3 流体介质中的波
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状态参数：压力p，比容v或密度r，温度T，比内能e，比熵s
状态原理—流体热力学体系化学成份不因混合或扩散而改变时， 流体的状态可由任何两个独立的热力学参数来确定
e e p, v ,
p pv, s
直接测量的热力学量的状态方程
p pv,T
量热状态方程
e ev,T
3.1.1 理想气体的状态方程
理想气体 —气体的分子间没有互相作用力，分子不占有体积 理想气体的状态方程
pv RT
等熵方程
pv A
内能方程
pv e 1
3.1.2 稠密气体状态方程
阿贝尔状态方程
p(v ) RT
考虑了分子体积，分子间没有互相作用力，在相当高的温度 和压力下仍有相当的精确性
ds s s u 0 dt t x
特征线方程和相应的相容关系
如果 dx u c
dt
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
1 dp du 0 rc
r r u u r 0 t x x
3.2.2 动量守恒方程
p p dx A rA dx du pA x dt
u u 1 u t x r p 0 x
3.2.3 能量守恒方程
流体微团内能和动能的增量等于作用在微团上的力所做的功
2 x u c0 1 t
1 x 2 c c0 1 t 1
稀疏波内压力和密度
p c p0 c0
2 1
2 1 1 x 1 1 c t 0
2 1
沿特征线
C
dx uc dt
dx u c dt
u F
沿特征线
C
uF
重要流体—理想流体
等熵方程
p Ar
k
F
dp dr c rc r
2 F c k 1
沿正向特征线
dx u c dt
u 2 c k 1
沿负向特征线
dx u c dt
汇总
右传简单波
x (u c )t f 1 (u ) u F 0
左传简单波
x (u c)t f 2 (u ) u F 0
3.5 中心膨胀波
右行中心膨胀波的解为
x (u c )t u F 0
理想气体右行中心膨胀波的解为 x (u c)t 2 2 u c c0 1 1
拉格朗日（Lagrange）法 —研究某一流体质点的状态参数随时间的变化，以及由一 质点转到另一质点时这些参数的变化 流体动力学基本方程 —质量守恒，动量守恒，能量守恒定律、流体的状态方程 理想流体 —无粘性、热传导 等熵运动 —指流体在运动过程中各质点熵保持不变
3.1 流体的状态参数和状态方程
u 2 c k 1
3.3.3 特征线的数值解法
沿特征线1-3 沿特征线2-3 特征线1-3 方程 特征线2-3方程
2 2 u3 c3 u1 c1 k 1 k 1
u3 2 2 c3 u 2 c2 k 1 k 1
u1 u 3 c1 c3 x3 x1 (t 3 t1 ) 2 2
r c r0 c0
2 1
2 1 1 x 1 1 c t 0
2 1
逃逸速度（c=0)
u
2 2 c c0 1 1
u逃
2 c0 1
r r p 1 p 2 t p s t c t
p pr , s
相加，相减代换
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
Ar u Ar u Ar u dx rAdx x t
平面 球对称
Ａ＝常数
A x2
ds s u s 0 dt t r
柱对称
A xL
p pv, s
3.3 一维流动方程的特征线解法
1. 直接数值方法求解 如有限元法、差方法和边界元法 2. 特征线法 特征线法是解非线性偏微分方程重要方法，下面将介绍此方法
p c2 r s
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
dp p dx p dt t dt x du u dx u dt t dt x
泰特（Tait）状态方程
n
r p B s B s r 0
3.2 一维等熵流动的控制方程组
3.2.1 质量守恒方程（连续方程）
单位时间流入控制体的流体质量与流出控制体的流体质量之差， 等于控制体流体质量对时间的变化量
Ar u Ar u Ar u dx rAdx x t
等熵方程
p(v ) 常数
内能方程
e
pv 1
极为稠密的气体
p Ar k B T v
3.1.3 液体和高压下固体的状态方程
水、饱和土和其他液体混合物以及受到很高压力的固体（此时固 体的屈服强度可以忽略，固体像流体一样的）一类介质 特点：在状态变化过程中熵变化很小
第3章 流体介质中的波
流体介质特点：不能承受剪应力和拉力 流体介质包括液体、气体、含水土壤等，当固体受到极大压力，其强度可以忽略时也 可以把它看成是流体 运动状态物理量： 质点速度 u 密度 r 压力 p 温度T 熵s 欧拉（Euler）法 —研究流场中某固定点上流体速度、压力和密度等参数随时间和空 间位置的变化
dp p dx p dt t dt x du u dx u dt t dt x
如果
dx u c dt
1 dp du 0 rc
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
de u du 1 u p p u 0 dt dt r x x
de p dr r dt r dt
一维对称流动控制方程组通式
r r u N r u 0 u r t r r r
u u 1 p u 0 t r r r
3. 根据问题特点简化
如假设流体是不可压缩等，但没有普遍性 4. 实验模拟 如电模拟实验等
3.3.1 特征线方程和相容关系
寻找方程组的特征线
r r u r u 0 t x x
u u 1 u t x r p 0 x
r r p 1 p x p s x c2 x
C
C k
u F u 0 F0 0
u F k
F ( k 0 ) / 2
u, c 常数
dx uc dt
x (u c)t f1 (u)
3.4 简单波
简单波的基本性质 1. 简单波是单向行波； 2. 简单波区有一族特征线是直线； 3. 与简单波相邻的区域一定是均匀区
u 2 u 3 c 2 c3 x3 x 2 (t 3 t 2 ) 2 2
3.4 简单波
简单波是扰动仅从一个方向，向着均匀流动区域传播的波
Байду номын сангаас0
沿任意负向特征线 沿某一条正向特征线
u ( k 0 ) / 2
uc , F c 常数
如果
dx u dt
ds s s u 0 dt t x
流动偏微分方程组— 特征线解
沿特征线 C
dx u c dt
1 dp du 0 rc
沿特征线 C
dx u c dt
dp dr c rc r
1 dp du 0 rc
新物理量 F
F
单位时间微团的比内能和动能的增量
d e u2 r A dx dt 2
单位时间压力所做的功
p uA p u p u dx A p u A x x
能量方程的表达式
d e u2 1 p u dt 2 r x
状态原理—流体热力学体系化学成份不因混合或扩散而改变时， 流体的状态可由任何两个独立的热力学参数来确定
e e p, v ,
p pv, s
直接测量的热力学量的状态方程
p pv,T
量热状态方程
e ev,T
3.1.1 理想气体的状态方程
理想气体 —气体的分子间没有互相作用力，分子不占有体积 理想气体的状态方程
pv RT
等熵方程
pv A
内能方程
pv e 1
3.1.2 稠密气体状态方程
阿贝尔状态方程
p(v ) RT
考虑了分子体积，分子间没有互相作用力，在相当高的温度 和压力下仍有相当的精确性
ds s s u 0 dt t x
特征线方程和相应的相容关系
如果 dx u c
dt
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
1 dp du 0 rc
r r u u r 0 t x x
3.2.2 动量守恒方程
p p dx A rA dx du pA x dt
u u 1 u t x r p 0 x
3.2.3 能量守恒方程
流体微团内能和动能的增量等于作用在微团上的力所做的功
2 x u c0 1 t
1 x 2 c c0 1 t 1
稀疏波内压力和密度
p c p0 c0
2 1
2 1 1 x 1 1 c t 0
2 1
沿特征线
C
dx uc dt
dx u c dt
u F
沿特征线
C
uF
重要流体—理想流体
等熵方程
p Ar
k
F
dp dr c rc r
2 F c k 1
沿正向特征线
dx u c dt
u 2 c k 1
沿负向特征线
dx u c dt
汇总
右传简单波
x (u c )t f 1 (u ) u F 0
左传简单波
x (u c)t f 2 (u ) u F 0
3.5 中心膨胀波
右行中心膨胀波的解为
x (u c )t u F 0
理想气体右行中心膨胀波的解为 x (u c)t 2 2 u c c0 1 1
拉格朗日（Lagrange）法 —研究某一流体质点的状态参数随时间的变化，以及由一 质点转到另一质点时这些参数的变化 流体动力学基本方程 —质量守恒，动量守恒，能量守恒定律、流体的状态方程 理想流体 —无粘性、热传导 等熵运动 —指流体在运动过程中各质点熵保持不变
3.1 流体的状态参数和状态方程
u 2 c k 1
3.3.3 特征线的数值解法
沿特征线1-3 沿特征线2-3 特征线1-3 方程 特征线2-3方程
2 2 u3 c3 u1 c1 k 1 k 1
u3 2 2 c3 u 2 c2 k 1 k 1
u1 u 3 c1 c3 x3 x1 (t 3 t1 ) 2 2
r c r0 c0
2 1
2 1 1 x 1 1 c t 0
2 1
逃逸速度（c=0)
u
2 2 c c0 1 1
u逃
2 c0 1
r r p 1 p 2 t p s t c t
p pr , s
相加，相减代换
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
Ar u Ar u Ar u dx rAdx x t
平面 球对称
Ａ＝常数
A x2
ds s u s 0 dt t r
柱对称
A xL
p pv, s
3.3 一维流动方程的特征线解法
1. 直接数值方法求解 如有限元法、差方法和边界元法 2. 特征线法 特征线法是解非线性偏微分方程重要方法，下面将介绍此方法
p c2 r s
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
dp p dx p dt t dt x du u dx u dt t dt x
泰特（Tait）状态方程
n
r p B s B s r 0
3.2 一维等熵流动的控制方程组
3.2.1 质量守恒方程（连续方程）
单位时间流入控制体的流体质量与流出控制体的流体质量之差， 等于控制体流体质量对时间的变化量
Ar u Ar u Ar u dx rAdx x t
等熵方程
p(v ) 常数
内能方程
e
pv 1
极为稠密的气体
p Ar k B T v
3.1.3 液体和高压下固体的状态方程
水、饱和土和其他液体混合物以及受到很高压力的固体（此时固 体的屈服强度可以忽略，固体像流体一样的）一类介质 特点：在状态变化过程中熵变化很小
第3章 流体介质中的波
流体介质特点：不能承受剪应力和拉力 流体介质包括液体、气体、含水土壤等，当固体受到极大压力，其强度可以忽略时也 可以把它看成是流体 运动状态物理量： 质点速度 u 密度 r 压力 p 温度T 熵s 欧拉（Euler）法 —研究流场中某固定点上流体速度、压力和密度等参数随时间和空 间位置的变化
dp p dx p dt t dt x du u dx u dt t dt x
如果
dx u c dt
1 dp du 0 rc
1 p p u u u c u c 0 r c t x t t
de u du 1 u p p u 0 dt dt r x x
de p dr r dt r dt
一维对称流动控制方程组通式
r r u N r u 0 u r t r r r
u u 1 p u 0 t r r r
3. 根据问题特点简化
如假设流体是不可压缩等，但没有普遍性 4. 实验模拟 如电模拟实验等
3.3.1 特征线方程和相容关系
寻找方程组的特征线
r r u r u 0 t x x
u u 1 u t x r p 0 x
r r p 1 p x p s x c2 x
C
C k
u F u 0 F0 0
u F k
F ( k 0 ) / 2
u, c 常数
dx uc dt
x (u c)t f1 (u)
3.4 简单波
简单波的基本性质 1. 简单波是单向行波； 2. 简单波区有一族特征线是直线； 3. 与简单波相邻的区域一定是均匀区
u 2 u 3 c 2 c3 x3 x 2 (t 3 t 2 ) 2 2
3.4 简单波
简单波是扰动仅从一个方向，向着均匀流动区域传播的波
Байду номын сангаас0
沿任意负向特征线 沿某一条正向特征线
u ( k 0 ) / 2
uc , F c 常数
如果
dx u dt
ds s s u 0 dt t x
流动偏微分方程组— 特征线解
沿特征线 C
dx u c dt
1 dp du 0 rc
沿特征线 C
dx u c dt
dp dr c rc r
1 dp du 0 rc
新物理量 F
F
单位时间微团的比内能和动能的增量
d e u2 r A dx dt 2
单位时间压力所做的功
p uA p u p u dx A p u A x x
能量方程的表达式
d e u2 1 p u dt 2 r x