2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3-5 正余弦定理(精讲)(解析版)

3.5 正余弦定理（精讲）（基础版）思维导图
考点一 正余弦定理公式选择
【例1-1】（2022·广东广东·一模）ABC 中，若60,45,32A B BC ∠=︒∠=︒=，则AC =（ ） A ．43 B ．23 C ．3 D ．
3
2
【答案】B
【解析】在ABC 中， 60,45,32A B BC ∠=︒∠=︒=，由正弦定理得：sin sin BC AC A B =，即32sin 60sin 45AC
=︒︒
, 解得：AC =23.故选：B
【例1-2】（2022·北京顺义·二模）在ABC 中，1,6
a A π
==，则“3b =”是“3
B π
=
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要件
【答案】B
【解析】ABC 中，1,6a A π
==，由正弦定理sin sin a b A B =，13
sin sin 6
B π=
，3sin 2
B =
， b a
>，所以B A >，B 可为锐角也可为钝角，所以3
B π
=
或23
B π=
， 因此“3b =”是“3
B π
=
”的必要不充分条件．故选：B ．
【一隅三反】1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .
考点呈现
例题剖析
若3
A π=
，a =
b =B =（ ）
A ．
4π B ．
3
π C ．
4
π或34π D ．
3
π或23π
【答案】A
【解析】由正弦定理可得sin sin a b A B
=
，则sin sin b A B a == 故4
B π
=
或34
B π=
.因为b a <，所以B A <，所以4B π
=.故选：A
2．（2022·浙江）ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,2,60a b C ===，则c =（ ） A
B
C ．3
D ．7
【答案】A
【解析】由余弦定理得：222
12cos601421232
c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=
，所以c =故选：A.
3．（2022·吉林·长春十一高）ABC 的三个内角A ､B ､C 满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos A =（ ） A ．2
9
B ．78
C
D
【答案】B
【解析】因为::sin :sin :sin 2:3:4a b c A B C ==，
可设2,3,4(0)a k b k c k k ===>，由余弦定理可得()()()2
2
2
222
3427cos 22348
k k k b c a A bc k k +-+-==
=⋅⋅.故选：B. 4．（2022·四川·树德中学）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22()a b c ab +-=，则C =（ ） A ．6
π B ．
3
π或23π C ．
23
π
D ．6
π或
56
π 【答案】C
【解析】由2
2
()a b c ab +-=得，222
a b c ab +-=-，由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +--=
==-， 因为()0,C π∈，所以23
C π
=.故选：C 考点二 边角互化【例2-1】（2022·海南·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
2a c =，若3sin 2sin =C B ，则cos A 的值为（ ）
A ．13
B ．14
C ．13-
D ．14
-
【答案】D
【解析】因为3sin 2sin =C B 由正弦定理可得32=c b ，所以32
c
b =
又2a c = 所以()2
22
2223212cos 32422
c c c b c a A c bc c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯故选:D 【例2-2】（2022·陕西商洛·一模（理））ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 8sin 23
B bc A B a π
=
==，，，则b =（ ）
A ．4 B
．C
．D ．2
【答案】B
【解析】因为sin 8sin bc A B =，所以8abc b =，即8ac =.又2a =，所以4c =， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- ,
从而b =B
【例2-3】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知30A =︒，且2sin sin sin 2cos22B C B B ++=，则b
c 的值为（ ）
A
B
C
D
【答案】B
【解析】因为2sin sin sin 2cos22B C B B ++=，所以得1sin sin sin cos2102
B C B B ++-=， 又因为30A =，所以1
sin 2
A =
，进而有2sin sin sin sin 2sin 0B C A B B +-=， 因为sin 0B ≠，所以sin sin 2sin 0C A B +-=，由正弦定理得20c a b +-=，
又2222cos30a b c bc =+-，消a
，可得(34b c =
，所以b c
=，故选：B .
【例2-4】（2022·甘肃·高台县第一中学）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos a c C
b B
-=，则cos B =（ ） A
B
2
C ．1
2
D ．12
-
【答案】C 【解析】在ABC 中，因为
2cos cos a c C
b B
-=， 由正弦定理，可得2sin sin cos sin cos A C C
B B
-=，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，
可得2sin cos sin cos sin cos sin()A B C B B C B C =+=+，
因为B C A +=π-，可得sin()sin B C A +=，即2sin cos sin A B A =， 因为(0,)A π∈，可得sin 0A >，所以1
cos 2
B =.故选：C. 【一隅三反】
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“2cos b a C =”是“a c =”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由正弦定理可得：sin 2sin cos B A C =⋅，在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin B A C =+， 所以()sin 2sin cos A C A C +=⋅，即：sin cos sin cos C A A C =，()sin 0C A ∴-=，C A ∴=，可得a c =， 同理，当a c =时，也可得2cos b a C =成立，故选：A.
2．（2022·北京石景山·一模）在ABC 中，2sin sin sin A B C =，若3
A π
∠=，则B 的大小是（ ）
A ．6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】C
【解析】因为2sin sin sin A B C =，所以2a bc =，由余弦定理可知222
222cos
3
a b c bc b c bc bc π
=+-=+-=，
即()2
0b c -=，得b c =，所以ABC 是等边三角形，3
B π
∠=
.故选：C
3．（2022·安徽安庆·二模（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b =，4
A π
=，则
cos B =（ ）
A ．
B ．
C
D 【答案】C
【解析】在ABC 中，由正弦定理及2b 得：2sin 4
B A π
，解得sin B =
在ABC 中，
b a <，B A <，于是B 为锐角，所以cos B .故选：C 4．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，已知sin sin b B a C =，
9ac =，且60B =，则a c +=___________.
【答案】6
【解析】因为sin sin b B a C =，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得2b ac =， 又因为9ac =，所以29b =，解得3b =，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-， 所以2222222cos 60()3()279a c ac a c ac a c ac a c +-=+-=+-=+-=， 即2()36a c +=，解得6a c +=.故答案为：6.
5．（2022·重庆·高三阶段练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，记ABC 外接圆半径为
R ，且(
)
22
2sin sin )sin R A B c C -=-，则角B 的大小为________．
【答案】
4
π
【解析】由正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===故2sin ,2sin R A a R B b ==
即()
22
2sin sin )sin sin sin )sin R A B c C a A b B c C -=-⇔-=-
2
2
2
2
2
)a b c c a c b ⇔-=-⇔+-=故222cos 2a c b B ac +-==
(0,)B π∈故4B π=故答案为：4π 考点三 三角形的面积
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，
sin 2sin A C =，1
cos 4
A =-，则ABC 的面积S =（ ）
A B ．C ．1 D 【答案】D
【解析】根据正弦定理，由4a =，sin 2sin 22A C a c c =⇒=⇒=，
由余弦定理可知：2222
12cos 16422()4
a b c bc A b b =+-⋅⇒=+-⋅⋅-，解得3b =，或4b =-（舍去），
因为1cos 4
A =-，所以si n A ==11sin 3222S bc A =⋅=⨯⨯=， 故选：D
【例3-2】（2022·安徽宣城·二模）已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________． 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，所以由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，
由0,0B C ππ<<<<，则1sin 2A =
，而三角形ABC 为锐角三角形，所以cos 6A A π=⇒=
.
由余弦定理，2228cos
22b c a A bc bc bc +-===111sin 222ABC
S
bc A ==
【例3-3】（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积
，1b c -=，1cos 4A =，则=a （ ）
A ．10
B ．3 C
D 【答案】C
【解析】因为1cos 4
A =，则sin A 1sin 2ABC
S
bc A ===
所以6bc =，又1b c -=，可得3b =，2c =，所以2222cos 10a b c bc A =+-=，即a =故选：C 【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为S ，
且()2
2a b c =+-，则sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
B ．1
2
C D 【答案】B 【解析】∵2221
sin ,2cos 2
S ab C a b c ab C =
+-=，
代入()2
22222a b c a b c ab =+-=+-+，即sin 2cos 2C ab C ab =+，
∵0ab ≠，cos 1C C =+cos 1C C -=111cos sin 2262C C C π⎛
⎫-=⇒-= ⎪⎝
⎭， 故选：B.
2．（2022·贵州·模拟预测（理））在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，
sin A ，
4cos cos a c b A C +=，则ABC 的面积为______.
4cos cos a c b A C +=，所以由正弦定理可得sin sin 4sin cos cos A C
B A C
+= 所以()sin sin cos cos sin sin 4sin cos cos cos cos cos cos A C A C A C B B A C A C A C
++===，
因为sin 0B ≠所以1
cos cos 4A C =
因为sin A =
，则1cos 2A =，则1cos 2C =，所以ABC 为等边三角形，故ABC 的面积2
S ==
3．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知1b =， 4
C
π
，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的直径为（ ）
A
．
B ．5
C ．
D ．【答案】C
【解析】因为1b =， 4C
π
，ABC 的面积2S =，所以1sin 224
S ab π
==，解得 a = 由余弦定理得222
2cos
254
c a b ab π
=+-=，解得5c =，
所以ABC 的外接圆的直径为2sin c
R C
=
=，故选：C 4．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．【答案】B
【解析】在ABC 中，由余弦定理，2
2
2
b c a bc +-=可化为2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===.
因为()0,A π∈,所以3
A π=
.
由余弦定理，cos cos 2b C c B +=可化为：222222
222a b c a c b b c ab ac +-+-+=，解得：2a =（a =0舍去）.
因为222b c a bc +-=，所以2222a b c bc bc bc bc =+-≥-=，即4bc ≤（当且仅当2b c ==时取等号）.
所以ABC 的面积11sin 422S bc A =≤⨯=故选：B
考点四 判断三角形的形状
【例4】（2022·全国·高三专题练习）在∵ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，则该三角形的形状是（ ）A ．直角三角形 B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形
【答案】C
【解析】∵a 2
＋b 2
－c 2
＝ab ，∵2221
cos 22
a b c C ab +-=
=，又(0,)C π∈，∵3C π=， 由2cos A sin B ＝sin C ，得222
sin cos 2sin 22C c c b a A B b bc
+-=
==，∵22b a =，即b a =，又3C π=， 故三角形为等边三角形.故选：C 【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设ABC 的三个内角, , A B C 满足2B A C =+，又2sin sin sin B A C =，则这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形
【答案】B
【解析】因ABC 的三个内角++ =A B C π，而2B A C =+，则3
B π
=，
又2sin sin sin B A C =，由正弦定理得：2b ac =，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：22ac a c ac =+-，整理得2()0a c -=，即a c =，ABC 是等腰三角形， 所以ABC 是等边三角形.故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos
22A b c
c
+=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】因为2
cos
22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B
A C
= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠， 所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2
C π
=
，即ABC 是直角三角形.故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，222sin a b c C ++=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形【答案】D
【解析】在ABC 中，222sin a b c C ++=，又由余弦定理知，2222cos b a c ab C +-=，
两式相加得：222()2cos )4sin()6
a b ab C C ab C π
+=+=+，
22
2sin()1622b a C a b
ab
ab
π+∴+=
=（当且仅当c b =时取“=” )，又sin()16C π+，
sin()16
C π
∴+=（当且仅当a b =时成立），C 为ABC ∆的内角，
6
2
C ππ∴+
=
，3
C π
=
，又a b =，ABC ∴的形状为等边△．故选：D ．
4．（2022·全国·高三专题练习）对于ABC ，有如下四个命题: ∵若sin 2sin 2A B = ，则ABC 为等腰三角形， ∵若sin cos B A =，则ABC 是直角三角形
∵若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形
∵若
cos
cos
cos
2
2
2
a b c A
B C =
=
，则ABC 是等边三角形. 其中正确的命题序号是_________ 【答案】∵∵
【解析】对于∵sin 2sin 2A B =可推出A B =或2
A B π+=
，故不正确；
∵若100,10B A =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形； ∵由正弦定理得2220a b c +-<，所以cos 0C <，是钝角三角形； ∵由正弦定理知sin sin sin 222A B C ==，由于半角都是锐角，所以222
A B C
==，三角形是等边三角形. 故答案为：∵∵
考点五 三角形解个数
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ） A ．3a =，4b =，6
A π
= B ．4a =，3b =，3
A π=
C ．1a =，2b =，4A π
=
D ．2a =，3b =，23
A π
=
【答案】B 【解析】对于A 选项，由正弦定理可得1
4sin 22sin sin 33
b A
B A a
⨯
=
==>，且b a >，故ABC 有两解；
对于B
选项，由正弦定理可得
3sin 2sin sin 4b A
B A a =
==，且b a <，故ABC 只有一解； 对于C
选项，由正弦定理可得
2sin 2sin 11
b A
B a
=
==，故ABC 无解；
对于D 选项，因为23
A π
=，则角A 为ABC 的最大内角，且a b <，故ABC 无解.故选：B. 【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，3
A π
∠=，b ＝6，下面使得三角形有两组解的a 的值可以为（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．【答案】C
【解析】由题意，根据正弦定理有sin sin a b
A B
=，所以sin sin b A B a =，
要使三角形有两组解，则sin sin 1b A
B a
=
<，且a b <，即sin b A a b <<，所以6a <，
所以a 的值可以为C ．
2．（2022·江西上饶·一模）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知下列条件：∵3b =，4c =，
30B =︒；∵5a =，4b =，30A =︒；∵2c =，b =60B =︒；∵12c =，12b =，120C =︒.其中满足上述
条件的三角形有唯一解的是（ ） A ．∵∵ B ．∵∵ C ．∵∵ D ．∵∵
【答案】C
【解析】对于∵，因为1
sin 422b c B >⋅=⨯=，且b c <，所以三角形有两解；
对于∵，因为1
sin 422
a b A >⋅=⨯=，且a b >，所以三角形一解；
对于∵，sin sin 190c B
C C b
=
=⇒=︒，所以三角形有一解； 对于∵，12c =，12b =，120C =︒，则120B C ==︒，则180B C +>︒，所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有一解的是∵∵.故选：C 3．（2022·河南·南阳中学）ABC 中，已知下列条件：∵
3,4,30b c B ===；∵5,8,30a b A ===︒；∵6,60c b B ===︒；∵9,12,60c b C ===︒，其中满足上述条
件的三角形有两解的是（ ） A ．∵∵ B ．∵∵ C ．∵∵∵ D ．∵∵
【答案】B
【解析】∵sin c B b c <<，三角形有两解；∵sin b A a b <<，三角形有两解；∵sin b c B =，三角形有一解；∵sin c b C <，三角形无解.故选：B.
考点六 几何中的正余弦定理
【例6】（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，
3DC =，60BDC ∠=︒ (1)求BC 的长；(2)求sin A 的值.
【答案】
【解析】(1)依题意，由余弦定理得：2222cos BC DB DC DB DC BDC =+-⋅∠1
491272
=+-⨯=，
解得：BC =(2)依题意，由正弦定理得：sin sin BC DB BDC DCB
=∠∠
，所以2sin sin DB BDC DCB BC ∠∠===
因为DB DC <，所以DCB ∠
为锐角，所以cos DCB ∠===
因为BDC A DCA ∠=∠+∠，所以A BDC DCA BDC DCB ∠=∠-∠=∠-∠， 所以()sin sin 60sin60cos cos60sin A DCB DCB DCB =︒-∠=︒∠-︒
∠12714
=⨯=
. 【一隅三反】
1．（2022·广东韶关·一模）如图，在ABC 中，BAC B ACB ∠∠∠､､对边分别为a b c ､､，
且cos sin c c B C
+.
(1)求角B 的大小；
(2)
已知10b a c =+=，若D 为ABC 外接圆劣弧AC 上一点，且2AD DC =，求四边形ABCD 的面积. 【答案】(1)60B =
.(2)
【解析】(1)
由正弦定理及已知，得sin sin cos sin C C B B C ∴+=，
sin 0C ⋅≠
，cos 1B B -=
，12sin cos 122B
B ⎛
⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
()1sin 302B ∴-=， 又0180B <<，所以3030B -=，即60B =； (2)由A ､B ､C ､D 四点共圆得180,120c c B D D +==，
设,2AD x DC x
==，在三角形ADC 中，由余弦定理得2222(2)4cos120,2,x x x x =+-∴
= 所以1
sin 2
ACD S
AD DC D =
⨯=11
sin sin6022
ABC
S AB BC B ac =
⨯=， 22222(7)2cos60,28()3a c ac a c ac =+-=+-，24ac ∴=
1
24sin60632
ABC
S
∴=
⨯⨯=，因此83ABCD
S =.
2．（2022·广东·模拟预测）如图，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知8
cos 9
A =
，2a =，ABC 的面积为
17
2
． (1)求b ，c ．
(2)O 为边AC 上一点，过点A 作AD BC ∥交BO 延长线于点D ，若AOD △的面积为217
3
，求cos D ． 【答案】(1)3==b c (2)
542
42
【解析】(1)∵()0,πA ∈，sin 0A >，∵217
sin 1cos 9
A A =-=， 11717
sin 2182
ABC S bc A bc ===
△，则9bc =， 在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即22216b c =+-，∵2218b c +=,∵
()
2
22218290b c b c bc -=+-=-⨯=，∵b c =，∵29bc b ==，解得：3b =，∵3==b c ．
(2)设OC OA λ=，0λ> ，则
1OBC ABC S OC OC S AC OA OC λλ===++△△，∵171OBC S λλ=+△， AD BC ∥，则OBC ∵ODA ．
∵2
2OBC ODA S OC S OA λ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∵2217OBC S λ=△， ∵
217217
1
λλλ=+12λ=或32-（舍去）或0（舍去）， ∵1
13
OC AC =
=， 在ABC 中，由余弦定理得2222
cos 2a b c C ab +-==
． 在OBC 中，由余弦定理得222
272cos 333
OB OC BC OC BC C =+-⋅=-
=， 则21OB =，222542
cos 2BC OB OC CBO BC OB +-∠==
⋅ 又AD BC ∥，则D CBO ∠=∠，∵542
cos cos 42
D CBO =∠=
．
3．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在ABC 中，D 是AC 边上一点，ABC ∠为钝角，90DBC ∠=︒．
(1)证明：cos sin 0ADB C ∠+=；
(2)若AB =2BC =，再从下面∵∵中选取一个作为条件，求ABD △的面积．
∵sin ABC ∠=
∵AC 3AD =． 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析
【解析】(1)因为90ADB C ∠=︒+，所以cos cos 90sin ()ADB C C ∠=︒+=-，故cos sin 0ADB C ∠+=；
(2)选∵sin ABC ∠=
90ABC ∠>︒，所以cos ABC ==∠
在ABC 中，由余弦定理可得6AC ==
sin C =，故60C =︒，
在Rt CBD △中，因为2BC =，所以tan 2tan 60BD BC C ==︒=
又sin sin(90)cos ABD ABC ABC =-=∠-=∠∠︒
11
sin 22ABD
BD A B BD S
A =
⨯=⨯∠⨯=∵AC 3AD =，
设AD x =，则2DC x =，在Rt CBD △中，BD
由（1）cos sin 0ADB C ∠+=22
0=，
解得2x =，即2,4,AD BD CD === 在Rt CBD △中，则
tan BD C BC =
=090C ︒<<︒， 所以60C =︒，
所以6090150ADB C DBC ∠=+∠=︒+︒=︒．
所以111
sin 2222
ABD
AD BD AD S
B =⨯=⨯⨯⨯⨯∠。