第7章 非线性系统

1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点
具有滞环继电器特性的非线性系统
1 A h (180 0 sin 1 ) N ( A) 4M A
负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。
1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点 3）单边滞环宽度 h增加 负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增大
? ．
(-1,j0)
设：系统开环的线性部分G(j)稳定
③ G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) ？稳定 ？不稳定 ?!振幅（A） ?! 频率()
① G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定
② G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不稳定
分析法 当微小扰动使振幅A增大到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。 当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。 a点为不稳定自振交点。 ！ 微小扰动
3.自振： 对于线性系统：可能产生自由周期运动。但其振幅 和相位取决于初始状态。一旦受到扰动，振幅和 相位都会改变，这种周期运动是不稳定的。 对于非线性系统：即使没有外作用，系统也可能发 生一定频率和振幅的周期运动。并且，当受到扰 动作用后，运动仍可能保持原来的频率和振幅。 即：这种周期运动是稳定的。
D(s) 1 N ( A)G(s) 0 N ( A) 1
线性系统
1 G( s) 0 G(s) 1
(尼奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定 的充要条件是G(j) 轨迹 不包围G平面的(-1,j0)。
G( s)
1 N ( A)
负倒描述函数（描述函数负倒特性)

1 N ( A)
一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，
因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。
理想继电器特性的描述函数
x(t ) A sin t
M y (t ) M (0 t ) ( t 2 )
傅氏展 开
y (t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )


(k 2 k 3)[sin 1
s s s 1 ( )2 ] A A A
理想继电器特性
N ( A) 4M A ( A 0)
死区继电器特性
N ( A) 4M a 1 ( )2 A A ( A a)
滞环继电器特性
N ( A) 4M h sin 1 A A ( A h)
1 1 N ( A) k
负倒描述函数为G平面上一条曲线。
A ∞ 时
G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab
具有理想继电器特性的非线性系统
1 A N(A) 4M
负倒描述函数轨迹为整个负实轴
当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。 当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。
死区或不灵敏区
很小时 作为线性特性处理
较大时 将使系统静态误差增加， 系统低速不平滑性
继电器特性
具有饱和死区的单值继电器 理想继电器 输出
输出
输出 输入
输入
输出
输入
输入 具有滞环的继电器
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推 广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实 际，故得到了广泛应用。
相平面法
适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重 点是将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输 出量导数为变量的两个一阶微分方程。然后依据 这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的相 平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判 别。所得结果比较精确和全面。但是对于高于二 阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从 而大大增加了工程使用的困难。
n 1 n 1
中心对称
A0 0
An
y(t ) cos ntd (t ) 0 1 2 Bn y(t ) sin ntd (t ) 0
1
2
Yn
2 2 An Bn
n tg 1
An Bn
输出的一次谐波分量
y(t ) y1 (t ) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1 )
8.1.2 非线性系统的特点
1.稳定性：
对于线性系统：系统的稳定性只与系统的 结构形式和参数有关，而与外作用及初 始条件无关。 对于非线性系统：系统的稳定性除了与系 统的结构形式和参数有关，还与外作用 及初始条件有关。且其平衡点可能不止 一个，某些平衡点可能是稳定的，另外 一些可能是不稳定的。
2.时间响应： 对于线性系统：响应的形式与输入的幅值、系统的 初始状态无关。 对于非线性系统：系统的 响应形式与输入信号的大 小和初始条件有关。
h2>h1
例：试求： ①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的 振幅和频率； ②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。
非线性饱和特性参数 a=1 、k=2
第8章 非线性系统
8.1 非线性系统概述
8.2 描述函数法 8.3 相平面分析法
8.1 非线性系统概述
什么是非线性控制系统 典型非线性特性 非线性控制系统的几个特性 非线性系统的分析方法
8.1.1 非线性现象的普遍性
非本质非线性
能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线 性。
本质非线性
用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
间隙特性
输入输出之间具有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号<a时，无输出信号； 当输入信号>a以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2a，输出随输入线性变化。 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。
4.对正弦输入信号的响应 对于线性系统：当输入是正弦信号时，系统的输出 是同频率的正弦信号，仅幅值和相位不同。 对于非线性系统：当输入是正弦信号时，系统的输 出是包含同频率的正弦信号，还有与输入频率成 整数倍的高次谐波分量。
8.1.3 非线性控制系统的分析方法
常用的分析非线性系统的方法有两种：
描述函数法
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数： 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
1. 非线性系统的稳定性
C ( s) G ( s) N ( A) R( s) 1 G ( s) N ( A)

饱和特性
N ( A) 2k

[sin 1
a a a 1 ( )2 ] A A A
( A a)
死区特性
N ( A) 2k a a a [ sin 1 1 ( )2 ] 2 A A A ( A a)
死区饱和特性
N ( A) 2k [sin 1 s a s s a a sin 1 1 ( )2 1 ( )2 ] A A A A A A ( A s)

非线性增益I
N ( A) k 2
2

(k1 k 2 )[sin 1
a a aLeabharlann 1 ( )2 ] A A A( A a)
非线性增益II
N ( A) k3 2 2 (k1 k 2 )[sin 1 a a a 1 ( )2 ] A A A ( A s)
间隙、滞环特性
A12 B12 A tg 1 1 A B1
N ( A)
( A a)
A1
B1
4kA a 2 a [( ) ] A A
kA 2a 2a a a [ sin 1 (1 ) 2(1 ) ( )2 ] 2 A A A A
非线性特性的描述函数的共同点
二 典型非线性特性
常见的非线性元件及特性
饱和特性
输出
输入
放大器的饱和输出特性 磁饱和 元件的行程限制 功率限制 等等。
当输入信号超出其线性范围后， 输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。
死区特性 （不灵敏区特性）
输出
输入
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。
Y1 N ( A) 1 A A12 B12 1 A 1 tg A B1
Y1 A12 B12
1 tg 1
A1 B1
这意味着一个非线性元件在正弦输入下， 其输出也是一个同频率的正弦量，只是振幅 和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信 号作用下的输出具有形式上的相似性，故称 上述近似处理为谐波线性化。
具有死区特性的非线性系统
1 N ( A) a a a 2k[ sin 1 1 ( )2 2 A A A
1 N ( A)
1 1 N ( A) k
( A a)
A＝a时 A ∞ 时
负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。
G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:不稳定自振交点
n 1
中心对称、奇函数A0=An=0
y1 (t ) B1 sin t
B1 2 1
2


y(t ) sin td (t )
0

1
y(t ) sin td (t )
0
N ( A)
Y1 4M 0 A A

M sin td (t )
0

4M
具有间隙特性的非线性系统
1 N ( A) A A12 B12 (180 tg 1 A1 ) B1
A1
4kA a 2 a [( ) ] A A
B1
kA 2a 2a a a [ sin 1 (1 ) 2(1 ) ( )2 ] 2 A A A A
8.2 描述函数法
描述函数的概念
典型的非线性特性的描述函数 非线性系统的稳定性
分析法
典型非线性系统的稳定性
例
系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 、线性部分G(s) 假定： ①非线性环节非线性，即不是时间的函数； ②非线性环节特性是中心对称的； ③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 非线性环节用正弦函数作为输入信号， 忽略输出所有高于一次的谐波分量。
正弦信号输入 时，输出不含 直流分量。
描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数
！类似传递函数
非线性系统的频率特性法
！谐波线性化方法
C(s) G (s) N(A) R (s) 1 G (s) N(A)
x(t ) A sin t
y (t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) A0 Yn sin(nt n )
当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。
b点为稳定自振交点。
典型非线性系统的稳定性
具有饱和特性的非线性系统 具有死区特性的非线性系统 具有间隙特性的非线性系统 具有理想继电器特性的非线性系统 具有滞环继电器特性的非线性系统
具有饱和特性的非线性系统
1 N ( A) a a a 1 ( )2 A A A ( A a)
2k[sin 1
A＝a时
1 1 N ( A) k
负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。
A ∞ 时
1 N ( A)
G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab