一、正项级数及其审敛法共27页

n 1
n 1
(2若 ) u n发 ,则 散 vn发 . 散
n 1
n 1
大收小收, 小发大发.
例2
判断级数
2n
n1
sin3xn
的敛散性.
( 0 < x < 3 )
解
由于 02nsi3 x n n2n3 xn 3 2 nx,
又 2nxx2n,
n13
n13
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义
定义 若级数 u n 满足
n 1
u n 0( n 1 ,2 , ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
(2) > 1 ( 包括 = ) 时, 级数发散；
(3) = 1 时, 不能由此断定级数的敛散性.
例6
判别级数
n 1
x2n n2
的敛散性, 其中, x 0 为常数.
解
记
un
x2n ，则 n2
x2(n1)
limun1 n un
lnim (nx21n)2
ln im (nn2x12)2 x2
81p91p 115 p 81p81p 81p
81p1 21p13
……………………………………
于,是 P级数加括号数 后的 生每 成一 的项 小于r以 21p11为公比的等应 比,项 级数 故当 p >1 时, P 级数收敛.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
综上所述, 当 0 < | x | 1 时, 原级数收敛, 当 | x | > 1 时, 原级数发散.
解 例7这是判 一个正别 项n 级 1级 x 数n nn n : !u 的 n数 xn n敛 n n!.((x x散 0 0)),性 当 0 n l ix u u m n n 1 e 时 n l , i原 x m ( n n 1 (n 1 ) 级 n 1 1 )!;x n n (数 n n! 1 nl im 收 )1xn1敛 n ex,
当 ex时 ,原级;数 (1发 ) 散
当 x e ( 1 时 ,)uunn1 1en1n
发散.
例5Байду номын сангаас
判别 级 1!2! 数 n!的敛 . 散性
n1 (2n)!
解 u n 1 ! 2 (!2 n )! n ! n (2 (n n ) !! )
2 (n 1 )n ( 1 2 ) (2 n 1 )2(n11 )n (2)vn
1
而
nl im 2(n11)(n2)
1, 2
即01 ,
2
n2
1
1
1
n
Snkn 12k11kn 121k
2 2 1 1
1
1 2n
1
2
即其部分和数列 {Sn} 有界,
从而,
级数
1 n12n 1
收敛 .
3. 正项级数敛散性的比较判别法
设有正 项 un与 级 v数 n,
n1
n1
且 0 un vn ( n = 1, 2, … )
(1若 ) vn收 ,则 敛 u n收 . 敛
n2
即 = x2 , 由达朗贝尔判别法：
需要讨论 x 的取值范围
当 0 < | x | < 1 时, < 1, 级数收敛.
当 | x | > 1 时, > 1, 级数发散.
当 | x | =1 时, = 1, 但原级数此时为
x2n
n1 n2
n1n12
这是 n = 2 的 P 级数, 是收敛的.
2.正项级数收敛的充要条件
定理
正项级数 un
收敛
n1
它的部分和数{列 Sn} 有界.
正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列必有极限
在某极限过程中有极限的量必有界
例1
级数
1
是否收敛？
n1 2n 1
解
该级数为正项级数,
又有
1 1 2n 1 2n
(n =1, 2, …)
故 当n 1 时, 有
n 1
n 1
(3 ) 时 , v n发 散 u n发 . 散
n 1
n 1
例4
判别级数
n1
1 n2 a2
的敛散性 ( a > 0 为常数).
1
解 因为 lim n2 a2 1 ( 即 = 1 为常数 )
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故
原级数
n1
1 n2 a2
例3
1
讨论 P 级数 n 1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P 级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有 01 1 , n np
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故p1时 , P级数是.发散的
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
一、正项级数及其审敛法
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
4.比较判别法的极限形式
设有 设 正和 项 un与 为 级v数 n,两 ,且 vn 个 0(n 正 1 ,2 , 项 ; 级
n1
n1
或从 N 0开 某 )若 .始 一 n l iu v m n n 项 ,则
(1) 0 时 ,un与 vn具有相同 . 的
n1
n1
(2 ) 0 时 , v n收 敛 u n收 . 敛
由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：
n 12(n11 )n (2)n 1vn 收,敛 从而原级 . 数
5.达朗贝尔比值判别法
利用级数本身 来进行判别.
设 u n为
n 1
正 ,极 项 liu 限 n m 1 级 存 ,数 则 在 n u n
(1) < 1时, 级数收敛；
n 1 n 1 p 1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 7 1 p
81p91p 11p5
而 2 1 p 3 1 p 2 1 p 2 1 p 2 1 p 1
41p51p 71p 41p41p41p41p 41p1 21p12