人教A版数学必修四第一学期阶段性考试.doc

三明市A 片区高中联盟2013-2014学年第一学期阶段性考试
高一数学试题
（考试范围：必修一、必修四）
（考试时间：2014年1月21日下午2：30-4：30 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. （ ）设集合{}1,0,2A =-，{}
1,2B =-，则A B =ð
A ．{}0
B ．{}1,2-
C ．{}1-
D ．{}
1,0,1,2- 2．（ ）设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是
A ．12e e =
B ．12e e ∥
C ．12e e =-
D ．12e e = 3．（ ）若()1cos 3
πα+=-，则cos α的值为
A ．1
3
B ．13-
C ．223
D ．223-
4. （ ）已知幂函数()f x x α=的图象过点(4,2)，若()3f m =，则实数m 的值为
A ．3
B ．3±
C ．9±
D ．9 5．（ ）函数sin 2y x =是 A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数
x
1 2 3
C A
y=g(x)
23
6．（ ）已知函数()y f x =的对应关系如
下表，函数()y g x =的图
象是如下图的曲线ABC ，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)则的()2f g ⎡⎤⎣⎦值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7．（ ）若集合{}
1A x y x ==-，{}22B y y x ==+，则A B = A ．[)1,+∞0 B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．()2,+∞
8. （ ）我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4﹪，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数的图象大致为：
A B C D
9．（ ）已知sin15cos15a =，2
2
cos sin 6
6
b π
π
=-，2tan30
1tan 30
c =
-，则,,a b c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．a c b <<
10．已知函数()1,0
1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩。

若m n ≠，则()()2m n m n f m n ++--的值
A ．一定是m
B ．一定是n
C ．是m 、n 中较大的数
D ．是m 、n 中较小的数 11．（ ）已知函数()2
()cos 1f x x m =-+在cos 1x =-时取得最大值，在cos x m =时取得最小值，则实数m 的取值范围是
A ．1m ≤-
B ．1m ≥
C ．0m 1≤≤
D ．10m -≤≤
12．（ ）函数()sin y x x R π=∈的总分图象如图所示，设O
为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，
则tan OPB ∠的值为
A ．10
B ．8
C ．87
D ．47
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷相应的位置上）
13．函数1
y x =的定义域为 。

14．已知A 为△ABC 的内角，且1
sin 2
A =
，则A= 。

15．若1a =，2b =，()
0a b a -=，则a 与b 的夹角为 。

16．函数()0a
y x x x
=+
>有如下性质：若常数0a >，则函数在(0,a ⎤⎦上是减函数，在)
,a ⎡+∞⎣ f (x) 2 3 0
o y x 231321o
y
x 231
32
1o
y
x 231
321o
y
x
231
321
上是增函数。

已知函数()m
f x x x
=+
（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是 。

三、解答题：(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程和解题过程.) 17．（本小题满分12分，共2小题，每小题6分）
（1）计算： ()
1
2
3
1ln 58lg 2lg 531e ⎛⎫-+-
-+++ ⎪-⎝
⎭ ；
（2）已知tan 2α=，求下列各式的值：
①tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭ ②sin cos sin cos αααα+-
18．（本小题满分12分）
已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；
（2）若A B ⊆,求实数m 的取值范围; （3）若A B =∅,求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
已知向量()sin ,2a α=-与()1,cos b α=，其中0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭。

（1）问向量,a b 能平行吗？请说明理由； （2）若a b ⊥，求sin α和cos α的值； （3）在（2）的条件下，若10cos ,0,102πββ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，求αβ+的值。

20．（本小题满分12分）
学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A （10，80），过点B （12，78）；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中C （40，50）.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳。

（1）试求()y f x =的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由。

21．（本小题满分12分）
已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=+>.的周期为π。

（1）若[)0,x ∈+∞，求它的振幅、初相；
（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在[]0,x π∈的图象；
（3）当[]0,x π∈时，根据实数m 的不同取值，讨论函数()()g x f x m =-的零点个数。

22．（本小题满分14分）
设函数)(x f 的定义域是R ，对于任意的,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，
0)(>x f ．
（1）求()0f 的值； （2）判断函数的奇偶性；
o
2π3
π3
π-2
-1
21
y x
（3）用函数单调性的定义证明函数()f x 为增函数；
（4）若()()2cos 2sin 220f f m θθ++--≥恒成立，求实数m 的取值范围．
三明市A 片区高中联盟2013-2014学年第一学期阶段性考试
高一数学试卷答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
D
A
D
A
B
C
D
A
C
C
B
二、填空题（每小题4分，共16分） 13、()0,+∞ 14、
6π或56
π
15、4π 16、[]12,20
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17、（本小题满分12分） 解：（1）原式=1+1-5+2+1 …………5分（每对一个给1分） =0 …………6分
（2）①原式=
tan tan
41tan tan
4
π
απ
α+-…………7分
=
tan 1
1tan αα
+-…………8分
=
21
312
+=--…………9分 ②原式=
tan 1
tan 1
αα+-…………11分
=
21
321
+=-…………12分 18、（本小题满分12分）
解：（I ）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x =-<<…………4分 （2）由A B ⊆知：21
13m m ≤⎧⎨
-≥⎩
…………6分
得2m ≤-，即实数m 的取值范围为(],2-∞-； …………8分（做成为开区间者扣一分）． （3）由A B =∅得：
①若21m m ≥-即1
3m ≥时，B =∅,符合题意， …………9分
②若21m m <-即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323
m m ⎧
<
⎪⎨⎪≥⎩，
得103m ≤<或∅，即1
03
m ≤<； …………11分
综上知：0m ≥
即实数m 的取值范围为[)0,+∞． …………12分（答案为者扣一分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）向量,a b 不能平行
若平行，需sin cos 20αα+=，即sin24α=-，而[]41,1-∉- 则向量,a b 不能平行 …………4分 （2）因为a b ⊥，所以sin 2cos 0a b αα=-=， …………5分
即sin 2cos αα=
又22sin cos 1αα+= …………6分 224cos cos 1αα∴+=，即21cos 5α=，24
sin 5
α∴=
又0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
255sin ,cos 55αα==
…………8分 （3）由（2）知255
sin ,cos 55
αα==
10cos ,0,102πββ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，得310sin 10β=
…………9分 则()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 510253102
5105102
=
-=-
…………11分 又()0,αβπ+∈，则34
π
αβ+= …………12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）当(]0,12x ∈时，设()
()2
1080f x a x =-+ …………1分
过点（12，78）代入得，12
a =- 则()()2
110802
f x x =-
-+ …………3分 当[]12,40x ∈时，设
y kx b =+，过点B （12，78）
、C （40，50） 得 1
90k b =-⎧⎨
=⎩
，即90y x =-+ …………6分 则的函数关系式为()()(](]21
1080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
…………7分 （2）由题意得，()2
012
11080622
x x <≤⎧⎪
⎨--+>⎪⎩或12409062x x <≤⎧⎨-+>⎩ …………9分 得412x <≤或1228x <<，即428x << …………11分 则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳。

…………12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）化为()2sin 3f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ …………1分
由T π=得，2ω=即()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ …………2分
（1）函数的振幅是A=2，初相为3
πϕ=； …………4分
（2）列表
x
12
π
3
π 712π
56
π π 23
x π
+
3π 2
π π
32π 2π
73
π ()f x
3
2 0
2-
3
…………8分
（3）函数()()g x f x m =-在[]0,x π∈的零点个数，即函数()[]2sin 20,3f x x x ππ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭与
函数y m =的交点个数，由（2）图象知：
①当2m <-或2m >时，函数()g x 无零点； ②当2m =±时，函数()g x 仅有一个零点；
③当23m -<<或32m <<时，函数()g x 有两个零点；
④当3m =时，函数()g x 有三个零点； …………12分 22．（本小题满分14分）
解：（I ）取0x y ==得，()00f = …………2分
(2)函数()f x 为奇函数，理由如下：已知函数的定义域为R
取y x =-代入，得()()()0f f x f x =+-，又()00f =，则()()f x f x -=- 即()f x 错误！未找到引用源。

为奇函数； …………5分 （3）证明：设12,x x R ∈且12x x <，则()()()()()212121f x f x f x f x f x x -=+-=- 由210x x ->知，()210f x x ->，则()()21f x f x > 则函数()f x 为R 上的增函数。

…………9分
（4）由()()2cos 2sin 220f f m θθ++--≥恒成立，又即()f x 错误！未找到引用源。

为奇函数
得：()()2cos 2sin 22f f m θθ+≥+恒成立。

又函数()f x 为R 上的增函数。

得2cos 2sin 22m θθ+≥+恒成立 …………11分 即21
cos sin 12
m θθ≤+-恒成立
设：()2221
111cos sin 1sin sin sin 12
2
22
y θθθθθ=+-=-+-=-- 令sin t θ=，则[]1,1t ∈-，即()[]2
11,1,12
y t t =-
-∈-，知1t =-时，min 2y =-， 则2m ≤-，即实数m 的取值范围为(],2-∞-． …………14分。