人教版数学高一-A版必修2练习 空间中直线与直线之间的位置关系

[A基础达标]
1．下列说法正确的个数是()
①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
A．3B．2
C．1 D．0
答案：C
2．已知a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()
A．与a，b都相交
B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交
D．至多与a，b之一相交
答案：C
3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A．全等B．相似
C．仅有一个角相等D．全等或相似
解析：选D.由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D.
4．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ＝2，QR＝5，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是()
A．90°B．60°
C．45°D．30°
解析：选A.由已知得PQ2＋QR2＝4＋5＝9＝PR2，所以∠PQR＝90°，又AC∥PQ，BD ∥QR，所以异面直线AC与BD所成角即为∠PQR.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()
A．不存在B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有无数条
解析：选D.如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与直线A1D1，EF，CD都有交点．
6．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．答案：相交或异面
7．在空间四边形ABCD中，AC＝BD，且AC⊥BD，则顺次连接各边中点，所得四边形是________．
答案：正方形
8．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在直线，b平行于AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则a，b所成的角为________．
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，
知a，b所成的角为∠BAC的补角，
所以a，b所成的角为60°.
答案：60°
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)∠BMC＝∠B1M1C1.
证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
所以MM1AA1.
又因为AA1BB1，所以MM1∥BB1，且MM1＝BB1.
所以四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
所以C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
所以∠BMC＝∠B1M1C1.
10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
所以EF∥CD，
所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，
所以AB＝AC＝1，
在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝1
2
，
所以BE ＝5
2
.
在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝1
2
，
所以EF ＝2
2
.
在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝5
2
.
在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝10
10
，
所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为10
10
.
[B 能力提升]
1．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选C.连接BC 1、A 1C 1，因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为
直线A 1B 与BC 1所成的角．
在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， 所以∠A 1BC 1＝60°.
故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.
2．在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别是边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角等于( )
A ．15°
B ．30°
C ．75°
D ．15°或75°
解析：选D.如图，设G 是AC 的中点，分别连接EG 、GF ，由已知得EG 1
2AB ，FG 12
CD ，所以∠EGF 是AB 和CD 所成的角或是其补角．
因为AB ＝CD ，所以EG ＝GF . 当∠EGF ＝30°时，
AB 和EF 所成角∠GEF ＝75°， 当∠EGF ＝150°时，
AB和EF所成角∠GEF＝15°.
3．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号)．
解析：
把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
4．(选做题)已知直线a，b，c，平面α，β满足α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，c∥a.求证：b，c为异面直线．
证明：法一：(重要结论法)如图．
因为c⊂α，a∩b＝A，α∩β＝a，
所以A∈a，A∈α，
而a∥c，所以A∉c.
在直线b上任取一点B(不同于点A)，
因为b⊂β，所以B∉α，
所以AB与c是异面直线，即b，c是异面直线．
法二：(反证法)如图．
假设b，c不是异面直线，即假设b，c在同一平面γ内，则b⊂γ，c⊂γ.
因为a∩b＝A，
所以A∈γ，即点A和直线c均在平面γ内．
因为a∥c，A∈a，
所以A∉c.
又因为c⊂α，A∈a，A∈α，
所以过直线c与直线c外一点A有两个平面α和γ，这与公理2的推论矛盾，故b，c 为异面直线．。