⎝⎛⎭⎫－154π＝2
[解析] ∵T ＝3π2，∴kT ＝k ·3π
2(k ∈Z )都是y ＝f (x )的周期，
∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎣⎡⎦⎤(－3)×3π2＋3π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝sin π4＝2
2. 16．下列命题中，正确命题的序号是__①④__. ①函数y ＝sin |x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期是π
2. ④y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋5π
2是偶函数． [解析] ②中y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋1
2的周期为π.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝2
4
m ，求cos θ与tan θ的值．
[解析] 由题意可知m
m 2
＋3
＝2m 4，
∴m ＝0或5或－ 5.
(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－
64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝15
3
. 18．(本题满分12分)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin α
tan αsin α
.
[解析] 方法一：
∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)
(tan α－sin α)tan αsin α＝
tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin α
tan α－sin α＝左边，
∴原等式成立．
方法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α
1－cos α
，
右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，
∴左边＝右边，原等式成立．
19．(本题满分12分)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像的一段如图所示，求它的解析式．
[解析] 由图像可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π
3，
∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32
.
将N (π6，－2)代入y ＝2sin (3
2x ＋φ)得，
2sin (32×π
6
＋φ)＝－2，
∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π
4(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－3π4
.
求φ值也可以用下面这种方法． 取P (π2，0)代入y ＝2sin (3
2x ＋φ)，得
2sin (32×π
2
＋φ)＝0.
∵3π
4
＋φ＝k π，k ∈Z .又|φ|<π， ∴φ＝－3π4或φ＝π
4
，
而y ＝2sin (32x ＋φ)过(π6，－2)，∴φ＝－3π
4.
∴函数的解析式为y ＝2sin (32x －3π
4
)．
20．(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin (2x ＋π
6)＋a ＋1(a 为常数)．
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若当x ∈[0，π
2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；
(3)求出使f (x )取得最大值时x 的取值集合．
[解析] (1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z ，所以f (x )
的单调递增区为[k π－π3，k π＋π
6
](k ∈Z )．
(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，76π]，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )有最大值a ＋3＝4，
所以a ＝1.
(3)当sin (2x ＋π6)＝1时f (x )取得最大值，此时2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π
6，k ∈
Z ，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π
6
，k ∈Z }．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.
(1)求实数a 的值；
(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin (2x ＋π
3
)＋a ，
x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6⇒2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， ∴12≤sin (2x ＋π
3
)≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )max ＝2＋a f (x )min ＝1＋a
，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2sin (2x ＋π3)．将函数y ＝2sin (2x ＋π3)的图像先向右平移π
6个单位，再把
所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的1
2
倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．
22．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x
2|cos x |
. (1)判断f (x )的奇偶性；
(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；
(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π
2
(k ∈Z )．
∴函数定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，
且f (－x )＝
sin (－x )2|cos (－x )|
＝
－sin x
2|cos x |
＝－f (x )， ∴此函数为奇函数．
(2)f (x )＝
sin x
2|cos x |＝⎩⎨⎧
2
2tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，－22tan x ⎝⎛⎭
⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，
图像如图所示，
(3)T ＝2π，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎦
⎤π
2，π.。