广东省汕头市高三数学第一次模拟考试试题 文(2021年整理)

广东省汕头市2017届高三数学第一次模拟考试试题文
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2017年汕头市普通高考第一次模拟考试试题
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合20x A x x ⎧-⎫
=≤⎨⎬⎩⎭
，{}0,1,2,3B =,则A B =( ）.
A ．｛1，2}
B ．{0，1,2｝
C ．｛1}
D ．｛1,2，3} 2.已知
21z
i i
=--，则在复平面内,复数z 对应的点位于（ ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3。

一个袋中有大小相同，编号分别为1，2,3，4，5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）. A ．
132 B ．164 C ．364 D ．332
4。

命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ )。

A ．03a <<
B ．0a <或3a ≥ C. 0a <或3a > D 。

0a ≤或3a ≥
5。

函数lg x y x
=的图像大致是（ ）.
A ．
B ．
C 。

D ．
6。

已知,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）。

A ．17-
B ．7 C. 1
7
D ．—7
7。

已知向量满足a 、b ,满足2a =，1b =，()0a b b -•=，那么向量a 、b 的夹角为（ )。

A ．30° B ．45° C 。

60° D ．90°
8。

已知双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右
支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率为( ）。

A ．3 B ．51+ C 。

2 D ．23+ 9。

函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移4
T
个单位长度后得到函数()g x ,则()g x 具有性质（ ）.
A ．最大值为1，图像关于直线2x π
=
对称 B ．在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，为奇函数 C.在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
10。

在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ,M 为AB 中点,则线段CM 的长为（ ）. A 2 B 332 D ．2
2
11.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A B 、两点若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF =（ ）。

A ．1
B ．2
C 。

3
D ．4
12.在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且满足=b c ，
1cos cos b B
a A
-=
，若点O 是ABC ∆外一点，(0)AOB θθπ∠=<<,2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是
（ ）。

A ．
4534+ B ．8534+ C.3 D ．45
2
+
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13。

如图所示的程序框图，输出的S
= ．
14.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
15。

若非负实数,x y 满足：1
25
y x x y ≥-⎧⎨+≤⎩，（2，1）是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优解，
则a 的取值范围为 ．
16.若直角坐标系内A B 、两点满足:（1）点A B 、都在()f x 的图像上;(2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”,点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e
⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有 个．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17。

已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，12n n a S +=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知2log n n b a =,求数列1
1n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18。

如图，在三棱柱111
ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C .且四边形11BB C C 是菱形，
160BCC ∠=︒.
（1）求证：1AC B C ⊥；
（2）若1AC AB ⊥,三棱锥1A BB C -的体积为
6
3
，求ABC ∆的面积. 19。

二手经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：
下面是z 关于x 的折线图:
(1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系,请用相关系数加以说明； (2）求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手汽车当使用年数为9年时售价大约为多少？（b 、ˆa
小数点后保留两位有效数字）.
（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年?
参考公式：回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1
12
2
2
1
1
()()ˆ()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b
x x x
nx
====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-. 1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑.
参考数据:
6
1
187.4i i
i x y
==∑，61
47.64i i i x z ==∑,6
2
1
139i i x ==∑,
6
2
1
()
4.18i
i x x =-=∑,
6
2
1
()
13.96i
i y y =-=∑，
6
2
1
() 1.53i i z z =-=∑,ln1.460.38≈,ln0.71180.34≈-. 20。

已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ,点Q 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；
（2)已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的焦点分别为12B B 、，直线1B P 和2B P 分别与x 轴相交于C D 、两点，请问线段长之积OC OD •是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由;
(3）在(2）的条件下，若点C 坐标为（—1，0），设过点C 的直线l 与E 相交于A B 、两点，求ABD ∆面积的最大值。

21. 已知函数，2()ln f x x a x =-+，a R ∈。

（1）讨论函数()f x 的单调性;
（2）当4a =时，记函数()()g x f x kx =+,设1212()x x x x <、是方程()0g x =的两个根,0x 是12x x 、的等差中项. ()g x '为函数()g x 的导函数，求证:()0g x '<。

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分。

22。

选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是6cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩
(t 是参数）.
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程(普通方程）;
（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且AB =，求直线的倾斜角α的值。

23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x =+-。

（1）求关于x 的不等式()3f x <的解集；
（2）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围。

2017年汕头市普通高考第一次模拟考试
文科数学答案
一、选择题：
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案
A
A
C
B
D
C
C
A
B
C
A
B
二、填空题:
13．88； 14．64+4π； 15．[6,)+∞; 16．2 三、解答题：
17.解:（1)∵12n n a S +=+ ∴12(2)n n a S n =-+≥.
两式作差得：11n n n n n a a S S a +--=-=, 所以：12n n a a +=，即
1
2(2)n n n
a a n a +=≥。

又当1n =时：2124a S =+=，∴
2
1
2a a =成立； 所以数列{}n a 是公比为2,首项为2的等比数列, ∴1.12()n n n a a q n N -==∈.
(2）由（1）可得：2log n n b a n ==,
11111
(1)1
n n b b n n n n +==-++， ∴111111
()()...()12231
n T n n =-+-++-
+，
1111
n
n n =-
=
++。

18.解:（1)证明：连结1BC ，
因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥. 因为四边形11BB C C 是菱形,所以11B C BC ⊥, 又因为1AB BC B = ，所以1B C ⊥平面1ABC 。

因为1AC ⊂平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.
（2）由AB ⊥平面11BB C C ，1BC BB =可知1AC AB =. 设菱形11BB C C 的边长为a ,
因为160BCC ∠=︒，所以22221112cos1203B C BC BB BC BB a =+-••︒=。

因为1AC AB ⊥,所以222113AC AB B C a +==,所以16AC AB ==
. 因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ⊂侧面11BB C C ，所以AB ⊥BC ， 所以在Rt ABC ∆中,222
2
AB AC BC a =-=。

因为1
1
11126
sin120332A BB C BB C V S AB a a -∆==---︒-=
解得：2a =，所以2
22
AB a ==，2BC a ==. 所以11
22222
ABC S BC AB ∆=
•=⨯=. 19。

解：（1）由已知： 4.5x =,2z =,
6
1
47.64i i
i x z
==∑，
6
2
1
()
4.18i
i x x =-=∑，
6
2
1
()
1.53i
i z z =-=∑，
所以1
2
2
1
1
()()
47.646 4.52 6.36 6.36
()0.994.18 1.53 6.3954 6.40
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x z z r x x z z ===---⨯⨯=
=
=-≈⨯--∑∑∑.
z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高。

（2）1
1
22
2
21
1
()()47.646 4.52 6.36
ˆ0.361396 4.517.5
()n n
i
i
i i
i i n
n
i i i i x x y y x y nx y
b
x x x nx
====----⨯⨯==
=
=-≈--⨯--∑∑∑∑.
ˆˆ20.36 4.5 3.62a
y bx =-=+⨯=。

所以z 关于x 的线性回归直线方程为ˆ0.36 3.62ln z x y =-+=. 所以y 关于x 的回归方程为：0.36 3.62ˆx y a -+=, 当9x =时，0.38ˆ 1.46y
a =≈， 所以预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价大约为1.46万元.
（3）令ˆ0.7118y
≥,即0.36 3.63ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥== ， 所以0.36 3.620.34x -+≥-,解得：1x ≤ .
因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.
20。

解:（1）依题意可得:圆M 的圆心坐标为(1,0)M -半径为4r =,QN QF =， 则4QN QM QF QM R MF +=+==> 。

根据椭圆定义，E 是以(1,0)M -，(1,0)F 为焦点,长轴长为4的椭圆,
设其方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，
∴24,22,a c ==即2,1a c ==，∴223b a c =-=
∴E 的方程为:22
143
x y +=。

(2）证明：设00(,)P x y 直线1B P
方程为：00y y x x =
令0y =
得：C x =,
同理可得：D x =
，
所以2
02033C D x OC OD x x y •=•=
=
-。

因为点P 是E 上且不在坐标轴上的任意一点，所以22
00143
x y += 即22200031244(3)x y y =-=-,
所以220022
00
34(3)
433x y OC OD y y -•===--，因此OC OD •的定值为4。

（3）当点C 的坐标为（-1,0）时，点(4,0)D -，3CD =， 设直线l 的方程为：1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y , 联立221
14
3x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩消x 并整理得：22(34)690m y my +--=。

解得：12y y ==，
所以122
34
y y m -=+。

所以ABD ∆的面积,
121318122S CD y y =•-===。

∵20m ≥
1≥，∴1
3y x x
=+在[1,)+∞上为增函数,
∴13141≥⨯+=,所以∴189
42S ≤=，
所以当0m =即直线AB 的方程为：1x =-时，ABD ∆面积的最大值是9
2。

21。

解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，
又22()2a x a
f x x x x
-=-=- ，
当0a ≤时；在()0,+∞上()f x 为减函数； 当0a >时；()0f x '=得：12a x =
22
a
x =)。

在)2a 上()0f x '>,()f x 是增函数；在()2
a
+∞，上()0f x '<，()f x 是减函数； (2）∵2()4ln g x x x kx =-+，∴4
()2g x x k x
'=-+. 又1202x x x +=，
211112
2222()4ln 0
()4ln 0
g x x x kx g x x x kx ⎧=-+=⎨=-+=⎩。

两式相减得：121212124(ln ln )()()()0x x x x x x k x x --+-+-=，
1212124(ln ln )
()
x x k x x x x -=+- 。

00
4
()020g x x k x '<⇔
-+<, 121212
4(ln ln )80x x x x x x -⇔
-<+-,
1
11221212
2
2(
1)2()
ln
1x x x x x x x x x x --⇔<=++令12
x
t x =，即(0,1)t ∈,
即证2(1)4
ln 211
t t t t -⇔<
=-
++。

令4
()ln 2(01)1
h t t t t =+-<<+，∴222
14(1)()(1)(1)t h t t t t t -'=-=++。

当(0,1)t ∈时，()0h t '>，()h t 为增函数， ∴()(1)0h t h <=。

∴4
ln 21
t t <-
+成立，所以原不等式成立。

22.解析：（1）由6cos ρθ=得26cos ρθ=． ∵222x y ρ+=，cos x ρθ=,cos y ρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，
即
2
23=9x y -+（）； （2）将1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 2)(sin )9t t αα-+=。

化简得24cos 50t t α--=．
设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、，则1212
4cos ,
5.t t t t α+=⎧⎨=-⎩
∴12AB t t =- ,
===
∴216cos 8,cos 2
αα==±, ∵[0,)απ∈∴4
π
α=
或
34
π． 23。

解：（1）()2f x <，即23x x +-<,
原不等式可化为：0223x x ≤⎧⎨-+<⎩或0223x <<⎧⎨<⎩或2
223
x x ≥⎧⎨-<⎩，
解得：102x -<≤或02x <<或5
22x ≤<，
∴不等式的解集为：1522x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩
⎭;
(2)()2(2)2f x x x x x =+-≥-=,
故若关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，则2a >， ∴a 的范围是(2,)+∞。