《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

第六章 刚体的基本运动 习题全解
[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为3
34t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。

试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：
角速度： 2394)34(t t t dt d
dt d -=-==
ϕω 角加速度：t t dt
d
dt d 18)94(2-=-==ωα
速度： )94(2
t r r v -==ω
)/(2)094(5.0|2
0s m r v t =⨯-⨯===ω
)/(5.2)194(5.0|2
1s m v t -=⨯-⨯==
切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα
法向加速度：22222
)94()]94([t r r
t r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=
)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。

即：
0)94(2=-=t r v )(667.0)(3
2
s s t ==
[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。

后因刹车，该点以
)/(1.02s m t a t =作减速运动。

设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及
ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。

解：
t dt
d a t 1.04.022-===ϕ
ρα （作减速运动，角加速度为负）
t dt d 25.02
2-=ϕ
12125.0C t dt
d +-=ϕ
2130417.0C t C t ++-=ϕ
12124.005.0)125.0(4.0C t C t dt
d R v +-=+-⨯==ϕ
104.0005.0|120=+⨯-==C v t
图
题46-251=C
0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕ
t t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ
速度方程：1005.02
+-=t v
)/(8.910205.0|2
2s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|2
2s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：2
22)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω
)/(1.240)252125.0(4.0|2
222s m a t n =+⨯-⨯==
[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。

经过５分钟后，转子的角加速度为)/(600s rad πω=。

试求转子在这段时间内转了多少转？
解：kt dt d ==ωα 122C kt +=ω 020|120=+⨯==C k t ω 01=C 22
kt =ω
π
ω6002300|2
300=⨯==k s t
75300
60022
π
π=⨯=k 150
22
2t kt πω==
1502t dt d πϕ=
233
150C t +=πϕ 03
0150|230=+==C t πϕ
02=C
4503
t πϕ= ππϕ60000450300
|3
300=⨯==s t ， 转数)30000260000N r （＝ππ
[习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆
m AB 8.0=，
Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。

在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。

设运动开始时，角0=ϕ。

求运动过程中角ϕ与时间的关系。

并求点Ｂ的轨
迹方程。

解：
ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。

05.0=⋅==ωOA v v B A
05.05.1=⋅ω
30
15.1/05.0=
=ω
30
1
5.1/05.0=
=dt d ϕ dt d 301=ϕ
1301
C t +=ϕ
00301
|10=+⨯==C t ϕ
01=C 故
t 301=ϕ
30
cos
5.1cos 5.1t
x x A B ===ϕ………………….(a) 8.030
sin 5.18.0sin 5.18.0-=-=-=t
y y A B ϕ………(b)
由(a) 、(b)得：
1)5.18.0()5.1(22=++B B y x ，即Ｂ点的轨迹方程为： 1)5
.18.0()5.1(22=++y x （圆）
[习题6-5] 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座Ａ，Ｂ，Ｃ与支轴ａ，ｂ，ｃ都恰成等边三角形，如题6-3附图所示。

三个曲柄长度相等，均为mm l 150=，并以相同的转速
min /45r n =分别绕其支座在图示平面内转动。

求揉桶中心点Ｏ的速度和加速度。

解：三根曲柄作定轴转动，揉桶作刚体平动，故a 与O 的速度、加速度相同。

2
33045602π
ππω=
⨯==n
)/(7075.70614.32
3
150s mm l v a ≈=⨯⨯==ω
)/(707s mm v v a O ≈=
24421500150ωωωαρ=+⨯=+=a )/(3328)14.35.1(15022s mm a a =⨯⨯=
)/(33282s mm a a a O ==
[习题6-6] 刨床上的曲柄连杆机构如题6-６附图所示，曲柄ＯＡ以匀角速ω０绕Ｏ轴转动，其转动方程为φ＝ω０ｔ。

滑块Ａ带动摇杆Ｏ１Ｂ绕轴Ｏ１
转动。

设ＯＯ１＝ａ，ＯＡ＝ｒ。

求摇杆的转动方程和角速度。

解：
t r a t
r 00cos sin tan ωωϕ+=
故摇杆的转动方程为：
t
r a t
r 00cos sin arctan
ωωϕ+=
2
0000000
200)cos ()sin (sin )cos (cos )
cos sin (11
t r a t r t r t r a t r t
r a t r dt
d ωωωωωωωωωϕω+-⋅-+⋅⋅++==
t
ar r a t
ar r t r t r t ar a t r t r t ar 02
2
0002022022020202020200cos 2cos sin cos cos 2sin cos cos ωωωωωωωωωωωωωω+++=+++++=
[习题6-7] 槽杆ＯＡ可绕一端Ｏ转动，槽内嵌有刚连于方块Ｃ的销钉Ｂ，方块Ｃ以匀速率沿水平方向移动。

设ｔ＝０时，ＯＡ恰在铅直位置。

求槽杆ＯＡ的角速度与角加速度随时间ｔ变化的规律。

解：销钉Ｂ与Ｃ同在一方块上作刚体的平动，故它们的速度 度相同。

b t
v C =
ϕtan b
t
v C arctan
=ϕ 角速度： 2
2222222)
(11t v b bv b v t v b b b v b
t v dt
d C C C C C C +=⋅+=⋅+==ϕω 角加速度：2
2223
2
2222222)
(22)(1)(t v b t bv t v t v b bv t v b bv dt d dt d C C C C C C C +-=⋅+⋅-=+==ωα [习题6-8] 带传动系统如图所示,两轮的半径分别为ｒ１＝７５０ｍｍ,ｒ２＝３００ｍｍ，轮Ｂ由静止开始转动，其角加速度为０.４πｒａｄ／ｓ２。

设带轮与带间无滑动，问经过多少秒后Ａ轮转速为３００ｒ／ｍｉｎ？ 解：
πω4.01
=dt
d dt d πω4.01=
114.0C t +=πω
004.0|101=+⨯==C t πω
01=C
t πω4.01=
30
6024.0111π
ππωn n t =
⋅
== 30
4.01
n t =
t n 121=
传速比：
1
2
21r r n n = 750300
30012=
t )(10s t =
[习题6-9] 两轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１００ｍｍ，ｒ２＝１５０ｍｍ，平板ＡＢ放置在两轮上，如图所示。

已知轮Ⅰ在某瞬时的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝０.５ｒａｄ／ｓ２
，求此时平板移动的速度和加速度以及轮Ⅱ边缘上一点Ｃ的速度和加速度（设两轮与板接触
处均无滑动）。

解：
平板作平动，其速度、加速度与轮Ｉ的轮缘切向速度与切向加速度分别相同。

)/(200210011s mm r v AB =⨯==ω )/(505.0100211s mm r a AB =⨯==α
3
2
1501002112===r r ωω )/(3
42323212s rad =⨯==ωω
AB C v s mm r v ==⨯
==)/(2003
4
15022ω )/(502s mm a a AB t ==
)/(67.266150
20022
22s mm r v a n ===
)/(271)/(3.27167.2665022222
2s mm s mm a a a n t ≈=+=+=
[习题6-10] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。

各轮半径分别为ｒ１＝３００ｍｍ，ｒ２＝７５０ｍｍ，ｒ３＝４００ｍｍ。

轮Ⅰ的转速为ｎ＝１００ｒ／ｍｉｎ。

设带轮与带之间无滑动，试求物块Ｍ上升的速度和带ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ各段上点的加速度的大小。

解： 传速比：
)/(47.1030
14
.310060211s rad n =⨯=⨯
=πω 4.05
27503002112====r r n n m in)/(401004.04.012r n n =⨯==
)/(187.430
14.34060222s rad n =⨯=⨯
=πω )/(1675187.440023s mm r v M =⨯==ω 0==CD AB a a （皮带作匀速度运动）
BC 带：
022===
dt d r dt dv a tBC ω )/(2.13148.13187.475.0222222
2s m r r v a BC nBC
≈=⨯===ω )/(2.132s m a a nBC BC ==
ＤＡ带：
011===
dt d r dt dv
a tDA ω )/(9.32887.3247.103.0222112
2s m r r v a DA nDA
≈=⨯===ω )/(9.322s m a a nDA DA ==
[习题6-11] 摩擦传动的主动轮Ⅰ作６００ｒ／ｍｉｎ的转动，其与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向移动，距离ｄ按规律ｄ＝（１００－５ｔ）ｍｍ变化（ｔ以ｓ计）。

求：（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度；（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘
上一点的全加速度。

已知摩擦轮的半径ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ。

解：
（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度 主动轮轮缘速度：
)/(100060
260050s mm r v I I ππ
ω=⨯
⨯== )/(1000)5100(s mm t d v II II II πωω=-==
t
II 51001000-=
π
ω
)/()
5100(5000)5100(510002
2
2s rad t t II -=--⨯
-=ππα )/(500022
s rad d
II πα=
（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度
505100=-=t d ，即s t 10=时的切向加速度为：
)/(2)
105100(5000|2
2
10s rad t II ππα=⨯-=
= )/(3002150|210s mm R a II t II t ππα=⨯===
)/(60000)50
1000(150)51001000()(|222
22210s mm t R R R R v a II II t II
n πππω=⨯=-====
210210)|()|(|===+=t nII t tII r d a a a
)/(400001300)60000()300(|22222s mm a r d ππππ+=+==
[习题6-12]轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１５０ｍｍ，ｒ２＝２００ｍｍ，铰连于杆ＡＢ两端。

两轮在半径Ｒ＝４５０ｍｍ的曲面上运动，在图示瞬时，Ａ点的加速度2
/1200s mm a A =，A a 与ＯＡ成６０°角。

试求：（１）ＡＢ杆的角速度与角加速度；（２）
Ｂ点的加速度。

解：
（１）求ＡＢ杆的角速度与角加速度
3
1
30tan 0==
At An a a an At a a 3=
1200232
222==+=+=An An An An At A a a a a a a
)/(6002s mm a An =
6001
2=+r R v A
)/(600)150450(600)(6001s mm r R v A =+=+=
600)(1=+AB r R ω
)/(1150
450600
6001s rad r R AB =+=+=
ω )/(360032s mm a a an At ==
3600)(1=⋅+AB r R α
)/(732.13150
4503
600360021s rad r R AB ≈=+=+=
α
（２）求Ｂ点的加速度
)/(36503)200450()(22s mm r R a AB Bt =+=⋅+=α
)/(6501)200450()(222
2s mm r R a AB Bn =⨯+=⋅+=ω
)/(130********)3650(22222s mm a a a Bn Bt B =⨯=+=+=
[习题6-13] 以匀速率ｖ拉动胶片将电影胶卷解开。

当胶卷半径减小时，胶卷转速增加。

若胶片
厚度为δ，试证明当胶卷半径为ｒ时，胶卷转动的角加速度3
2
2r v πδα=。

证明：
设开始时，盘径为0r ，则经过时间t 之后，胶卷盘面积变化为：
vt r r ⋅=-δππ220，两边对t 求导得：
v dt
dr
r δπ=⋅
-2 r
v
dt dr πδ2-
= 又因为r v ω=，两边对t 求导得： dt
dr
r dt d ωω+=
0 )2(0r
v
r v r πδα-⋅+
⋅= 3
2
2r
v πδα= 本题得证。

[习题6-14] 刚体以匀角速度
s rad /2=ω作定轴转动。

沿转动轴的单位矢
→
→
→
→
++=k j i t 8.03316.05.0，体内一点Ｍ在某瞬时的位置矢→
→
→
→
++=k j i r 200800500
解：
)8.03316.05.0(2→
→→→→++==k j i t ωω →
→
→
→
++=k j i 6.16632.0ω
→
→→→
→→→
→
→+-==⨯=k j i k
j i r v 800
5006632.012005006.112008006.16632.0200
8005006.16632.01ω
)/(4.46860036.1147s mm k j i v →
→
→
→
++-=
0==
dt
d ω
α →
→
→
→
→
⨯+⨯=v r a ωα
→
→→
⨯=v a ω
→→→→
→
→
→
→
→
-+--=-=⨯=k
j i k
j i v a 600
36.11476632.014.46836.11476.114.4686006.16632.04
.46860036.11476.16632.01ω
→
→→→
+--=k j i a 93.1360176.230436.649
[习题6-15] 刚体绕固定轴按规定ω＝２πｔrad/s 转动，Ｏξ轴与ｘ，ｙ，ｚ轴的夹角分别为
６０°，６０°，４５°。

在ｔ＝２ｓ时，刚体上Ｍ点的坐标为（１００ｍｍ，１００ｍｍ，２００ｍｍ）。

求该瞬时Ｍ点的速度和加速度。

解： （１）求速度
→
→→→
++=k j i r 200100100
沿转动轴的单位矢
→
→
→
→
++=k j i t 0
45cos 60cos 60cos →
→
→
→
++=k j i t 7071.05.05.0
)7071.05.05.0(2→
→
→
→
→
++==k j i t t πωω →
→→→++=k t j t i t πππω2 →
→
→
=→
++=k j i t πππω2222|2
→→→→
→
++==k j i dt d πππω
α2
→→→→
→→→
→
→
⋅+⋅-⋅==⨯=k j i k
j i r v ππππππω2100100112200
1002
1220010021200
1001002222
)/(8824.3678824.367s mm j i v →
→→
-=
)/(368368s mm j i v →
→
→
-≈
11 （２）求加速度
s t 2=时，
→→→→++=k j i πππα2
→→→→++=k j i r 200100100
→→→→++=k j i πππω2222
→→→-=j i v 368368
→→→→→⨯+⨯=v r a ωα
→→→→→→
→→→+-==⨯=k j i k j i r a t πππππ
πα100100112001002120010021200100
1002 )/(9412.1839412.1832s mm j i a t →→→-=
→→→→→→→→→⋅+⋅-⋅==⨯=k j i k j i v a n ππππππω23683681120
36821203682103683682222 )/(273.3268273.32682s mm j i a n →→→+-=
)/()273.32689412.183()273.32689412.183(2s mm j i a →→→+-+-=
)/(332.3084332.30842s mm j i a →→→+-=
)/(308430842s mm j i a →→→
+-≈。