2021_2022学年高中数学第2章概率2.2.3独立重复试验与二项分布课件新人教B版选修2_3

所以 ξ 的分布列为
ξ
0
12
3
P
1 27
24 99
8 27
(2)用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件，用 D 表示“甲得 3 分
乙得 0 分”这一事件，所以 AB＝C∪D，且 C，D 互斥，
又 P(C)＝C232321－2323×31×12＋13×32×
12＋13×13×12＝1304 ，
ξ
0
123
4
P
1 16
131 484
1 16
独立重复试验与二项分布综合应用
[探究问题] 1．王明在做一道单选题时，从 A，B，C，D 四个选项中随机选一个 答案，他做对的结果数服从二项分布吗？二点分布与二项分布有何关系？ 【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为 0 次、1 次， 它服从二项分布．二点分布就是一种特殊的二项分布，即是 n＝1 的二项 分布．
【解】 (1)ξ～B5，13，ξ 的分布列为 P(ξ＝k) ＝Ck513k235－k，k＝0,1,2,3,4,5. 故 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
32 243
80 80 40 10
1
243 243 243 243 243
(2)η 的分布列为 P(η＝k)＝P(前 k 个是绿灯，第 k＋1 个是红灯)＝23k·13， k＝0,1,2,3,4；
2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果
不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为 P＝C1312122＝38.
【答案】
3 8
3．已知随机变量 X 服从二项分布，X～B6，13，则 P(X＝2)等于
________． 【解析】
【答案】 ①②④ (2)①记预报一次准确为事件 A，则 P(A)＝0.8. 5 次预报相当于 5 次独立重复试验， 2 次准确的概率为 P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05.
②“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准 确或只有 1 次准确”，
2．王明做 5 道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道 数服从二项分布吗？为什么？
【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只 有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做 5 道题可以看成“一 道题”重复做了 5 次，做对的道数就是 5 次试验中“做对”这一事件发生 的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
【例 3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个 问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率 均为23，乙队中 3 人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互 之间没有影响．用 ξ 表示甲队的总得分．
(1)求随机变量 ξ 的分布列； (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示 “甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB)．
P(X＝2)＝C261－134132＝28403.
【答案】
80 243
合作探究 提素养
独立重复试验中的概率问题
【例 1】 (1)某射手射击一次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是 0.93； ②他第三次击中目标的概率是 0.9； ③他恰好 2 次击中目标的概率是 2×0.92×0.1； ④他恰好 2 次未击中目标的概率是 3×0.9×0.12. 其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
…
Cknpkqn－k
…
Cnnpnq0
由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝C0np0qn＋C1np1qn－1
＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X
服从参数为 n，p 的二项分布，记做 X～B(n，p) ．
1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的． 【解析】 由 n 次独立重复试验的定义知①②③正确． 【答案】 ①②③
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率． P＝3! P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×12×13×16＝16.
(2)法一：设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 η，由已知， η～B3，13，且 ξ＝3－η，所以
P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C33133＝217，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2313223＝29，P(ξ ＝2)＝P(η＝1)＝C1313232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C03233＝287.
【解】 (1)设事件 A 表示“甲选做 14 题”，事件 B 表示“乙选做 14
－－
题”，则甲、乙 2 名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋A∩B”，且事
件 A，B 相互独立．
－－
∴P(A∩B＋A∩B)＝P(A)P(B)＋P( A )P( B )
＝12×12＋1－12×1－12＝12.
(2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 ξ～B4，12. ∴P(ξ＝k)＝Ck412k1－124－k ＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量 ξ 的分布列为
3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工 程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总 数的12，13，16.现有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记 ξ 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人 数，求 ξ 的分布列．
第二章 概率
2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标：1.理解 n 次独立重复试验的模型.2.理解二项分布．(难点)3. 能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题． 独立重复试验与二项分布 阅读教材 P54～P56，完成下列问题． 1．n 次独立重复试验 在相同的条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，那 么一般就称它们为 n 次独立重复试验．
P(η＝5)＝P(5 个均为绿灯)＝235. 故 η 的分布列为
η
0
12
3
4
5
P
1 3
24
8
16
9 27 81 243
32 243
1．本例属于二项分布，当 X 服从二项分布时，应弄清 X～B(n，p)中 的试验次数 n 与成功概率 p.
2．解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独 立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性， 即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立 重复地进行了 n 次．
2．在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题．规定每位考生 必须且只需在其中选做一题．设 4 名考生选做每道题的可能性均为12，且 各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率； (2)设这 4 名考生中选做第 15 题的人数为 ξ 名，求 ξ 的分布列．
故 ξ 的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
1 27
2
4
8
9
9
27
法二：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分
别为事件 Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3 相互独立，且 P(Di)＝P(Ai∪Ci) ＝P(Ai)＋P(Ci)＝12＋16＝23，所以 ξ～B3，23，即 P(ξ＝k)＝Ck323k133－k，k＝ 0,1,2,3.
【精彩点拨】 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有 影响，所以 ξ 服从二项分布，其中 n＝3，p＝23.
(2)AB 表示事件 A，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为 3 且甲 队总得分大于乙队总得分．
【解】 (1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C031－233＝217， P(ξ＝1)＝C13231－232＝29， P(ξ＝2)＝C232321－23＝49， P(ξ＝3)＝C33233＝287.
2．二项分布 若将事件 A 发生的次数设为 X，发生的概率为 p，不发生的概率 q＝1 －p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X＝ k)＝_C_kn_p_k_q_n－_k_(k＝0,1,2，…，n)，
于是得到 X 的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
C0np0qn
C1np1qn－1
P(D)＝C3323313×31×12＝345， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D) ＝1304 ＋345＝3345 ＝23443.
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化 归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种； 其次，要判断事件是 A＋B 还是 AB，确定事件至少有一个发生，还是同 时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、 互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.
独立重复试验概率求法的三个步骤 1．判断：依据 n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立 重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆． 3．计算：就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解，最后 利用互斥事件概率加法公式计算．
1．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23， 没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为
________．
【解析】 “甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，
并胜最后一局．即 P＝232＋C12×23×13×23＝2207.
【答案】
20 27
二项分布 【例 2】 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通 岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 ξ 的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 η 的 分布列． 【精彩点拨】 (1)首先判断 ξ 是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意 “首次遇到”“或到达”的含义，并明确 η 的取值．再求 η 取各值的概率．
【解】 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产 业建设工程分别为事件 Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知 A1，A2，A3 相互独 立，B1，B2，B3 相互独立，C1，C2，C3 相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3 且 i，j，k 互不相同)相互独立，用 P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.
(2)某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面 第 2 位)：
①5 次预报中恰有 2 次准确的概率； ②5 次预报中至少有 2 次准确的概率； ③5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率． 【解】 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是 ①②④.
3．王明做 5 道单选题，其中 2 道会做，其余 3 道均随机选一个答案， 他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分 布？
【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选 取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量 是否服从二项分布关键是看它是否是 n 次独立重复试验，随机变量是否为 在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服 从二项分布，否则就不服从二项分布．
其概率为 P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01. 所以所求概率为 1－P＝1－0.01＝0.99. 所以 5 次预报中至少有 2 次准确的概率约为 0.99. ③说明第 1,2,4,5 次中恰有 1 次准确． 所以概率为 P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02， 所以恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率约为 0.02.